n x x0
矛盾. 最大、最小值定理(定理4.6) 若函数 f (x) 在[a, b] 上连续, 则 f (x) 在 [a, b] 上取最大、最小值.
证 f (x) 在 [a, b] 上连续, 因而有界. 由确界定理,
f (x) 在 [a, b] 上的值域有上确界. 设
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M sup f ( x ).
在 [a , b] 上有界.
证 用两种方法给出证明. 第一种方法 使用有限覆盖定理. 因为 f (x) 在 [a, b] 上每一点连续, 从而局部有界. 我们的任务就是将
局部有界的性质化为整体有界性质.
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对于任意的 t [a, b], 存在 M t 0, 以及 t 0, 当 x (t t , t t ) [a, b] 时, | f ( x ) | M t . 设开区间集 H { ( t t , t t ) | t [a, b] }, 显然
x [ a , b ]
要证 : M f ([a , b]). 若不然, 则对于任意 x [a , b], f ( x ) M， 于是
1 F (界, 故存在 G > 0, 使
1 0 F ( x) G. M f ( x)


2


2
,
这就证明了 f ( x ) 在[a, b]上的一致连续性.
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n
n
因为 {x'n} 有界, 从而由致密性定理, 存在 {x'n} 的
k }. 设 lim xn k x0 . 一个收敛子列 { xn
k
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因为 a x nk b, 所以由极限的不等式性质
a x0 b.
lim( x 因为 lim xn x ) lim x n n nk x0 , 以及 f k k k k k k
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( x1
1
2
, x1
1
2
),
, ( xn
n
2
, xn
n
2
)
也覆盖了 [a, b].
i 令 min 0, 对于任何 x, x [a , b], 只要 1 i n 2
| x x | , 那么 x 必属于上述 n 个小区间中的
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x ( t i t i , t i t i ), 因此 | f ( x ) | M t i M .
第二种证法 采用致密性定理.
设 f (x) 在[a, b]上无界, 不妨设 f (x)无上界. 则存在
{ xn } [a, b], 使
n
lim f ( xn ) .
§2 闭区间上连续函数的性质
实数完备性理论的一个重要作用就是证
明闭区间上连续函数的性质，这些性质曾 经在第四章给出过. 一、最大、最小值定理 二、介值性定理 三、一致连续性定理
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一、最大、最小值定理
首先来看一个常用的定理.
有界性定理 若 f (x) 在闭区间 [a, b] 上连续, 则 f (x)
i i 一个, 设 x xi , xi 2 2
| x xi |
. 于是
i
2
i ,
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| x xi | | x x | | x xi |
所以由小区间的定义得知
i
2
i ,
| f ( x) f ( x) | | f ( x) f ( xi ) | | f ( x) f ( xi ) |
现分别取
, x1 [a, b], | x1 x1 | 1, 1, x1 ) f ( x1 ) | 0 ; | f ( x1
1 1 , x2 [a , b], | x2 x2 | , , x2 2 2 ) f ( x | f ( x2 2 ) | 0 ;
因为{xn} 有界, 从而存在一个收敛的子列. 为了书 写方便, 不妨假设 {xn} 自身收敛, 令
n
lim xn x0 .
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因 a xn b, 则 a x0 b. 又因 f ( x ) 在 x0 连续,
故由归结原理可得
lim f ( xn ) lim f ( x ) f ( x0 ),
H 覆盖了闭区间[a, b]. 由有限覆盖定理, 在 H 中存 在有限个开区间
( t1 t1 , t1 t1 ), , ( t n tn , t n tn )
覆盖了 [a , b]. 令 M max{ M t1 , M t2 ,
, M tn }, 则对
于任意 x [a , b], 存在 i , 1 i n, 使
……
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, xn [a , b], | xn xn | 1 , n 1 , xn
) f ( xn ) | 0 ; | f ( xn . }, {xn } [a, b], 虽然 由此得到两列 {xn 1 xn | 0, | xn n 但是总有 ) f ( xn ) | 0 . | f ( xn
这样就有
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1 f ( x ) M , x [a , b]. G
这与 M 是 f (x) 在 [a, b] 上的上确界矛盾. 同理可证:下确界 m inf f ( x ) 也属于 f ([a, b]).
x [ a , b ]
这就证明了上确界 M 与下确界 m 都是可取到的, 这也就是说, M 与 m 是 f (x) 在[a, b]上的最大、 最小值.
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二、介值性定理
(定理4.7) 设函数 f (x) 在闭区间 [a, b]上连续, 且 f (a) f (b). 若 是介于 f (a ) 与 f (b) 之间的一个
实数, 则存在 (a , b), 使
f ( ) .
证 在第四章中, 我们已经用确界定理证明此定理. 现在用区间套定理来证明.
证 (证法一) 首先用致密性定理来证明该定理. 在
下述证明过程中, 选子列的方法值得大家仔细探
究. 设 f (x) 在 [a, b] 上不一致连续, 即存在 0 0, 对于
一切 0 (无论 多么小), 总是存在 x, x [a, b],
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虽然 | x x | , 但 | f ( x) f ( x) | 0 .
,
并且 lim an lim bn . 因为 F ( x ) 在点 连续,
n n
所以 0 lim F (an )F (bn ) ( F ( ))2 ,
即 F ( ) 0. 这也就是说 : f ( ) .
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n
三、一致连续性定理
(定理4.9) 若函数 f (x) 在 [a ,b]上连续, 则 f (x) 在 [a, b] 上一致连续.
连续, 所以由归结原理得到
) f ( x 0 lim | f ( xn n )|
k
k k
| lim f ( x ) lim f ( x ) | 0,
x x0 x x0
矛盾. (证法二) 再用有限覆盖定理来证明.
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因 f (x) 在 [a, b] 上连续, 对任意一点 x [a , b], 任
设 F ( x ) f ( x ) , 则 F ( x ) 在 [a , b] 上连续, 并且
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F (a )F (b) 0.
将 [a, b] 等分成两个区间 [a, c], [c, b], 若 F(c)=0,
已证. 不然, 函数 F(x)在这两个区间中有一个区
间端点上的值异号, 将这个区间记为[a1, b1]. 再 将 [a1 , b1] 等分成两个区间 [a1, c1], [c1 , b1], 若 F(c1) = 0, 已证. 不然同样可知函数 F(x) 在其中一 个区间的端点上的值异号. 将这个过程无限进行 下去, 得到一列闭子区间
给 0, 存在 x 0, 当 x U ( x; x ) [a, b] 时有
| f ( x ) f ( x ) |

2
.
考虑开区间集
H { U ( x;
x
2
) | x [a , b]},
那么 H 是 [a, b] 的一个开覆盖. 由有限覆盖定理, 存在有限个开区间
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{ [an , bn] }, 满足:
(i) [an1 , bn1 ] [an , b n ], n 1, 2,
ba (ii) bn an n 0 , n ; 2 (iii) F (an )F (bn ) 0.
;
由区间套定理, 存在惟一的 [an , bn ], n 1, 2,