1. 椭圆第一定义的应用例1椭圆的一个顶点为 A 2,0，其长轴长是短轴长的 2倍，求椭圆的标准方程. 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置.解：（1 ）当A 2,0为长轴端点时，a 2 , b 1 ,椭圆的标准方程为:（2）当A 2,0为短轴端点时,说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖 的，因而要考虑两种情况.2 2例2已知椭圆— 匚 1的离心率ek 8 9分析：分两种情况进行讨论.由e 1，得」1，即2 9 4k 5 0,得3 k 5，故k 的取值范围是3 k 5.3 k 0,椭圆经典例题分类汇总2 2例3 已知方程xy 1表示椭圆，求k 的取值范围k 53 kk 5 0,解: 由3k 0, 得3 k 5，且 k 4.k 5 3 k,•满足条件的k 的取值范围是3 椭圆的标准方程为:2 2x y 4 16，求k 的值.解：当椭圆的焦点在x 轴上时, a 2b 29，得 c 2 k 1 .由 e当椭圆的焦点在y 轴上时,b 2得c 2•••满足条件的k 4或k4说明：本题易出现漏解•排除错误的办法是： 可能在x 轴上，也可能在 y 轴上.故必须进行讨论.因为 k 8与9的大小关系不定, 所以椭圆的焦点k 5,且 k 4.出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中 a b 0这个条件，当a b 时，并不表示椭圆. 2 2 例4 已知 x sin y cos 1 (0）表示焦点在y 轴上的椭圆，求 的取值范围.说明：本题易出现如下错解：由分析：依据已知条件确定 的三角函数的大小关系. 再根据三角函数的单调性， 求出 的取值范围.说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程•这 是求轨迹方程的一种重要思想方法. 2. 焦半径及焦三角的应用2 2例1已知椭圆 — y 1 , F 1、F 2为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，使M 到左准线I 的距4 3X 2解：方程可化为 -------1sin2y cos1 •因为焦点在y 轴上，所以1 cos1 sin因此sin 0且tan31从而$4)•说明：(1)由椭圆的标准方程知1 0,1sin cos⑵由焦点在 y 轴上，知a 2件01 b 21 cos,b sino ,这是容易忽视的地方.(3)求的取值范围时，应注意题目中的条3,0 ,且在定圆B : x的轨迹方程.分析：关键是根据题意，列出点 P 满足的关系式.解：如图所示，设动圆 P 和定圆B 内切于点M •动点P 到两定点, 即定点A 3,0和定圆圆心B 3,0距离之和恰好等于定圆半径， 即PA PB PM PB BM |8.二点P 的轨迹是以 A , B 为两焦点, 半长轴为4,半短轴长为b .. 4232 -7的椭圆的方程:2X162y 7MF 1••• MNa e 为 21x 1,2MF1I I MF2IMF 2 ex 11 2X1•x 1 4 1X122 i X1例5已知动圆P 过定点A y 2 64的内部与其相内切,又由焦半径公式知:离3. 第二定义应用求点M 的坐标.整理得 5xj 32x 1 48 0. 解之得x 1 124或 x 1一5另一方面 2X i则①与②矛盾, 所以满足条件的点 不存在.例2已知椭圆方程22xy1 .-221a bab，长轴端点为A , , A 2，焦点为F i , F 2, P 是椭圆上一点,A-i PA 2 , F 1PF 2 .求：F 1PF 2的面积（用a 、b 、 表示）.分析：求面积要结合余弦定理及定义求角 1的两邻边，从而利用S 丄absin C 求面积.2解：如图，设P x , y ,由椭圆的对称性, 不妨设P x , y ,由椭圆的对称性，不妨设P在第一象限.由余弦定理知:由椭圆定义知:|PF i |PF 22a故 S FPF 1r 1 2-|PF - |PF 2 sin2卩问 |PF i2PF 2I 2PF 』J PF 2②，则②2—①得PFi | |PF 22cos 4c .①cos1 2b2 sin21 cosb 2 tan —.22例1椭圆—16 2J 1的右焦点为 12，过点A1, 3，点M 在椭圆上，当AM 2 MF 为最小值时,分析：本题的关键是求出离心率2MF |转化为 M 到右准线的距离, 从而得最小值.1般地，求AM -|MF 均可用此法.e解：由已知：a 4, c 2 .所以-，右准线 2过A 作AQ I ，垂足为Q ，交椭圆于M ，故MQ 2MF |.显然AM 2MF 的最小值为|A Q ，即M求点，因此y M 3，且M 在椭圆上.故X M 2 3 .所说明：本题关键在于未知式|AM | 2 MF 中的“2”的处理.事实上，如图，e为所 以M 到右准线的距离的一半，即图中的MQ ，问题转化为求椭圆上一点 M ，使M 到A 的距离与到右准线距离之和取最小值.2 2例2已知椭圆笃 爲 1上一点P 到右焦点F 2的距离为b (b 1)，求P 到左准线的距离.4b 2 b 2分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解.解法一：22_3由 4b 2 b 2 1，得a 2b，C 3b，e 2由椭圆定义，PF , PF 2 2a 4b ，得即P 到左准线的距离为2、. 3b .••• P 到左准线的距离为 ±3b Z^b 2 3b3 3说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性.否则就会产生误解.椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如•一般地，如遇 到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，则用椭圆的第二 定义.2 2例3已知椭圆— 仏 1内有一点A(1 , 1) , F ,、F 2分别是椭圆的左、右焦点，点 P 是椭圆上一95占八、、♦(1)求PA |PF 1的最大值、最小值及对应的点 P 坐标；3(2) 求PA -|PF 2的最小值及对应的点 P 的坐标.分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代 数方法•二是数形结合，即几何方法•本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住 椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解.PR 4b PF 2 4b b 3b .由椭圆第二定义,PF- e , d ,为P 到左准线的距离,d i二 d ,PF , e2 3b ,解法二:..PF 2 d 2e , d 2为P 到右准线的距离，e◎b •又椭圆两准线的距离为32a 2 - c解：⑴如上图，2a 6 , F 2 (2,0) , AF 2 J2，设P 是椭圆上任一点，由PF i | PF 2 2a 6, PA PF 2 AF 2| , ••• IPAI PF , I PF , PF 2 AF 22aAF 2642,等号仅当PA PF 2|AF 』时成立，此时P 、A 、F 2共线.由 PA |PF 2 AF 2I ,• |PA |PF ,| | PF , | PF 2 |AF 2 2a | AF 2 6 J2，等号仅当 PA PF 2 AF 』时成立，此时P 、A 、F 2共线.x y 20,建立A 、F 2的直线方程x y 2 0，解方程组22得两交点5x 9y 45P (9 &妊5 15应)、P 2(9 15血,5 15血).7 14 7 14 7 147 14综上所述，P 点与R 重合时，PA |PF 』取最小值6 逅,P 点与F 2重合时，PA |PF 2取 最大值6 2 . (2)如下图，设P 是椭圆上任一点，作 PQ 垂直椭圆右准线， Q 为垂足，由a 3 , c 2 , •eI •由椭圆第二定义知 PQ,••• PQ | 3PF 2 , •PA3-|PF 2 |P A P Q ，要使其和最小需有A 、P 、Q 共线，即求yA 到右准线距离•右准线方程为当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程.2 2写出椭圆 — ' 1的参数方程；（2）求椭圆内接矩形的最大面积.9 4分析：方程表示曲线上一点坐标，所求问题便化归为三角问题.”x 3cos解：⑴ y 2sin ( R).⑵ 设椭圆内接矩形面积为S ,由对称性知，矩形的邻边分别平行于x 轴和y 轴，设（3cos ,2sin ）为矩形在第一象限的顶点，（0）, 2则 S 4 3cos 2sin 12sin212故椭圆内接矩形的最大面积为 12.说明：通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题，一般地，与圆锥曲线有关的最值问题， 用参数方程形式较简便.2 2例3 椭圆岭 1（a b 0）与x 轴正向交于点A ,若这个椭圆上总存在点P ,使 a b••• A 到右准线距离为 7 .此时P 点纵坐标与 A 点纵坐标相同为1,代入椭圆得满足条件的点P2坐标（空,1）.51说明：求PA 一 PF 2的最小值，就是用第二定义转化后，过A 向相应准线作垂线段•巧用焦e点半径PF 2与点准距PQ 互化是解决有关问题的重要手段.4.参数方程应用2例1求椭圆二 y 2 1上的点到直线x y 6 0的距离的最小值.3分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值. 解: x 椭圆的参数方程为 y^3cos '设椭圆上的点的坐标为 73 cos ,sin，则点到直线的sin . 距离为<3 cos sin 62si n —32sin1时，d 最小值2 2.说明: 例 2 (1) 本题考查椭圆的参数方程及其应用•为简化运算和减少未知数的个数，常用椭圆的参数OP AP (O 为坐标原点)，求其离心率e 的取值范围.分析：•/ O 、A 为定点，P 为动点，可以P 点坐标作为参数，把 OP AP ，转化为P 点坐标 的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于 a 、b 、c 的一个不等式，转化为关于 e 的不等式•为 减少参数，易考虑运用椭圆参数方程.a cos a cos a5.相交情况下--弦长公式的应用 例1已知椭圆4x 2 y 2 1及直线y x m . (1 )当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？ (2)若直线被椭圆截得的弦长为乙10，求直线的方程.5解：(1)把直线方程y x m 代入椭圆方程4x 2 y 2 1得4x 2 x m 2 1 ,说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区 别.解：设椭圆的参数方程是a cos bsin (ab 0),则椭圆上的点P(acos ,bsin ), A(a , 0),•/ OP APbsi nbsin即(a 22 2b )cos2 2a cosb 0解得 cos 1 或 cosb 2 ~2 a b 2' cos• cos 1 (舍去)b 2 ~2~ ab 22a，…ec，又0 e22 2说明:若已知椭圆离心率范围J,。