R2 ur= = v0 ( r 2 ) cos r r R2 u = = v0 ( r + 2 ) sin r r
= u cos(u , s ) = us s
（可由方向导数的定义证之，s代表任意方向）
（2）速度势值的大小沿流线方向增加
d = us ds = uds
（ds沿流线方向的位移为正。则若知道流线方 向，即可确定速度势的增值方向）
（3）等势线（面）：速度势相等的点连成的线（面）
d ( x, y, z ) = 0 d ( x, y ) = 0
定义函数
ux = y ( x, y ) : u = y x
函数 ( x, y ) 称为流函数。
不可压缩连续流体的平面流动必存在流函数 ( x, y ) 。
不管是无旋、有旋，理想、实际流体，都存在流函数，所以 流函数更具普遍性，是研究平面流的一个重要工具。
x （3）平面势流的 是调和函数，满足拉普拉斯方程。 即：
2 2 + 2 =0 2 x y
3、注：①只要 u x +
x
②只要
u y y
= 0 ，即存在流函数。（流体连续，动是平面流动）
，即存在速度势函数。（无旋流）
u x u y = y x
三、流函数与速度势的关系
r2
2
源点
1

a
汇点
2、圆柱绕流
偶极流与匀速直线流可组合成有实际意义的圆柱绕流。
= v0 r sin
M sin 2r
物体轮廓线： r=R的零流线
v0 R sin M sin =0 2R
M = 2v0 R 2
（1）流函数
R2 = v0 (r ) sin r
第八章 绕流运动
绕流运动：流体绕物体的运动。在实际中大量存在这种运动。 如飞机在空中飞行、水流经桥墩、船在水中航行、水中悬浮物的升降和粉尘在 空中的沉降、烟囱周围空气流动都是绕流问题。 解决绕流问题的方法之一是将流场划分两个区： （1）紧靠固体的边界层，粘性起主要作用。粘性流体边界层理论。解决 绕流阻力问题。
(4)流网可以显示流速的分布情况
u1 dm2 = u2 dm1
∵任两相邻流线间的d 相同，也即单宽流量 dq 是一常数 ∴任何网格中的流速
u= dq dm
dm 在流网里可直接量得 ∴ ∴已知一点流速，可由上式算出各点流速值，还可以看出流线愈密集，流速 愈大，反之亦然。 （5）流体中压强分布可以通过流网和理想流体能量方程求得，若一点的压强 为已知，根据下式：
Q = ln r 2 = Q 2 Q = ln x 2 + y 2 2 = Q arctan y 2 x
三、环流
1、流速
c （c为常数） u = r ur = 0
2、流、势函数
= ln r 2 = 2
= v0 (
Q Q Q ) sin + = 2v0 2 2
轮廓线方程：
= v0 r sin +
Q Q = 2 2
( = 0, r = , v0 y = Q 2v0
Q Q , y = ) 2 2v0
物体的轮廓以 y =
为渐近线。
此绕流物体为半无限体（有头无尾）。
二、匀速直线绕流中的等强源汇流（了解）
u y uz = z y u y ux = x y u x uz = z x
由此可知，必有：
为某一函数 x，y，z）的全微分的充分且必 （
此关系式是使：（ u x dx + u y dy + u z dz）成
需条件，故必有一函数 （，y，z），此函数 x
即称为速度势或速度势函数。所以无旋流也称 为有势流。 对有势流，只要确定了
= v0 y +
Q y y (arctg arctg ) 2 x+a xa
1 驻点： y = 0, x = 处， = 0 2 全物体轮廓线。 三、偶极流，圆柱绕流（偶极流与匀速直线流的组合） 1、偶极流
流函数：
=
M sin 2r
p(r , )
r1 r
流线：
x2 + ( y 1 2 1 ) = 2 2c 4c
ux = a, u y = b
d = u x dx + u y dy = adx + bdy
= adx + bdy = ax + by
流函数根据：

d = u x dy u y dx = ady bdx
= ay bx
当流动平行于y轴，u x = 0 ，则
= by
= bx
θ
汇流：流体沿径向直线均匀地向某一点o 流入，称汇流，点o称汇点。如：地下水 向井中的流动可作为汇流。
源流
Q = ln r 2 = Q 2
Q = ln x 2 + y 2 2 = Q arctan y 2 x
极坐标系中，流速分量与流函数、势函数的关 系为： = u , = ur r r = ur , = u r r 汇流
P217[例8-4]自学
= ar2 cos 2 = ar2 sin2
= ar cos 推广至一般角度， = ar sin
§8-4 势流叠加
一、势流的叠加性
1、含义：势流的一个很重要的特性。 几个简单势流叠加组合成较为复杂的复合势流（φ， ψ），即
(8 2 5)
二、流函数
是研究流体平面运动的一个很重要的概念， 是为了用流网法求解平面势流所引入的一个概念。
平面流动：在流场中某一方向（取z轴）流速为零，而另两方向流速ux、uy与 上述轴向坐标z无关的流动。
1、流函数（不可压缩、均质流体的平面流动）
不可压缩流体平面流动连续性方程：
u x u y + =0 x y
( x, y ) = c
c值不同得不同的等势线。
（4）速度势满足拉普拉斯方程（不可压缩流体无旋流动的连续性方程）， 是调和函数
2 2 2 + 2 + 2 = 0 = 2 x 2 y z

2
— 拉普拉斯算子
P208-29 例题自学 3、速度势的极坐标形式
(r , ) ur = u = r r 2 2 1 + 2 + =0 2 2 r r r r
1
1 +
1 +
1
则 = ux dx + u y dy = udn(cos2 + sin2 ) = udn d
dx = dmsin 设dm为两流线间的网格边长，则 dy = dmcos
由于 d = u x dy u y dx

dm
dn

x
d = udm(cos2 + sin2 ) = udm d dn = 则 d dm 若： = d ，则为正方形网格。 d
= ux x
；
= uy y
；
= uz z
速度势 ，即可确定出
u
x
、u
y
、u z 的值，
x
而不必求出 u
、u
y
、u
z
d = uxdx+uydy+uzdz
的三个函数表达式，从而简 化有势流分导数等于速度在该方向上的分量，即
= 1 + 2 + + k = 1 + 2 + + k
u x = u x1 + u x 2 u y = u y1 + u y 2
且满足拉普拉斯方程。
2、意义： 解决势流问题在数学上就是寻求满足拉普拉斯方程和给定边界条件 的速度势函数φ或流函数ψ 。当流动情况较复杂时（如绕圆柱的流动）直接求 出势函数φ比较困难，但我们前节所讨论的简单势流作适当组合就可得到复杂 的实际流动。将各种简单势函数或流函数叠加起来就得到新的势流的势函数和 流函数。这样利用势流叠加原理可以解决复杂的实际流动。
当流动平行于x轴，u y = 0 ，则
= ax
= ay
变为极坐标方程，x = r cos ,
y = r sin
= ar cos = ar sin
二、源流和汇流 Q ur = u = 0 2r
r
源流：设在水平的无限平面内，流体从 某一点o沿径向直线均匀地向各方流出， 如图，这种流动称源流，点o称源点。如 泉眼向外流出，就是源流的近似。
1、流函数与速度势为共轭函数。即：
ux = uy = x y = = y x
柯西-黎 曼条件
2、流函数与势函数正交（流线与等势线垂直）。
四、流网 —— 由等势线和等流函数线构成的正交的网格，即流网。
1、性质： （1）等势线与等流函数线正交，即流线与等势线正交； （2）相邻两流线的流函数值之差，是此两流线间的单宽流量，即
（2）不受固体阻力影响，粘性不起作用的区间。理想流体势流理论，尤 其是平面无旋势流理论更有实用意义。解决流场的速度和压强分布问题。
本章任务：
（1）平面无旋势流理论
（2）附面层的基本概念
实际中无旋流动：
如吸风装置形成的气流，飞机飞过时的气流
一、速度势
§8-1 无旋流动
1、速度势的定义： 如果流体的运动为无旋流， 则有：
u1 dm2 = u2 dm1
可求得其他各点的压强，因此，可通过流网求解恒定平面势流问题。
p1 p2
2 2 u2 u1 = = z2 z1 + 2g