24.1.2 垂直于弦的直径
【知能点分类训练】
知能点1 圆的对称性
1．圆是轴对称图形，它的对称轴是_______，圆还是中心对称图形，它的对称中心是_______．
2．两个同心圆的对称轴（）．
A．仅有1条 B．仅有2条 C．有无数条 D．仅有有限条
3．如图所示，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．（1）图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（3）①在图中，连接OA，OB，则△OAB是等腰三角形，那么
直径CD既是⊙O•的________，又是△OAB的________．
②把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，
点A与点B重合，AE与____•重合，AC与______重合，AD
与_____重合．
③同理可得到AE_____BE，AC=_______，AD=________．
知能点2 垂直于弦的直径
4．如图所示，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不一定成立的是（）．
A．∠COE=∠DOE B．CE=DE C．OE=BE D．BC BD
(第4题) (第5题) (第8题)
5．如图所示，在⊙O中，OD⊥AB于P，AP=4cm，PD=2cm，则OP的长等于（）．
A．9cm B．6cm C．3cm D．1cm
6．在⊙O中，CD为直径，AB为弦，且CD平分AB于E，OE=3cm，AB=8cm，则⊙O•的半径为________．
7．在⊙O中，直径AB垂直于弦CD于E，∠COD=100°，则∠COE=_______．
8．如图所示，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，当______时，CD•⊥AB．（填写一个你认为适当的条件）
9．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA•为半径的圆与AB，BC分别交于点D，E，求AB，AD的长．
10．如图所示，在⊙O中，AB，CD为两条弦，且AB∥CD，直径MN经过AB中点E，交CD
吗？
于F，试问：（1）点F是CD的中点吗？（2）AC BD
【综合应用提高】
11．如图所示，圆弧形桥拱的跨度AB=12m，拱高CD=4m，则拱桥的直径为（）．A．6.5m B．9m C．13m D．15m
(第11题) (第12题)
12．如图，在直径为10m的圆柱形油槽内装入一些油后，油面宽AB=8m，•那么油的最大深度是_________．
13．如图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧，即图中CD，点O是CD•的圆心，CD=600m，E为CD上一点，且OE⊥CD于F，EF=90m，则这段弯路的半径是多少？
14．一座桥，桥拱是圆弧形（水面以上部分），测量时只测到桥下水面宽AB为16m（•如图），桥拱最高处离水面4m．
（1）求桥拱半径；
（2）若大雨过后，桥下面河面宽度为12m，问水面涨高了多少．
15．如图所示，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下的水平宽度为7.2m，•拱顶高出水面2.4m，现有一艘宽为3m，船舱顶部为长方形，并高出水面2m的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？用你所学的数学知识说明理由．
【开放探索创新】
16．不过圆心的直线L交⊙O于C，D两点，AB是⊙O的直径，AE⊥L，垂足为E，BF⊥L，• 垂足为F．
（1）在图所示的三个圆中分别补画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形．（2）请你观察（1）中所画的图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论（不再标注其他字母），找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程．（3）请你选择（1）中的一个图形，证明（2）所得的结论．
【中考真题实战】
17．（黑龙江）如图所示，在⊙O中，AB，AC为互相垂直且相等的弦OD⊥AB，•OE⊥AC，垂足分别为D，E，若AC=2cm，则⊙O的半径为________．
(第17题) (第19题)
18．（武汉）过⊙O内一点M的最长弦为10cm，最短弦长为8cm，那么OM的长为（）．
A．3cm B．6cm C cm D．9cm
19．（南昌）如图所示，在平面直角坐标系中，⊙O•′与两坐标轴分别交于A，B，C，D四点，且AC=BD．已知A（6，0），B（0，-3），C（-2，0），则点D的坐标是（）．A．（0，2） B．（0，3） C．（0，4） D．（0，5）
20．（河北）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其中工件槽的两个底角均为90°，•尺寸如图（•单位：cm），将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A，E，B三个接触点，•该球的大小就符合要求．
图（2）是过球心O及A，B，E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD，BD⊥CD，请你结合图（1）中的数据，计算这种铁球的直径．
答案:
1．经过圆心的任意一条直线 圆心 2．C 3．（1）是．直径CD 所在的直线．
（2）相等的线段有AE=BE ；相等的弧有AB BC =，AD BD =．
根据此图形是轴对称图形，图形两侧部分重合．
（3）①对称轴 对称轴 ②BE BC BD ③= BC BD
4．C
5．C 提示：连结OA ，则O A 2+（OD-PD ）2=AP 2，即OA 2+（OA-2）2=42， ∴OA=5，OP=OD-PD=OA-PD=3cm ． 6．5cm 7．50°
8．BC BD =（或CE=DE ，或AC AD =）
9．解：如右图所示，作CP ⊥AB 于P ． 在Rt △ABC 中，由勾股定理，得
=．
由S △ABC =
12AB ·CP=1
2AC ·BC ， 得52CP=12×3×4，所以CP=125
．
在Rt △ACP 中，由勾股定理，得
=95．
因为CP ⊥AD ，所以AP=PD=1
2
AD ， 所以AD=2AP=2×
95=185
．
10．解：如右图所示，（1）点F 是CD 的中点． ∵直径MN 平分不是直径的弦AB ， ∴MN ⊥AB ， ∵AB ∥CD ， ∴MN ⊥CD ， ∴CF=FD ．
（2）由MN ⊥AB ，MN ⊥CD 得 AN BN =，CN DN =， ∴AN CN BN DN -=-， 即AC BD =．
11．C 12．2cm
13．解：如右图所示，连接OD ．
∵OE ⊥CD ，∴DF=
1
2
×600m=300m ． 在Rt △DOF 中，OD 2=OF 2+DF 2， ∴R 2=（R-90）2+3002， ∴R=545（m ）．
∴这段弯路的半径是545m ． 14．解：（1）如右图所示，设点O 为AB 的圆心，点C 为AB 的中点， 连接OA ，OC ，OC 交AB 于D ，由题意得AB=16m ，CD=4m ，
由垂径定理得OC ⊥AB ，AD=
12AB=12
×16=8（m ）． 设⊙O 半径为xm ，则在Rt △AOD 中，
OA 2=AD 2+OD 2，即x 2=82+（x-4）2
解得x=10，所以桥拱的半径为10m ． （2）设河水上涨到EF 位置（如上图所示），
这时EF=12m ，EF ∥AB ，有OC ⊥EF （•垂足为M ）． ∴EM=
1
2
EF=6m ． 连接OE ，则有OE=10m ，
（m ）． OD=OC-CD=10-4=6（m ）， OM-OD=8-6=2（m ）．
15．解：如右图所示，作出AB 所在的圆心O ，连接OA ，ON ． 设OA=r ，则OD=OC-DC=r-2.4，AD=
2
AB
=3.6． 在Rt △OAD 中，有OA 2=AD 2+OD 2， 即r 2=3.62+（r -2.4）2，解得r=3.9．
又在Rt△ONH中，有=3.6， FN=DH=OH-CD=3.6-（3.9-2.4）=2.1（m），
这里2m<2.1m，有0.1m的等量，因此货船可以通过这座拱桥．16．解：（1）
（2）结论：EC=FD或ED=FC．
（3）选择（1），证明：
过O作OG⊥CD于G，则CG=GD．
∵AE⊥CD，BF⊥CD，
∴AE∥OG∥BF，则四边形AEFB为梯形，
∵AB为⊙O的直径，∴OA=OB，
∴EG=GF，∴EG-CG=GF-GD，
即EC=DF．
17
18．A 19．D
20．解：连接OE，交AB于F，连接OA，由题意得四边形ABDC是矩形，• 由圆的轴对称性可知OE⊥CD．
∵CD∥AB，∴OE⊥AB．
且AF=1
2
AB=
1
2
×16=8（cm），
EF=AC=4cm，设⊙O的半径为r，在Rt△AFO中，OA2=OF2+AF2，即r2=（r-4）2+82，
解得r=10，∴2r=20．
所以这种铁球的直径为20cm．。