例1：判断下面几个常见函数是增函数 还 是减函数？
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
y=
0.2 0.4 0.6
0.1
（x≥0） 1+x
0.8 1 1.2
x
0.6
0.4
0.2
0.1
0.2
x 函数 y 1 x 为
0,上的增函数，
区间 0,也叫做该函数的增区间。
0.6
0.5
0.4
问题情境：在一杯白开水中加入适量的糖
根据生活经验我们知道： 糖加的越多，糖水就越甜， 换句话说这杯水中糖的浓度就越高。
—————糖水原理
假设白开水的质量为1， 加入的糖的质量为 x , 得到的糖水中糖的浓度为 y , 那么y与x具有怎样的关系呢？
x y ( x 0) 1 x
0.6
0.5
问6：要将所有的值都拿出来比较， 能做到吗？一一列举行吗？
一般地，设函数 y f ( x)的定义域为 A，区间I A
如果对于区间 I内的任意两个值 x1，x2，
当x1 x2时，都有 f ( x1 ) f ( x2 )
那么我们就说 y f ( x)在区间I上是单调增函数 区间I称为y f ( x)的单调增区间
0.4
0.3
0.2
y=
0.2 0.4 0.6
0.1
（x≥0） 1+x
0.8 1 1.2
x
0.6
0.4
0.2
0.1
0.2
问1：你能用语言描述该函数图像具有的特征吗?
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
y=
0.2 0.4 0.6
0.1
（x≥0） 1+x
0.8 1 1.2
x
0.6
0.4
0.2
0.1
0.2
定义：这种随x的增大，y也越来越大的函数 我们称为单调递增函数。简称增函数 那减函数呢？
问4：“y随x的增大而增大”又怎么用数学语 言 来表达？
问5：你认为下面的判断对吗？
x 考察函数 f ( x) 1 x 因为当 1 2时，f (1) f (2) x 所以函数f ( x) 为单调增函数 1 x
问5：你认为下面的判断对吗？
因为当 1 2时，f (1) f (2) 当2 3时，f (2) f (3) 当3 4时，f (3) f ( 4) x 所以函数f ( x) 为单调增函数 1 x
0.3
0.2
y=
0.2 0.4 0.6
0.1
（x≥0） 1+x
0.8 1 1.2
x
0.6
0.4
0.2
0.1
0.2
问2：你能根据上述定义（自然语言的描述） 证明该函数为 0,上的增函数吗？
增函数定义：y随x的增大而增大
问3：定义中“增大”一词是什么意思？
“x的增大”如何用数学语言来表达？
增函数定义：y随x的增大而增大
x 例2：用定义证明函数 f ( x) 在区间0， 1 x 是单调增函数。
1 变式：求证函数 f ( x) x 在区间(1,) x 上是单调递增函数