非晶态结构分析主要计算公式-单组元系统的计算公式
平均一个原子的相干散射强度为：
sin kr 2 2 I a (k ) f {1 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 4r [ (r ) a ] dr} kr 0
ρa为平均原子数密度 ρ(r): 距原点r处的原子数密度
4r 2[ (r) a ] dr是在r与r+dr壳层内大于或小于
在复杂晶胞中并不是所有满足布拉格方 程的反射面都有衍射线产生。
一个单胞内所有原子散 射的相干散射振幅 Ab F 一个电子散射的相干散 射波振幅 Ae
FHKL f j e
j
2i ( Hx j Ky j Lz j )
非晶态径向分布函数
非晶态材料的特点是不具有周期性，但也不像 气体中的原子分布那样杂乱无章，而是在很少 的几个原子间距的范围内，原子排列有一定的 短程序。 平均间距、最近邻配位数、短程序范围的大小
径向分布函数
一个原子对X射线的散射
Aa sin kr f U (r ) dr 0 Ae kr
4 sin 的函数。当θ=0时， f 是k
sin

0

sin kr 1 kr
f U (r )dr Z
0
f 曲线
非晶态径向分布函数
单胞对X射线的散射
1 2 1’ 2’ 1 3 2 1’ 3’ 2’

傅立叶变换： 2 G (r ) Q(k ) sin(kr)dk 约化径向分布函数 0
0
非晶态径向分布函数
非晶态结构分析主要计算公式-单组元系统的计算公式
约化径向分布函数 G(r ) 4r[ (r ) a ] G (r ) (r ) 1 4r a a
Y
4
Z
•p
2θ O X
e 1 cos 2 I p I0 2 4 2 2 m c R
2
径向分布函数
一个原子对X射线的散射
当一束X射线与一个原子相遇时，既可以使原子 系统中的所有电子发生受迫振动，也可以使原子核 发生受迫振动。由于原子核的质量与电子质量相比 是极其大的(1840倍)，所以，原子核的受迫振动可 以忽略不计。 由于X射线衍射用的波长与原子直径为同一数量 级，因此，各电子的X射线散射波之间存在一定的 相位差。散射线强度受干涉的作用而减弱。
j 1
Z
ikrj cos
k
4

sin
j krj cos
实际工作时所测量的不是散射强度的瞬时值，而是 它的平均值，所以必须描述原子散射的平均状态。
径向分布函数
一个原子对X射线的散射
将原子中的电子看成为连续分布的电子云。
Aa Ae e
j 1 Z i j
Ae e
r0
非晶态径向分布函数
径向分布函数RDF(r)的计算方法
RDF(r ) 4r a rG(r )
2
4r a r
2
Q(k ) sin(kr)dk
k[ I (k ) 1] sin(kr)dk
0
2

4r a r
2
2
0
问题的归结：如何求出I(k)
1
rs:非晶态材料短程有序畴大小 经验方法：g (r ) 1 0.02 时，r=rs
非晶态径向分布函数
非晶态结构分析主要计算公式
径向分布函数：
RDF(r ) 4r (r ) 4r a rG(r )
2 2
以平均原子中心为原点，半 径为r1，厚为dr的球壳中的 原子数目。 非晶态中各原子壳层的配位 数： rp N 2 4r 2 ( r ) dr
2θ
原子完全无序情况 ，例如稀薄气体。在进行 X 射线分析时，只能得到一条近乎水平的散射背 底谱线。
I
2θ
原子近程有序但远程无序情况，例如非晶体材料。 由于近程原子的有序排列，在配位原子密度较高 原子间距对应的 2θ 附近产生非晶散射峰。
I
2θ换算为 4π sinθ/λ
非晶体材料的近程原子有序度越高，则配位原 子密度较高原子间距对应的非晶散射峰越强， 且散射峰越窄。
0
2

I (k )
I a (k ) I 非相干 f
2
I (k ) 1
I a (k ) ( f 2 I非相干 ) f
2
4 通过 k sin ，将θ换算为k，对k作图。
非晶态径向分布函数
非晶态结构分析的主要计算公式
3500 3000
311ZrO2
2500
intensity(cps)
2000
200ZrO2
1500
111ZrO2
1000
500
0 0 20 40 60 80 100
2theta(deg.)
K×10, nm-1
非晶态的X射线衍射
晶体的X射线衍射
非晶态径向分布函数
非晶态结构分析主要计算公式-单组元系统的计算公式
k [ I (k ) 1] 4r[ (r ) a ] sin(kr)dr
设：
0
Q(k ) k [ I (k ) 1]
G(r ) 4r[ (r ) a ]
Q(k ) G(r ) sin(kr)dr 约化干涉函数
非晶态径向分布函数
干涉函数的作图求解法
RDF(r ) 4r 2 a r
I a (k ) sin kr 2 I (k ) 1 4 r [ ( r ) ] dr a 2 kr f 0
k[ I (k ) 1] sin(kr)dk
X射线衍射仪：用计数器记录衍射线光子数 多晶或粉末样品； 单色X射线
θ－2 θ 扫描
θ 2θ
θ－2 θ 扫描
2θ
θ
θ－2 θ 扫描
θ 2 θ
晶体尺寸导致X射线衍射峰的展宽
晶粒非常细小
晶粒细小
晶粒粗大
样品有织构
根据X射线衍射峰的展宽获得晶粒尺寸的信息
谢乐(Scherrer)公式：
Dhkl K
0
2

Q(k ) k [ I (k ) 1] I a (k ) I (k ) f2
峰值位置代表非晶态中 各原子的最可几位置
非晶态径向分布函数
非晶态结构分析主要计算公式-单组元系统的计算公式 r1: 平均原子距离，相当于原子直径。 g(r): r>rs时，g(r)1,
(r ) a
β：衍射峰半高宽(FWHM)
cos
K：谢乐常数
非晶态径向分布函数
理想晶体的衍射谱线，是布拉格方向对应的2θ 处产生没有宽度的衍射线条。前提是不存在消光 现象。
I
2θ
实际晶体中由于存 在晶体缺陷等破坏 I 晶体完整性的因素， 导致衍射谱线的峰 值强度降低，峰形 变宽。
I
2θ
径向分布函数
一个原子对X射线的散射
一个原子的相干散射强度：Ia= f 2 Ie
f: 原子散射因子
一个原子散射的相干散 射波振幅 Aa f 一个电子散射的相干散 射波振幅 Ae
径向分布函数
一个原子对X射线的散射
整个原子散射波振幅的瞬时值：
Aa Ae e
j 1
Z
i j
Ae e
I
2θ换算为 4π sinθ/λ
晶体材料：原子间距、配位数等 非晶态材料的特点是不具有周期性，但也不像 气体中的原子分布那样杂乱无章，而是在很少 的几个原子间距的范围内，原子排列有一定的 短程序
平均间距、 最近邻配位数、 短程序范围的大小
非晶态径向分布函数
径向分布函数
一个电子对X射线的散射
J.J.Thomson公式： 一束非偏振的入射X 射线经过电子散射后， 其散射强度在空间各 个方向上是不相同的。
平均数的原子数目 式中的第一项为原子本身的散射项； 第二项为样品中原子间相关性引起的散射项， 反映非晶态结构。
非晶态径向分布函数
sin kr I a (k ) f 2{1 4r 2 [ (r ) a ] dr} kr 0
非晶态结构分析主要计算公式-单组元系统的计算公式
j 1
Z
ikrj cos
假定电子云分布是球对称 的，其径向分布函数：
dAa Ae dne Ae e dv i Aa Ae e dv
j
i j
i j
U (r ) 4r (r )
2
对α和φ积分后：
Aa f Ae
dv r sin dddr
2
v


0
sin kr U (r ) dr kr
原子双体分布函数：
(r ) g (r ) a
距平均原子中心为r处找 到另一个原子的几率
G (r ) g (r ) 1 4r a
非晶态径向分布函数
非晶态结构分析主要计算公式-单组元系统的计算公式
G (r ) g (r ) 1 4r a
G (r ) Q(k ) sin(kr)dk
干涉函数： I a (k ) sin kr 2 I (k ) 1 4r [ (r ) a ] dr 2 kr f 0
I(k)可实测出：
K×10, nm-1
非晶态径向分布函数

I a (k ) sin kr 2 I (k ) 1 4 r [ ( r ) ] dr a 2 kr f 0
非晶态结构分析的主要计算公式
对于单色平行入射的X射线，原子相干散射振幅
2ik r F (k ) f n e n