《交通工程学 第四章 交通流理论》习题解答4-1 在交通流模型中，假定流速 V 与密度 k 之间的关系式为 V = a (1 - bk )2，试依据两个边界条件，确定系数 a 、b 的值，并导出速度与流量以及流量与密度的关系式。

解答：当V = 0时，j K K =， ∴ 1j
b k =； 当K ＝0时，f V V =，∴ f a V =；
把a 和b 代入到V = a (1 - bk )2
∴ 2
1f j K V V K ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝
⎭， 又 Q KV = 流量与速度的关系1j f V Q K V V ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
流量与密度的关系 2
1f j K Q V K K ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 4-2 已知某公路上中畅行速度V f = 82 km/h ，阻塞密度K j = 105 辆/km ，速度与密度用线性关系模型，求：
（1）在该路段上期望得到的最大流量；
（2）此时所对应的车速是多少？
解答：（1）V —K 线性关系，V f = 82km/h ，K j = 105辆/km
∴ V m = V f /2= 41km/h ，K m = K j /2= 52.5辆/km ，
∴ Q m = V m K m = 2152.5辆/h
（2）V m = 41km/h
4-3 对通过一条公路隧道的车速与车流量进行了观测，发现车流密度和速度之间的关系具有如下形式： 式中车速s V 以 km/h 计；密度 k 以 /km 计，试问在该路上的拥塞密度是多少？
解答：18035.9ln V k
= 拥塞密度K j 为V = 0时的密度，
∴ 180ln 0j
K = ∴ K j = 180辆/km 4-5 某交通流属泊松分布，已知交通量为1200辆/h ，求：
（1）车头时距 t ≥ 5s 的概率； （2）车头时距 t ＞ 5s 所出现的次数；
（3）车头时距 t ＞ 5s 车头间隔的平均值。

解答：车辆到达符合泊松分布，则车头时距符合负指数分布，Q = 1200辆/h
（1）1536003(5)0.189Q t t t P h e e e λ-⨯-⨯-≥====
（2）n = (5)t P h Q ≥⨯ = 226辆/h
（3）55158s t t e tdt e dt λλλλλ
+∞-+∞-⎰⋅=+=⎰ 4-6 已知某公路 q =720辆/h ，试求某断面2s 时间段内完全没有车辆通过的概率及其
出现次数。

解答：（1）q = 720辆/h ，1/s 36005
q λ==辆，t = 2s n = 0.67×720 = 483辆/h
4-7 有优先通行权的主干道车流量N ＝360辆/ h ，车辆到达服从泊松分布，主要道路允许次要道路穿越的最小车头时距=10s ，求
(1) 每小时有多少个可穿空档?
(2) 若次要道路饱和车流的平均车头时距为t 0=5s ，则该路口次要道路车流穿越主要道路车流的最大车流为多少? 解答：
(1) 如果到达车辆数服从泊松分布，那么，车头时距服从负指数分布。

根据车头时距不低于t 的概率公式，t e t h p λ-=≥)(，可以计算车头时距不低于10s 的概率是
主要道路在1小时内有360辆车通过，则每小时内有360个车头时距，而在360个车头时距中，不低于可穿越最小车头时距的个数是（总量×发生概率）
360×0.3679=132（个）
因此，在主要道路的车流中，每小时有132个可穿越空挡。

(2) 次要道路通行能力不会超过主要道路的通行能力，是主要道路通行能力乘以一个小于1的系数。

同样，次要道路的最大车流取决于主要道路的车流的大小、主要道路车流的可穿越空挡、次要道路车流的车头时距，可记为),,(0t t S S 主次
1t t e e S S λλ---=主次337136053600360103600360=-⨯=⨯-⨯-e e
因此，该路口次要道路车流穿越主要道路车流的最大车辆为337辆/h 。

4-8 在非信号交叉口，次要道路上的车辆为了能横穿主要道路上的车流，车辆通过主要车流的极限车头时距是6s ，次要道路饱和车流的平均车头时距是3s ，若主要车流的流量为1200量/h 。

试求
(1) 主要道路上车头时距不低于6s 的概率是多少？次要道路可能通过的车辆是多少？
(2) 就主要道路而言，若最小车头时距是1s ，则已知车头时距大于6s 的概率是多少？而在该情况下次要道
路可能通过多少车辆？
解答：
(1) 计算在一般情况下主要道路上某种车头时距的发生概率、可穿越车辆数。

把交通流量换算成以秒为单位的流入率，λ=Q /3600 =1/3 (pcu/s)
根据车头时距不低于t 的概率公式，t e t h p λ-=≥)(，计算车头时距不低于极限车头时距6s 的概率，
次要道路通行能力不会超过主要道路的通行能力，是主要道路通行能力乘以一个小于1的系数。

同样，次要道路的最大车流取决于主要道路的车流的大小、主要道路车流的可穿越空挡、次要道路车流的车头时距，
(2) 计算在附加条件下主要道路上某种车头时距的发生概率、可穿越车辆数。

根据概率论中的条件概率定律的()(|)()P A P A B P B =⋅，在主要道路上最小车头时距不低于1s 的情况下，车头时距不低于6s 的概率是
次要道路的最大车流取决于主要道路的车流的大小、主要道路车流的可穿越空挡、次要道路车流的车头时距，
(2) 关于第2问还存在另外一种解答。

负指数分布的特点是“小车头时距大概率”，即车头时距愈短出现的概率
越大。

“车头时距等于零的概率的最大”这个特征违反了客观现实，因为相邻两个车头之间的距离至少不低于车身长度，也就是说车头时距必须不低于某个阈值τ，此时，应考虑采用移位负指数分布p (h ≥t )＝exp (－λ(t －τ))。

主要道路的最小车头时距是1s ，可以理解为τ=1s 。

4-9 今有 1500辆/h 的车流量通过三个服务通道引向三个收费站，每个收费站可服务600辆/h ，试分别按单路排队和多路排队两种服务方式计算各相应指标。

解：（1）按单路排队多通道系统（M/M/1系统）计算：
1500/h λ=辆，600/h μ=辆
∴ 2.5λρμ==，0.831N
ρ=<，系统稳定 = 6.016n q ρ+=辆， 14.44s/n d λ==辆， 8.44s/q
ωλ=＝辆 （2）按多路排队多通道系统（3个平行的M/M/1系统）计算： λ＝1500/3=500辆/h ，600/h μ=辆，516λρμ=
=<，系统稳定 51n ρ
ρ==-辆， 4.17q n n ρρ=⋅=-=辆
对于由三个收费站组成的系统
15n =辆，12.5q =辆，36s/d =辆，30s/ω＝辆 4-10 流在一条6车道的公路上行驶，流量q 1=4200辆/h ，速度v 1=50km/h ，遇到一座只有4车道的桥，
桥上限速13km/h ，对应通行能力3880辆/h 。

在通行持续了1.69h 后，进入大桥的流量降至q 3=1950辆/h ，速度变成v 3=59km/h ，试估计囤积大桥入口处的车辆拥挤长度和拥挤持续时间？(李江例题107页、东南练习题123页习题)
解答：
在车辆还没有进入限速大桥之前，没有堵塞现象，在车辆进入限速大桥之后，因为通行能力下降，交通密度增大，出现交通拥堵。

因此，车流经历了消散－集结－消散的过程，三种状态下的交通流的三个基本参数是 q1＝4200veh/h ，v1＝50km/h ，k1＝q1 / v1＝84veh/km
q2＝3880veh/h ，v2＝13km/h ，k2＝q2 / v2＝298veh/km
q3＝1950veh/h ，v3＝59km/h ，k3＝q3 / v3＝33veh/km
1. 计算排队长度
交通流密度波等于
表明此处出现迫使排队的反向波，波速为1.50km/h ，考虑到波速从0经过了1.69h 增加到1.50km/h ，其平均波速为v a =(0+1.50)／2=0.75km/h ，所以此处排队长度为
2. 计算阻塞时间
高峰过去后，排队即开始消散，但阻塞仍要持续一段时间。

因此阻塞时间应为排队形成时间与消散时间之和。

① 排队形成时间是1.69h ，所有车辆都经历了这么长的排队时间。

② 排队消散时间的计算，主要根据在形成时间里的囤积量与消散时间里的消散量平衡的原则来进行。

高峰过后的车流量：q 3=1950辆/h < 3880辆/h ，表明通行能力已经富余，排队开始消散。

排队车辆是 辆54169.1)38804200(69.1)(21=⨯-=⨯-q q
车队消散能力 h /19303880195023辆-=-=-q q 则排队消散时间 1232() 1.695410.28h 1930
q q t q q -⨯'====-排队车辆数消散能力 因此，交通阻塞时间＝排队形成时间＋排队消散时间＝1.69h ＋0.28h = 1.97h。