f ( x1 )
0
x1
x2
x
y
f(x2)
y x2
f(x1)
o
当 x 在区间 [0,+∞) 上取值时，随 着 x 的增大，相应的 y 值也随着增大。
x1 x2 x
y x2
y
f(x1)
f(x2)
当 x 在区间（﹣∞,0] 上取值时， 随着 x 的增大，相应的 y 值反而随着减小。
x1 x2 o
班级：125班
教师：XXX
艾宾浩斯记忆遗忘曲线
记忆保持量 （百分数）
100 80 60
40
20 O
2
3
4
5
6
天数
连一连
收入
每况愈下
O
（1）
时间
收入
（2）
O
蒸蒸日上
时间
y
7 6 5 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 0
y
y x2
7 6 5 4 3 2 1
y x3
1 2 3 4
x
-4 -3 -2 -1 0 -1 2 3 4 1 -2 -3 -4 -5 -6 -7
1 2 3 4
x
所以，函数 y=x2 的单调区 间是（–∞ ,0] 和(0,+∞ ） 。
图象法判断函数的单调性：
在单调区间上，增函数的图象从左到右上升 在单调区间上，增函数的图象从左到右下降
例1 下图是定义在闭区间[-5,5]上的函数 y f (x) 的图象,根据图象说出 y f (x) 的单调区间,以及在 每一单调区间上, y f (x) 是增函数还是减函数.
y
-2 -5 -4 -3
3 2 1
-1 O -1 1 2 3 -2 4 5
x
解:
函数 y=f(x) 的单调区间有 [-5,-2), [-2,1), [1,3), [3,5]，其中
在区间[-5,-2), [1,3)上是减函数
在区间[-2,1), [3,5)上是增函数.
1. 如图,已知 y=f(x), y=g(x)的图象(包括端点),根据 图象说出函数的单调区间,以及在每一区间上,函数是 增函数还是减函数.
y f ( x)
-2 -1
y y
y=g(x)



1
2
o
解: (1) (2)
-1
1
2
x
o

2

-1
x
函数 y=g(x) 的单调区间有 y=f(x) 的单调区间有 π ), π ,π ] [ π , [-2,-1), [ π2 , π2 ) , [[1,2]，其中 [-1,0), [0,1), 2 其中 2 在区间[-2,-1), π ) , [ π , π ] 上是减函数 在区间 [ π , [0,1)上是减函数 2 2 在区间[-1,0),, [1,2]上是增函数. [ π2 π2 ) 上是增函数. 在区间
减函数的函数图象从左到右是上升的
3、单调性： 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数， 那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有单调性，这 一区间叫做y=f(x)的单调区间.
y
7 6 5 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 0
y x2
在区间（–∞ ,0]上，函数 y=x2是减函数。 在区间 (0,+∞ ）上，函数 y=x2是增函数。
f ( x2 )
y=f(x)
(1)
f ( x1 )
0
x1
x2
x
0
x1
x2
x
2、减函数：
设函数y=f(x)的定义域为 I，如果对于属于定义域I内某个区间D 上的任意两个自变量x1 , x2 ，当x1< x2时，都有f(x1)>f(x2 )，那么就 说﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏
x
1、增函数：
设函数y=f(x)的定义域为 I，如果对于属于定义域I内某个区间D 上的任意两个自变量x1 , x2 ，当x1< x2时，都有f(x1)<f(x2 )，那么就 说f(x)在区间D上是增函数。
﹏﹏﹏
﹏﹏
y
f ( x2 )
﹏﹏﹏ ﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏
y
(2)
f ( x1 )
增函数的函数图象从左到右是上升的 y=f(x)
x
按照从左到右的顺序观察
y
y x2
当 x 在区间 [0,+∞) 上取值时，随 着 x 的增大，相应的 y 值也随着增大。
o
x
按照从左到右的顺序观察
y
y x2
f(x2)
f(x1)
o
当 x 在区间 [0,+∞) 上取值时，随 着 x 的增大，相应的 y 值也随着增大。
x1 x2 x
1、增函数：
所以
f(x)=3x+2在R上是增函数
下结论
证明函数 f ( x) 2 x 3 在R上是减函数.
证明函数 f ( x) 2 x 3 在R上是减函数.
证明：设 x1，x2 是 R上的任意两个实数，且x1﹤x2 则 由 于是 即 f(x1) - f(x2) = (-2x1+3) - (-2x2+3) = -2（x1-x2） x1﹤x2 ，得 x1 - x2﹤0 f(x1) - f(x2) ﹥ 0 f(x1) ﹥ f(x2)
设函数y=f(x)的定义域为 I，如果对于属于定义域I内某个区间D 上的任意两个自变量x1 , x2 ，当x1< x2时，都有f(x1)<f(x2 )，那么就 说f(x)在这个区间D上是增函数。 增函数的函数图象从左到右是上升的
﹏﹏﹏ ﹏﹏﹏ ﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏ ﹏﹏﹏
y
f ( x2 )
y=f(x)
(1)
例2
证明函数 f(x) = 3 x＋2在区间R上是增函数．
设值 作差 变形 定号 则 由 于是 即
证明：设 x1，x2 是 R上任意两个实数，且x1﹤x2 f(x1) - f(x2) = (3x1+2) - (3x2+2) = 3（x1-x2） x1﹤x2 ，得 x1 - x2﹤0 f(x1) - f(x2) ﹤0 f(x1) ﹤ f(x2)
所以
f(x)=-2x+3 在R上是减函数
课堂小结
1. 增函数、减函数、函数单调性的定义；
2. 图象法判断函数的单调性：
增函数的图象从左到右
减函数的图象从左到右
上升 下降
3. (定义法)证明函数单调性的步骤:
设值 作差 变形 定号 下结论
布置作业
已知函数 y=x2 的单调区间是（–∞ ,0）和 [0,+∞ ） ， ﹏﹏﹏﹏﹏﹏ 思考 能不能说函数y=x2 的单调区间是（–∞ ,0） ∪ [0,+∞ ） ﹏﹏﹏﹏﹏﹏