相似三角形的判定、性质及应用（习题）
➢例题示范
例1：如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且CF=3FD，△ABE与△DEF相似吗？为什么？
F
E D
C
B
A
解：△ABE与△DEF相似．理由如下：
在正方形ABCD中，
∠A=∠D=90°，AB=AD=CD
设AB=AD=CD=4a
∵E为边AD的中点，CF=3FD
∴AE=DE=2a，DF=a
∴
4
2
2
AB a
DE a
==，
2
2
AE a
DF a
==
∴AB AE DE DF
=
又∵∠A=∠D
∴△ABE∽△DEF
例2：小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图在水平地面点E处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE=20米．当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B．已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米，请你帮助小红测量出大楼AB的高度（注：入射角=反射角）．
F
E D C
B
A
解：由题意，AE=20，CE=2.5，DC=1.6，∠FEB=∠FED ∴∠BEA=∠DEC
∵∠BAE =∠DCE =90° ∴△BAE ∽△DCE ∴AB AE DC EC = ∴201.6 2.5AB = ∴AB =12.8
∴大楼AB 的高为12.8米．
➢ 巩固练习
1. 如图，在△ABC 中，点P 为边AB 上一点，则下列四个条件：①∠ACP =∠B ；
②∠APC =∠ACB ；③2AC AP AB =⋅；
④AB CP AP CB ⋅=⋅．其中能判定△ABC ∽△ACP 相似的是__________．
B
P
C
A
E
C
A
B
D
第1题图 第2题图
2. 有（ ）
A .△AED ∽△BED
B .△AED ∽△CBD
C .△AE
D ∽△ABD
D .△BAD ∽△BCD
3. 在如图4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1
点上，则与△ABC 相似的三角形所在的网格图形是（ A B C D
4. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ，BD 交于点O ，
1
2
OD OC =，若OA =1，92OB =
，则OD =_____，
AD
BC
=______．
O
D
C
B
A 2
1
N M B A P
第4题图 第5题图
5. 如图，∠APB =120°，点M ，N 在线段AB 上，△PMN 是等边三角形．若
1
9
AM NB ，AB =26，则NB 长为_______． 6.
7. 如图，在△ABC 中，CD =CE ，∠A =∠ECB ．求证：CD 2=AD ·BE ．
E
D C
B
A
8. 将△ABC 沿BC 方向平移得到△DEF ，△ABC 与△DEF 重叠部分记为△GEC ．已
知BC =14，BA =15，S △ABC =87，则当EG =BE 时，求△GEC 的面积．
G
F
E D
C B A
9. 如图，△ABC ∽△A′B′C′，AD ，A′D′分别是边BC ，B′C′上的中线，求证：△
ABD ∽△A′B′D ′.
B
C D A
D'C'
B'A'
10. 小刚身高1.7 m ，测得他站立在阳光下的影子长为0.85 m ，紧接着他把手臂
竖直举起，测得影子长为1.1 m ，那么小刚举起的手臂超出头顶（ ） A ．0.5 m
B ．0.55 m
C ．0.6 m
D ．2.2 m
11. 如图是小明设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．
点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙
CD 的顶端C 处，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，且测得AB =1.2 m ，BP =1.8 m ，PD =12 m ，那么该古城墙的高度是（ ） A ．8 m B ．10 m C ．15 m
D ．18 m
12. 如图，以点O 为位似中心，将五边形ABCDE 放大后得到五边形A′B′C′D′E′，
已知OA =10 cm ，OA'=20 cm ，则五边形ABCDE 的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长比是_________．
O
E'D'
C'B'
A'
E C D B
A
13. 如图，△ABC 与△DEF ，且直线AD ，CF ，BE 相交于点O ，
2
3
OA OB OC OD OE OF ===，已知AB =4，则DE 的长为_________． O
F E D C
B A
第13题图 第14题图
14. 如图，在△ABC 中，A ，B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是(-1，0)．以
点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形，并把△ABC 的边长放大到原来的2倍，记所得的像是△A ′B ′C ．设点B 的对应点B ′的横坐标是a ，则点B 的横坐标是_________．
➢ 思考小结
1. 如图，四边形ABCD 的顶点坐标分别为A (4，2)，B (8，6)，C (6，10)，D (-2，
6)．
（1）将A，B，C，D的横坐标、纵坐标都乘1
2
，得到四个点，
以这四个点为顶点的四边形与四边形ABCD位似吗？如果位似，指出位似中心并求出相似比．
（2）将A，B，C，D的横坐标、纵坐标都乘
1
2
-，得到四个
点，以这四个点为顶点的四边形与四边形ABCD位似吗？如
果位似，指出位似中心并求出相似比．
（3）在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、
纵坐标都乘同一个数k（k≠0），所对应的图形与原图形_____，
位似中心是______，它们的相似比为_______．
2.回顾相似三角形相关概念，并填空．
①相似三角形对应边成比例，对应角相等；②两角分别相等的两个三角形
相似；③两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；④三边成比例的两个三角形相似．
以上概念都是围绕三角形相似，角度相等，线段成比例等信息进行的．不同处在于：利用性质时，三角形相似是条件，角度相等，线段成比例是结论；利用判定时，角度相等，线段成比例是______，三角形相似是
______．由此我们可以发现，当碰到线段成比例和角度相等等条件或结论时，要考虑相似三角形的应用．
3.实际生活中测量旗杆的高度，都是利用了相似三角形的原理进行的．下列
三种方法都利用了物体与地面垂直的特性，除此之外，这三种方法还分别用了哪些实际生活中的原理呢？请把选项填到对应的横线上．
①利用阳光下的影子：_________
②利用标杆：_________
③利用镜子的反射：_________
A．镜子的反射定律：借助入射角、反射角相等
B．视线与一组平行线相交，同位角相等
C．同一时刻，太阳光线（平行光线）与水平地面的夹角相等
【参考答案】
➢巩固练习
1.①②③
2. B
3. B
4.3
2
；
1
3
5.18
6.证明略
7.证明略
8.△GEC的面积为588 29
9.证明略
10.A
11.A
12.1:2
13.6
14.
3
2
a
+ -
➢思考小结
1.（1）位似，位似中心是原点，相似比是1 2
（2）位似，位似中心是原点，相似比是1 2
（3）位似，原点，k．
2.条件，结论
3.C，B，A。