第2章 连续时间傅里叶变换 例 2.4-7 求符号函数Sgn(t)的频谱函数。
Sgn(t)

1
1
考察例 2.4-4 所示信号f(t)
t0 t0
f
(t)

eat
eat
t0
( 0)
t0
第2章 连续时间傅里叶变换
当α→0时，其极限为符号函数Sgn(t)。因而可以用求f(t)的频
谱函数F(jω)当α→0的极限的方法来求得Sgn(t)的频谱函数。
例 2.4-4
所示信号的频谱函数为
2 j2 2
，从而有
第2章 连续时间傅里叶变换
Sg n(t)
X( )
1
o
t
o

－1
(a) (b)
图 2.4-7 符号函数Sgn(t) (a)Sgn(t)的波形； (b) 频谱
第2章 连续时间傅里叶变换 例 2.4-8 求阶跃函数ε(t)的频谱函数。 解 由阶跃函数ε(t)的波形容易得到
第2章 连续时间傅里叶变换 例 2.4-6 求直流信号1的频谱函数。
f (t) 1
F(j ) 2 ( )
o
o

(a)
(b)
图 2.4-6 直流信号f(t) (a) 直流信号f(t); (b) 频谱
第2章 连续时间傅里叶变换 解 直流信号1可表示为
f (t) 1
t
F ( j ) 1 e jtdt
第二为谐波性，此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率 Ω的整数倍频率上，即含有Ω的各次谐波分量，而决不含有非 Ω的谐波分量。
第三为收敛性，此频谱的各次谐波分量的振幅虽然随nΩ 的变化有起伏变化，但总的趋势是随着nΩ的增大而逐渐减小。 当nΩ→∞时，|Fn|→0。
第2章 连续时间傅里叶变换
f(t) E
可积， 即要求

f (t) dt
第2章 连续时间傅里叶变换
2.4.2
由非周期信号的傅里叶变换可知:
f (t) 1 F( j)e jtd
2
频谱函数F(jω)一般是复函数，可记为
F ( j ) F ( )e j ( )
习惯上将F(ω)~ω的关系曲线称为非周期信号的幅度频谱 (F(ω) 并不是幅度!)，而将φ(ω)~ω曲线称为相位频谱，它们都是ω的 连续函数。
2.1 引 言
LTI系统的特性完全可以由其单位冲激响应来表征，通过 对LTI系统单位冲激响应的研究就可分析LTI系统的特性。
第2章 连续时间傅里叶变换
2.2 周期信号的连续时间傅里叶级数
2.2.1 指数形式的傅里叶级数
满足Dirichlet条件的周期函数可以展成复指数形式的
傅里叶级数:

f (t) Fne jnt n
真地传输显然是不可能的。实际工作中，应要求传输系统能
将信号中的主要频率分量传输过去，以满足失真度方面的基
本要求。周期矩形脉冲信号的主要能量集中在第一个零点之
内， 因而，常常将ω=0~ 2 这段频率范围称为矩形脉冲信

号的频带宽度。记为
2
或
1
B (rad / s)
Bf


(Hz)
第2章 连续时间傅里叶变换
2.2.3 周期信号的频谱
周期信号的复振幅 Fn 一般为nΩ的复函数，因而描述其
特点的频谱图一般要画两个，一个称为振幅频谱，另一个称 为相位频谱。振幅频谱以ω为横坐标，以振幅为纵坐标画出谱 线图；相位频谱以ω为横坐标，以相位为纵坐标得到谱线图。
若信号的复振幅 为FnnΩ的实函数，其复振幅Fn与变量(nΩ)
Fn趋于无穷小量，但
Fn
T
可2望Fn趋于有限值，且为一

个连续函数，通常记为F(jω)，即
第2章 连续时间傅里叶变换
f (t) lim Fn e jnt 1 F ( j )e jtd
T n
2
非周期信号的傅里叶变换可简记为
一般来说，傅里叶变换存在的充分条件为f(t)应满足绝对



X ()



f
(t ) s in tdt
F ( j) F ()e j () R( ) jX ()
第2章 连续时间傅里叶变换
与周期信号的傅里叶级数相类似，F(ω)、φ(ω)与R(ω)、 X(ω)相互之间存在下列关系：
第2章 连续时间傅里叶变换
t
22
(a)
F(j )

2

－4 －2 o
4

(b)
F( )
( )

－ 4
－
2
o
2 4


－4
－
2
o 2 4

－
(c)
图 2.4-1
(d)
(a) 门函数； (b) 门函数的频谱； (c) 幅度谱； (d) 相位谱
第2章 连续时间傅里叶变换
第2章 连续时间傅里叶变换
第2章 连续时间傅里叶变换
2.4.3 典型信号的傅里叶变换
例 2.4-1 图 2.4-1(a)所示矩形脉冲一般称为门函数。其宽度 为τ， 高度为1，通常用符号gτ(t)来表示。试求其频谱函数。
解 门函数gτ(t)可表示为
第2章 连续时间傅里叶变换
g(t) 1
－τ o τ
2.2.2
f
(t)

E
0
当t
2
当 T t , t T
2
22 2
f (t)
E
－T － T －τ o τ
T
T
2 222
图 2.2-2 周期矩形脉冲信号
2T t
第2章 连续时间傅里叶变换 为得到该信号的频谱，先求其傅里叶级数的复振幅。
第2章 连续时间傅里叶变换
n
第2章 连续时间傅里叶变换 因此，据函数正交分解中的帕塞瓦尔定理(式(2.1-16))，有
第2章 连续时间傅里叶变换
2.4 非周期信号的连续时间傅里叶变换
2.4.1 傅里叶变换
第2章 连续时间傅里叶变换
对于非周期信号，重复周期T趋于无限大，谱线间隔趋于无穷
小量dω，而离散频率nΩ变成连续频率ω。在这种极限情况下，
的关系也可以用一个图绘出。
第2章 连续时间傅里叶变换
取样函数定义为
Sa(x) sin x x
这是一个偶函数，且x→0时，Sa(x)=1；当x=kπ时，Sa(kπ)=0。
据此，可将周期矩形脉冲信号的复振幅写成取样函数的形式，即
Fn

E
T
Sa n
2

第2章 连续时间傅里叶变换
第2章 连续时间傅里叶变换
f(t)为实函数时，根据频谱函数的定义式不难导出:
F ( j ) f (t)e jtdt


f (t) costdt j f (t)sintdt


式中：
R() jX ()
R()

f (t) costdt
Sa(x) 1
－3 －2
－ o

2 3
x
图 2.2-3 Sa(x)函数的波形
第2章 连续时间傅里叶变换
Fn
E
T
2 4

o 3

图 2.3-4 周期矩形脉冲信号的频谱
第2章 连续时间傅里叶变换
由图 2.3-4 可以看出，此周期信号频谱具有以下几个特点：
第一为离散性，此频谱由不连续的谱பைடு நூலகம்组成，每一条谱线 代表一个正弦分量，所以此频谱称为不连续谱或离散谱。
在f(t) (1) 若f(t)为t的偶函数，即f(t)=f(-t)，则f(t)的频谱函数F(jω) 为ω的实函数， 且为ω的偶函数。 (2) 若f(t)为t的奇函数，即f(-t)=-f(t)，则f(t)的频谱函数 F(jω)为ω的虚函数，且为ω的奇函数。 与周期信号类似，也可将非周期信号的傅里叶变换表示 式改写成三角函数的形式，即
Fn

1 T
T
f (t)e jntdt, n z
第2章 连续时间傅里叶变换
f
(t)

E
0
E
当t
2
当 T t , t T
2
22 2
f (t)
－T － T －τ o τ
T
T
2 222
图 2.2-1 周期矩形脉冲信号
2T t
第2章 连续时间傅里叶变换
2.3.3 周期信号的功率
周期信号的能量是无限的，而其平均功率是有界的，因而 周期信号是功率信号。为了方便，往往将周期信号在1Ω电阻上 消耗的平均功率定义为周期信号的功率。显然，对于周期信号 f(t)， 无论它是电压信号还是电流信号，其平均功率均为
P 1 T
T
2 T
f 2(t)dt
2

f (t) Fne jnt
第2章 连续时间傅里叶变换 续表
第2章 连续时间傅里叶变换
2.5 傅里叶变换的性质
根据傅里叶变换的概念，一个非周期信号可以表述为指数 函数的积分， 即
第2章 连续时间傅里叶变换 1.
(t) 1 1 Sgn(t)
22
从而就可更为方便地求出ε(t)的频谱函数， 即
第2章 连续时间傅里叶变换
(t)
1
o
(a)
X( ) R( )
－
1

( )
t
o

－
1

(b)
图 2.4-8
(a) ε(t)的波形； (b) 频谱