1．了解坐标变换和基变换，熟悉过度矩阵的概念，会求过度矩阵以及一个向量在不同基下的坐标。
例1 三维空间的一组基为I ：（1，0，0）、（1，1，0）、（1，1，1），另一组基为II ：（1，0，1）、（1，2，1）、（3，1，4），求由I 到II 的过度矩阵，并求向量（2，2，3）在这两组基下的坐标。
并用过度矩阵检验你计算的正确性。
112113114A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭
（2，2，3）= 0（1，0，0）-1（1，1，0）+3（1，1，1）
（2，2，3）=-1.5（1，0，1）+0.5（1，2，1）+（3，1，4） 例2 在4维线性空间22R ⨯中，向量组，
123401101111,,,11110110εεεε⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
与向量组
123410111111,,,00001011μμμμ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
====⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
为其两组基，求从基 1234,,,εεεε 到基1234,,,μμμμ 的过渡矩阵，并求向
量 1234A ⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦
在这两组基下的坐标。
2．熟悉子空间的和与交，会用子空间的基本概念来证明子空间的性质。
例1. 子空间的和与交都是子空间. 设1V 和2V 是数域P 上线性空间V 的任
意两个子空间，试证明 （1）{}1212,V V x x V x V =∈∈
（2）{}12121122:,V V x x x x x V x V +==+∈∈ 都是线性空间V 的子空间。
例2．向量组12,,,s ααα 和12,,,r βββ 都是线性空间V 中的向量，试证明
12121212(,,,)(,,,)(,,,,,,,)s r s L L L αααβββαααβββ+= 例3．判断矩阵
311201112A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭
是否可以对角化？
例4．试将λ-矩阵
22221()1A λλλλλ
λλλλλ⎛⎫
- ⎪
=- ⎪ ⎪+-⎝⎭
化成Smith 标准形。
例5．求
22221()1A λλλλλ
λλλλλ⎛⎫
- ⎪
=- ⎪ ⎪+-⎝
⎭
的各阶行列式因子。
例6．如果56⨯阶λ-矩阵()A λ的秩为4，其初等因子为
22333,,,1,(1),(1),(),()i i λλλλλλλλ---+-
试求()A λSmith 标准形。
例7．求下述λ-矩阵的行列式 因子与不变因子
712100
10()00001n n a a A a a λλλλλ-⎛⎫ ⎪-
⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭
例8．求矩阵的Jordan 标准形：
112336224A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭
例9．求方阵的Jordan 标准形及其相似变换矩阵。
126103114A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭
并求10A 。
例10．试用矩阵对角化理论求解常系数线性微分方程组
1
13
2
1233
13
383825dx x x dt dx x x x dt dx x x dt ⎧=+⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=--⎪⎩
3．试给出矩阵范数12,,F A A A A ∞及的定义，若101012125A ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，试求矩阵
范数12,A A A ∞及。
4. 求矩阵A 的Jordan 标准型，其中
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡---=7137341024A
5.求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=120111200321A 的满秩分解，求矩阵⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=513252321A 的LU 分解。
例 分别求下面三个矩阵的满秩分解
（1）1
210121221332431454
862
810A ⎛⎫
⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
（2）0012300246A ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
（3）010110201103022A -⎛⎫ ⎪
=- ⎪ ⎪-⎝⎭
6. 设n m C A ⨯∈，试叙述A 的奇异分解指的是什么？如何分解？并试求
（1）⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111001A （2）120000A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（3）0110021
0A ⎛⎫
⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
的奇异值分解式。
例 求正规矩阵0111101111011110A -⎛⎫ ⎪-
⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭
的谱分解。
7. 求矩阵031041112A ⎛⎫ ⎪
=- ⎪ ⎪⎝⎭
的QR 分解。
8.试写出Moore-Penrose 广义逆矩阵的定义，给出Moore-Penrose 广义逆矩阵的存在性及唯一性的证明。
9.设,m n n m A R B R ⨯⨯∈∈，试证明det()det()m n I AB I BA -=-，并利用此结论证明对Householder 矩阵2T n H I uu =-（其中单位列向量n u R ∈）有det 1H =-。
10. 设210420101A -⎛⎫ ⎪
=- ⎪ ⎪⎝⎭
,试求At e 和sin()At )(R t ∈。
11. 设n x x x ,,,21 是欧氏空间m V 中的一组向量，而
⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢
⎢⎢⎢⎣⎡=),(),(),(),()
,(),(),(),(),(2122
21
212111m n m m m m x x x x x x x x x x x x x x x x x x A 证明0)det(≠B 的充要条件为m x x x ,,,21 线性无关。
12. 设
⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡=3112A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∆02.05.00A 试估计下述值
∞
-∞
--∆+-1
1
1)(A
A A A
13（A ）证明下列向量范数的等价性（其中n x R ∈为任意向量）：
（1
）2x
x ∞
∞≤≤（2）1x x n x ∞∞≤≤（3
）212x x x ≤≤
（B ）证明下列矩阵范数的等价性（其中n n A R ⨯∈为任意矩阵）：
22A n A A F ≤≤
例1．已知矩阵
308316205A ⎛⎫
⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭
试求酉矩阵U ，使得H U AU 为上三角矩阵。
例2． 设A 是一个反H-阵, 证明: 1()()W A I A I -=+-是U-阵.
例3．设A 是一个n 阶正规矩阵,且存在自然数k 使得0k A =,证明: 0A =. 例4 .设A 是一个半正定的H-阵且0A ≠,B 是一个正定的H-阵, 证明:
det()det A B B +>。