2020-2021学年山西省阳泉市高三（上）期末数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合2{|20}A x x x =--，{|}B x y x ==，则(A B = )
A ．{|12}x x -
B ．{|02}x x
C ．{|1}x x -
D ．{|0}x x
2．（5分）设i 是虚数单位，若复数10
()3a a R i
-∈-是纯虚数，则a 的值为( ) A ．3-
B ．1-
C ．1
D ．3
3．（5分）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为60秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待25秒才出现绿灯的概率为( ) A ．
5
12
B ．58
C ．
712
D ．
78
4．（5分）如图，AB 是单位圆O 的直径，且满足AC CD DB ==，则(AC AD ⋅= )
A ．1
B ．
3
2
C 3
D 35．（5分）“二万五千里长征”是1934年10月到1936年10月中国工农红军进行的一次战略转移，是人类历史上的伟大奇迹，向世界展示了中国工农红军的坚强意志，在期间发生了许多可歌可泣的英雄故事．在中国共产党建党100周年之际，某中学组织了“长征英雄事迹我来讲”活动，已知该中学共有高中生2700名，用分层抽样的方法从该校高中学生中抽取一个容量为45的样本参加活动，其中高三年级抽取了14人，高二年级抽取了15人，则该校高一年级学生人数为( ) A ．720
B ．960
C ．1020
D ．1680
6．（5分）若双曲线22221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F ，2.F 过1F 作斜率为1的
直线交y 轴于点A ，与双曲线右支交于点B ，若1F A AB =，则该双曲线的离心率是( ) A 3B ．2 C 5
D ．12+
7．（5分）设变量x ，y 满足约束条件202011
x y x y x y +-⎧⎪-+⎪
⎨-⎪⎪-⎩，则22(3)(1)x y -+-的最小值为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．10
8．（5分）在等差数列{}n a 中，3a ，9a 满足不等式224120x x ++<的解集为39{|}x a x a <<，则数列{}n a 的前11项和等于( ) A ．66
B ．132
C ．66-
D ．132-
9．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的ε为0.001，则输出S 的值等于( )
A ．7
1
22-
B ．8
122-
C ．9
122-
D ．10
122-
10．（5分）已知函数
，若a ＝log 34，b ＝log 68，c ＝log 912，则（ ） A ．f （a ）＞f （b ）＞f （c ） B ．f （b ）＞f （a ）＞f （c ） C ．f （c ）＞f （a ）＞f （b ）
D ．f （b ）＞f （c ）＞f （a ）
11．（5分）若一个几何体的三视图如图所示，其顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．（5分）已知函数，现有命题：
①f （x ）的最大值为0； ②f （x ）是偶函数； ③f （x ）的周期为π； ④f （x ）的图象关于直线对称．
其中真命题的个数是（ ） A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13．（5分）已知曲线y xlnx =在点0(x ，0)y 处的切线与直线210x y ++=垂直，则0x = ．
14．（5分）已知1F ，2F 为椭圆22195
x y +=的两个焦点，
过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，若||5AB =，则2ABF ∆的面积为 ．
15．（5分）在北京召开的第24届国际数学家大会的会标是根据中国古代数学家赵爽的“弦图”设计的．会标图案如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形中较小锐角为θ，当小正方形的面积是大正方形面积的一半时，tan θ= ．
16．（5分）已知数列{}n a 的首项1a a =，其前n 项和为n S ，且满足2*1(2,)n n S S n n n N -+=∈，若对任意*n N ∈，1n n a a +<恒成立，则a 的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（一）必考题（共60分）
17．（12分）某工厂为生产一种标准长度为40cm 的精密器件，研发了一台生产该精密器件的车床，该精密器件的实际长度为acm ，“长度误差”为|40|a cm -，只要“长度误差”不超过0.03cm 就认为合格．已知这台车床分昼、夜两个独立批次生产．每天每批次各生产1000件．已知每件产品的成本为5元，每件合格品的利润为10元．在昼、夜两个批次生产的产品中分别随机抽取20件，检测其长度并绘制了如下茎叶图：
（1）分别估计在昼、夜两个批次的产品中随机抽取一件产品为合格品的概率； （2）以上述样本的频率作为概率，求这台车床一天的总利润的平均值．
18．（12分）在ABC ∆中，三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，已知3a =，cos cos cos 33
sin cos B A C B C +=
（Ⅰ）若3c =sin A ； （Ⅱ）若AB 37
，求AB 的长． 19．（12分）如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，P 分别为棱11A D ，11C D ，BC 的中点．
（Ⅰ）求证：AC NP ⊥； （Ⅱ）求四面体DMNP 的体积．
20．（12分）已知抛物线2:3C y x =的焦点为F ，斜率为3
2
的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．
（Ⅰ）若||||4AF BF +=，求直线l 的方程； （Ⅱ）若3AP PB =，求
OAB
FAB
S S ∆∆的值． 21．（12分）已知函数()(1)x f x me ln x lnm =-++．
（Ⅰ）若()f x 在0x =处取到极值，求m 的值及函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）若()1f x ，求m 的取值范围．
（二）选考题（共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.）[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）已知曲线1C 的参数方程为45cos (55sin x t
t y t =+⎧⎨=+⎩
为参数），以坐标原点为极点，x 轴
的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=． （Ⅰ）把1C 的参数方程化为极坐标方程，并求曲线2C 的直角坐标方程； （Ⅱ）求1C 与2C 交点的极坐标(0,02)ρθπ<． [选修4-5：不等式选讲]
23．已知a ，b ，c 为正数，()||||||f x x a x b x c =++++-． （1）若1a b c ===，求函数()f x 的最小值；
（2）若(0)1f =且a ，b ，c 不全相等，求证：333b c c a a b abc ++>．
2020-2021学年山西省阳泉市高三（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合2{|20}A x x x =--，{|}B x y x ==，则(A B = )
A ．{|12}x x -
B ．{|02}x x
C ．{|1}x x -
D ．{|0}x x
【解答】解：集合2{|20}{|12}A x x x x x =--=-， {|}{|0}B x y x x x ===， {|1}A
B x x ∴=-．
故选：C ．
2．（5分）设i 是虚数单位，若复数10
()3a a R i
-∈-是纯虚数，则a 的值为( ) A ．3- B ．1- C ．1 D ．3
【解答】解：
1010(3)10(3)
(3)3(3)(3)10
i i a a a a i i i i ++-
=-=-=----+是纯虚数， 30a ∴-=，解得3a =．
故选：D ．
3．（5分）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为60秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待25秒才出现绿灯的概率为( ) A ．
5
12
B ．58
C ．
712
D ．
78
【解答】解：行人至少等待25秒才出现绿灯，说明行人到的时间为0~35秒之间， 则对应的概率为357
6012
=， 故选：C ．
4．（5分）如图，AB 是单位圆O 的直径，且满足AC CD DB ==，则(AC AD ⋅= )。