16
16
109mm
2. 按刚度条件求所需外直径D
因 Ip
πD4 32
14
πD4 15 , 32 16
斜截面 ef (如图)上的应力。
分离体上作用力的平衡方程为
F 0,
d A d Acos sin d Asin cos 0
F 0,
d A d Acos cos d Asin sin 0
利用 = '，经整理得
sin 2 , cos 2
sin 2 , cos 2
T WP
Ip—截面的极惯性矩，单位：m4 , mm 4
WP
Ip
max
WP —抗扭截面模量，单位：m3, mm3.
整个圆轴上——等直杆：
max
Tm a x WP
公式的使用条件：
1、等直的圆轴， 2、弹性范围内工作。
圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数Wp
d
实心圆截面：
O
d
Ip
2dA
A
2 2 (2π d )
d x GIp
的两横截面之间的相对扭转角为
d l T d x
l
0 GIp
当等直圆杆相距 l 的两横截面之间，扭矩T及
材料的切变模量G为常量时有
Tl
GIp
Ⅱ. 刚度条件
m ax [ ]
(°)
式中的许可单位长度扭转角[']的常用单位是(°)/m。
此时，等直圆杆在扭转时的刚度条件表示为：
G
该式称为剪切胡克定律。
剪切弹性模量G 材料常数：拉压弹性模量E
泊松比μ
G E
2(1 )
2、切应力互等定理
单元体—— 从受扭的薄壁圆筒表面处截取一微小的正六面体
Me
Me
dy
y d xd z
'
Fy 0 自动满足
z
a
b
O '
dx
d c
dydz
Fx 0 存在'
Mz 0
x d y d zd x d x d zd y
第3章 扭 转
§3.1 概 述
一、定义
MM ee
MMee
扭转变形 ——在一对大小相等、转向相反的外力偶矩 作用下，杆的各横截面产生相对转动的 变形形式，简称扭转。
二、工程实例
1、螺丝刀杆工作时受扭。
阻抗力偶
Me
主动力偶
2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。
3、机器中的传动轴工作时受扭。
扭转的概念 受力特点：杆两端作用着大小相等、方向相反的力偶，且力
(5-1)
T m 扭矩 T m
扭矩T的符号规定：
nn
T Me ㈩
T Me ㈩
[例5-1]图示传动轴，主动轮A输入功率NA=50 马力，从 动轮B、C、D输出功率分别为 NB=NC=15马力 ，ND=20马 力，轴的转速为n=300转/分。作轴的扭矩图。
解：
MA
7024 N A n
7024 50 300
解：1. 确定实心圆轴直径
max [ ]
max
T πd
3
T πd
3
16
16
d
3
1π6T
3
16(1.5103Nm) π(50 106 Pa)
0.0535
m
取： d 54 mm
2. 确定空心圆轴内、外径
Wp
πD3 16
1 4
16T
π D3(1 4)
16
3 16T
D π(1 4 ) 76.3 mm d D 68.7mm
以两轴的重量比即为其横截面面积之比
π
A2 4 A1
D22
d
2 2
π 4
d12
D22
12
d12
1.1942 1 0.82
0.512
zmax
max
d1
(c)
d2 D2
(d)
切应力的分布规律如图c、d所示，当max＝[]
时，实心轴圆心附近的切应力还很小，这部分材
料没有充分发挥作用，空心轴可以提高材料的利
16
71.3MPa
[ ] 80MPa
即该轴满足强度条件。
例题
直径为d1的实心圆轴Ⅰ(图a)和内、外直径分
别为d2和D2，＝ d2/ D2=0.8的空心圆轴Ⅱ(图b),两
轴的长度、材料、扭矩分别相同。试求两种圆轴在
横截面上最大切应力相等的情况下，D2与d1之比以 及两轴的重量比。
1. 分别求两轴的最大切应力
观察变形规律：
圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动 了一个不同的角度。
纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。
扭转平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状 、大小
以及间距不变，半径仍为直线。
定性分析横截面上的应力
（1） 0 0
（2） 0 0
因为同一圆周上剪应变相同，所以同 一圆周上切应力大小相等，并且方向 垂直于其半径方向。
剪应变的变化规律：
D’
取楔形体 O1O2ABCD 为
研究对象
tg DD' Rd
dx dx
微段扭转
变形 d
tg dd d
dx dx
d
dx
d / dx－扭转角变化率
二）物理关系：由应变的变化规律→应力的分布规律
弹性范围内 max P
G → G
G
d
dx
方向垂直于半径。
三）静力关系：由横截面上的扭矩与应力的关系→应力的计算公式
T
A dA
G
d
dx
A
2dA
Ip A 2dA
T
GI p
d
dx
d
dx
T GI p
代入物理关系式
扭转变形计算式
G
d
dx
得：
T
Ip
圆轴扭转时横截面上任一点的剪应力计算式。
圆轴中τmax的确定
横截面上 —
max
T IP
max
IP
T
max
低碳钢试件：沿横截面断开。
材料抗剪切能力差，构 件沿横截面因切应力而发生 破坏(塑性材料）；
铸铁试件：
沿与轴线约成45的螺旋 线断开。
材料抗拉能力差， 构件沿45斜截面因拉 应力而破坏（脆性材 料）。
sin2 ; cos2
分析：
1 ) max , min :
450 , max ;
T
AdA.r0
2 0
r0
2td
r02t2
d
T
2r0 2t
薄壁圆筒横截面上的切应力计算式
二、关于切应力的若干重要性质
1、剪切虎克定律
为扭转角 r0 l
l
做薄壁圆筒的扭转试验可得
r0 即
l
T——
T
2r02t
r0
l
薄壁圆筒的实验, 证明剪应力与剪应变之 间存在着象拉压胡克定律类似的关系：当剪 应力不超过材料剪切比例极限τp,即当p时 剪应力与剪应变成正比。
1170N m
MB
MC
7024
NB n
7024
15 300
351N m
MD
7024
NC n
7024
20 300
468 N m
NA 50PS, NB NC 15PS, ND 20PS n = 300r/min
351N m
351N m
1170N m
468N m
max
T Wp
max
等截面圆轴:
max
Tmax Wp
1）校核强度:
max
Tm a x WP
≤
2）设计截面尺寸:WP ≥
Tm ax
[ ]
3）确定外荷载: Tmax≤ WP [
]
WP
m
D3
16
D
3
16
实 心,
(1 4 )
空 心.
例 已知 T=1.5 kN . m，[t ] = 50 MPa，试根据强度条件设计 实心圆轴与 a = 0.9 的空心圆轴。
取：D 76 mm， d 68 mm
3. 重量比较
π (D2 d 2)
4
39.5%
π d2
4
空心轴远比 实心轴轻
例 图示阶梯状圆轴，AB段直径 d1=120mm，BC段直径
d2=100mm 。扭转力偶矩 MA=22 kN•m， MB=36 kN•m， MC=14 kN•m。 材料的许用切应力[t ] = 80MPa ，试校核该轴 的强度。
450 , min ; 2 ) max :
45°
0 , max ; 横截面上！
´
结论：
若材料抗剪切能力差，构件沿横截面发生破坏(塑性材料）；
若材料抗拉能力差，构件沿-45斜截面发生破坏（脆性材料）。
三、 扭转强度计算
1、强度条件： max [ ]
2、强度条件应用：
变截面圆轴:
偶作用面垂直于杆的轴线。
变形特点：杆任意两截面绕轴线发生相对转动。
阻抗力偶
Me
主动力偶
mA
me
主要发生扭转变形的杆——轴。
三、两个名词
Me
Me
外扭矩（Me）——使得杆产生扭转变形的外力偶矩
扭转角（）——任意两个横截面的相对转角
§3-2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
一、外力偶矩的计算
右图
设某轮传递的功率P（kW），轴的转速是n (r/min）
Wp1
πd13 16
,
Wp2
πD23 16