考研数学模拟试题（数学二）参考答案一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项的字母填在题后的括号内）1.设0x 是多项式432()P x x ax bx cx d =++++的最小实根，则（）. （A ）0()0P x '≤（B ）0()0P x '<（C ）0()0P x '≥（D ）0()0P x '>解 选择A. 由于0lim ()x x P x →=+∞，又0x 是多项式()P x 的最小实根，故0()0P x '≤.2.设1x a→= 则函数()f x 在点x a =（）. （A ）取极大值（B ）取极小值（C ）可导（D ）不可导 解 选择D. 由极限的保号性知，存在()U a ，当()x U a ∈0>，当x a <时，()()f x f a <，当x a >时，()()f x f a >，故()f x 在点x a =不取极值.()()limx ax a f x f a x a →→-==∞-，所以()f x 在点x a =不可导.3.设(,)f x y 连续，且满足(,)(,)f x y f x y -=，则221(,)x y f x y dxdy +≤=⎰⎰（）.（A）1002(,)dx f x y dy ⎰⎰ （B）12(,)dy f x y dx ⎰⎰（C）102(,)dx f x y dy ⎰⎰（D）12(,)dy f x y dx ⎰⎰解 选择B. 由题设知2222111,0(,)2(,)2(,)x y x y y f x y dxdy f x y dxdy dy f x y dx +≤+≤≥==⎰⎰⎰⎰⎰⎰.4.微分方程22e xy y x '''-=的特解*y 形式为（）.(A) *2()e xy ax b =+ (B) *2e xy ax =(C) *22e x y ax = (D) *22()exy ax bx =+解 选择D. 特征方程220r r -=，特征根0,2r r ==，2λ=是特征根，特解*y 形式为*2()e x y x ax b =+.5. 设函数()f x 连续，则下列函数中，必为偶函数的是（）.（A ）2()x f t dt ⎰ （B ）20()xf t dt ⎰（C ）[()()]x t f t f t dt +-⎰（D ）0[()()]xt f t f t dt --⎰解 选择C. 由于[()()]t f t f t +-为奇函数，故0[()()]x t f t f t dt +-⎰为偶函数.6. 设在全平面上有0),(<∂∂xy x f ，0),(>∂∂y y x f ，则保证不等式1122(,)(,)f x y f x y <成立的条件是（ ）（A ）21x x >，21y y <. （B ）21x x <，21y y <. （C ）21x x >，21y y >.（D ）21x x <，21y y >.解 选择A.(,)0(,)f x y f x y x∂<⇒∂关于x 单调减少， (,)0(,)f x y f x y y∂>⇒∂关于y 单调增加， 当21x x >，21y y <时，112122(,)(,)(,)f x y f x y f x y <<.7.设A 和B 为实对称矩阵，且A 与B 相似，则下列结论中不正确的是（）. (A)A E λ-与B E λ-相似 (B) A 与B 合同 (C) A E B E λλ-=- (D) A E B E λλ-=-解 选择D. A 与B 相似可以推出它们的多项式相似，它们的特征多项式相等，故A ，C 正确，又A 和B 为实对称矩阵，且A 与B 相似，可以推出A 与B 合同，故B 正确. 8. n m A A ⨯=，r A R =)(，b 为m 维列向量，则有（）. (A)当r m =时，方程组Ax b =有解 (B)当n r =时，方程组Ax b =有唯一解 (C)当n m =时，方程组Ax b =有唯一解 (D)当n r <时，方程组Ax b =有无穷多解解 选择A. 当r m =时，(),()r A b r A =，方程组Ax b =有解.二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上）9. 10(1)elimxx x x→+-= .解 答案为e2-.111ln(1)ln(1)1000(1)e eee1limlimelimx x x xxx x x x xxx++-→→→+---==01ln(1)1elim x x x x →+-=20011ln(1)e 1elim elim 22x x x x x x x →→-+-+===-10设f 有二阶连续偏导数，(,,)u f x xy xyz =，则2uz y∂=∂∂ . 解 答案为2233233xf x yf x yzf '''''++.3uxyf z∂'=∂ 2223323333233()uxf xy f x f xz xf x yf x yzf z y∂''''''''''=+⋅+⋅=++∂∂ 11.设微分方程()y x y x y ϕ'=+的通解为ln x y Cx=，则()x ϕ= . 解 答案为21x-. 将ln x y Cx =代入微分方程，得21(ln )ln Cx Cx ϕ=-，故21()x x ϕ=-. 12.数列中最大的项为 .解【将数列的问题转化为函数的问题，以便利用导数解决问题】设11ln ()ex x xf x x ===，1ln 21ln ()e0x xxf x x -'==⇒e x =， e x <时，()0f x '>，()f x 单调增加，故e n <时，()f n =最大， e x >时，()0f x '<，()f x 单调减少，故e n >时，()f n ==>=13.方程805201xdtx t --=+⎰在区间(0,1)内的实根个数为 .解 答案为1. 令80()521x dt f x x t =--+⎰，180(0)20,(1)301dtf f t =-<=->+⎰， 由零点定理知，此方程在区间(0,1)内至少有一个实根，又81()501f x x '=->+，()f x 单调增加，故此方程在区间(0,1)内有且仅有一个实根.14.设n 阶矩阵A 的秩为2n -，123,,ααα是非齐次线性方程组Ax b =的三个线性无关的解，则Ax b =的通解为 .解 答案为1121231()()k k ααααα+-+-，12,k k 为任意常数.123,,ααα是非齐次线性方程组Ax b =的三个线性无关的解，则2131,αααα--是0Ax =的两个解，且它们线性无关，又()2n r A -=，故2131,αααα--是0Ax =的基础解系，所以Ax b =的通解为1121231()()k k ααααα+-+-.三、解答题（本题共9小题，满分94分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （本题满分9分）求极限10)xx →解1111ln(1)ln(1)10000)(1)e e e e12lim 2lim 2elimx x x x x xx x x x x x x x++-→→→→+---===01ln(1)1elim x x x x →+-=20011ln(1)12elim 2elim e 2x x x xx x x→→-+-+===-16. （本题满分9分）设()f x 单调且具有一阶连续导数，(())z f x y ϕ=+满足()0z z y x yϕ∂∂-=∂∂，求可导函数()y ϕ. 解zf x∂'=∂，()z f y y ϕ∂''=⋅∂，代入方程()0z z y x y ϕ∂∂-=∂∂，得()()0y f f y ϕϕ'''⋅-=，即()()y y ϕϕ'=，解得()e xy C ϕ=，其中C 为任意常数. 17. （本题满分9分）计算积分1311sin )dy y dx -⎰⎰解 画出二重积分区域D ，1D 是D 的第一象限部分，由对称性，得13311sin )sin )Ddy y dx y dxdy -=⎰⎰⎰⎰12cos 24022D dxdy d r dr πθθ==⎰⎰⎰3402(8cos 393d πθθ=-=-⎰ 18. （本题满分11分）求微分方程2()0(0)y a y a '''-=>满足初始条件00x y ==，01x y ='=-的特解. 解 令,dpy p y dx'''==，代入原方程，得 20dpap dx-=，2dp adx p =⎰⎰，2dp adx p =⎰⎰，11ax C p -=+，由0,0,1x y y p '====-，得11C =，11ax p -=+，11p ax =-+，即11y ax '=-+， 故211ln(1)1y dx ax C ax a=-=-+++⎰， 由0,0x y ==得20C =，所以1ln(1)y ax a=-+.19. （本题满分11分）设()f x 和()g x 在区间(,)a b 可导，并设在(,)a b 内()()()0f x g x f x ''-≠，证明在(,)a b 内至多存在一点ξ，使得()0f ξ=. 证 设()()()g x x f x eϕ-=，则()()(()()())g x x ef x f xg x ϕ-'''=-.若在(,)a b 内存在两个不同的点12,ξξ，使得12()()0f f ξξ==， 则由罗尔定理知，至少存在一点ξ介于12,ξξ之间，使()0ϕξ'=，即()(()()())0g ef fg ξξξξ-''-=，于是有()()()0f f g ξξξ''-=，与题设矛盾，故在(,)a b 内至多存在一点ξ，使得()0f ξ=. 20. （本题满分11分）设有抛物线Γ：2y a bx =-，试确定常数,a b 的值，使得 ⑴Γ与直线1y x =+相切；⑵Γ与x 轴所围图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积最大. 解 设切点为00(,)x y ，2y bx '=-，切线斜率0001121,24k bx x y a b b=-=⇒=-=-， 代入切线方程，得11114(1)42a a b b b -=-+⇒=-.⑴又旋转体体积2230002()a a a a y a y V x dy dy dy a a b bππππ--====-⎰⎰⎰，22(23)0V a a π'=-=，解得0a =或者23a =，2(26)V a π''=-，2(0)40,()403V V ππ''''=>=-<，故23a =时，体积V 最大，将23a =代入⑴得34b =，所以23a =，34b =.21.（本题满分11分）一质量为m 的物体以速度0v 从原点沿y 轴正方向上升，假设空气阻力与物体的运动速度平方成正比（比例系数0k >），试求物体上升的高度所满足的微分方程及初始条件，并求物体上升的最大高度.解 根据牛顿第二定律，物体上升的高度()y y t =所满足的微分方程为222d y dy m mg k dt dt ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 初始条件为0(0)0,(0)y y v '==.dy v dt =代入方程，得2dv m mg kv dt=--，2dv kv g dt m =--，记22,k a g b m ==，222dv a b v dt =--，222dvdt a b v =-+⎰⎰， 积分得1arctan bv t C ab a =-+，0t =时，0v v =，故01arctan bv C ab a=，011arctan arctan bv bv t ab a ab a=-+， 令0v =，得上升到最高点的时间为011arctan bv t ab a=1arctan()bv ab t t a =-，1tan ()av ab t t b=- 上升的最大高度为11220112220011tan ()ln cos[()]ln(1)2t t b v a y ab t t dt ab t t b b b a=-=-=+⎰. 22. （本题满分11分）设()()()()()TTTTT12341,2,3,1,1,1,2,1,1,3,,3,3,5,7,1,0,1,1,a b ααααβ==-==-=. ⑴当,a b 满足什么条件时，β可由1234,,,αααα线性表示，且表示式唯一？⑵当,a b 满足什么条件时，β可由1234,,,αααα线性表示，且表示式不唯一？并求出β的表示式.解 设11223344x x x x ααααβ+++= ⑴，其增广矩阵123411130111302135101111(,,,,)~327100410113100022a a b b ααααβ⎛⎫⎛⎫⎪⎪--⎪ ⎪= ⎪ ⎪--⎪⎪----⎝⎭⎝⎭⑴当4a ≠时，12341234(,,,,)(,,,)4r r ααααβαααα==，方程组⑴有唯一解，即β可由1234,,,αααα线性表示，且表示式唯一.⑵当4a =时，12341113001111(,,,,)~0001000002b ααααβ⎛⎫ ⎪--⎪⎪- ⎪-⎝⎭，故当4,2a b ==时，12341234(,,,,)(,,,)3r r ααααβαααα==，方程组⑴有无穷多解，即β可由1234,,,αααα线性表示，且表示式不唯一，1234102101101(,,,,)~0001000000ααααβ⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，同解方程组为13233341210x x x x x x x =-⎧⎪=-+⎪⎨=⎪⎪=⎩，通解为TT (1,1,0,0)(2,1,1,0)k -+-，故β的表示式为123(12)(1)k k k βααα=-+-+，其中k 为任意常数. 23. （本题满分11分）设,A P 为n 阶矩阵，P 可逆，且AP PA =，证明：⑴若α是A 的特征向量，则P α也是A 的特征向量；⑵若A 有n 个不同的特征值，α是A 的特征向量，则α也是P 的特征向量.证 ⑴证 设A αλα=，则()()()()A P P A P P ααλαλα===，故P α也是A 的特征向量⑵由A 有n 个不同的特征值知，A 的每个特征值只对应一个线性无关的特征向量，又,P αα是对应同一个特征值的特征向量，故它们线性相关，故存在常数c ，使得P c αα=，故α也是P 的特征向量.。