普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版]高三新数学第一轮复习教案（讲座5）—函数图象及数字特征一．课标要求：1．掌握基本初等函数的图象的画法及性质。
如正比例函数、反比例函数、一元一次函数、一元二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等；2．掌握各种图象变换规则，如：平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换等；3．识图与作图：对于给定的函数图象，能从图象的左右、上下分布范围，变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性。
甚至是处理涉及函数图象与性质一些综合性问题；4．通过实例，了解幂函数的概念；结合函数21132,,,,x y x y x y x y x y =====-的图像，了解它们的变化情况。
二．命题走向函数不仅是高中数学的核心内容，还是学习高等数学的基础，所以在高考中，函数知识占有极其重要的地位。
其试题不但形式多样，而且突出考查学生联系与转化、分类与讨论、数与形结合等重要的数学思想、能力。
知识覆盖面广、综合性强、思维力度大、能力要求高，是高考考数学思想、数学方法、考能力、考素质的主阵地。
从历年高考形势来看：（1）与函数图象有关的试题，要从图中（或列表中）读取各种信息，注意利用平移变换、伸缩变换、对称变换，注意函数的对称性、函数值的变化趋势，培养运用数形结合思想来解题的能力，会利用函数图象，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题；（2）函数综合问题多以知识交汇题为主，甚至以抽象函数为原型来考察；（3）与幂函数有关的问题主要以21132,,,,x y x y x y x y x y =====-为主，利用它们的图象及性质解决实际问题；预测07年高考函数图象：（1）题型为1到2个填空选择题；（2）题目多从由解析式得函数图象、数形结合解决问题等方面出题；函数综合问题：（1）题型为1个大题；（2）题目多以知识交汇题目为主，重在考察函数的工具作用；幂函数：单独出题的可能性很小，但一些具体问题甚至是一些大题的小过程要应用其性质来解决； 三．要点精讲1．函数图象（1）作图方法：以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本讲座的重点。
作函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；④描点连线，画出函数的图象。
运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线要把表列在关键处，要把线连在恰当处这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究。
而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换，这也是个难点。
（2）三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等；①平移变换：Ⅰ、水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y =f (x )h 左移→y =f (x +h)；2）y =f (x ) h 右移→y =f (x -h)；Ⅱ、竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y =f (x ) h 上移→y =f (x )+h ；2）y =f (x ) h下移→y =f (x )-h 。
②对称变换：Ⅰ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到；y =f (x ) 轴y →y =f (-x )Ⅱ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到；y =f (x ) 轴x →y = -f (x )Ⅲ、函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到；y =f (x ) 原点→y = -f (-x )Ⅳ、函数)(y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到。
y =f (x ) x y =→直线x =f (y )Ⅴ、函数)2(x a f y -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线a x =对称即可得到；y =f (x ) ax =→直线y =f (2a -x )。
③翻折变换：Ⅰ、函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到；Ⅱ、函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到④伸缩变换：Ⅰ、函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到；y =f (x )a y ⨯→y =af (x )Ⅱ、函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的1a 倍得到。
f (x )y =f (x )a x ⨯→y =f (ax )（3）识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面。
2．幂函数y x =≠αα(,)01在第一象限的图象，可分为如图中的三类：图 在考查学生对幂函数性的掌握和运用函数的性质解决问题时，所涉及的幂函数y x =α中α限于在集合---⎧⎨⎩⎫⎬⎭21121312123，，，，，，，中取值。
幂函数有如下性质：⑴它的图象都过（1，1）点，都不过第四象限，且除原点外与坐标轴都不相交； ⑵定义域为R 或（，）（，）-∞+∞00 的幂函数都具有奇偶性，定义域为[]R ++∞或，0的幂函数都不具有奇偶性；⑶幂函数y x =≠αα()0都是无界函数；在第一象限中，当α<0时为减函数，当α>0时为增函数；⑷任意两个幂函数的图象至少有一个公共点（1，1），至多有三个公共点；四．典例解析题型1：作图例1．（06重庆 理）如图所示，单位圆中弧AB 的长为x ,f (x )表示弧AB 与弦AB 所围成的弓形面积的２倍，则函数y =f (x )的图象是（ ）A B C D解析：显然当2π=x 时，阴影部分的面积等于41圆的面积减去以圆的半径为腰的等腰直角三角形的面积，222)214(2)2(ππππ<-=-=f ，即点)22,2(-ππ在直线x y =的下方，故应在C 、D 中选择。
而当当2π=x 时，阴影部分的面积等于41圆的面积加上以圆的半径为腰的等腰直角三角形的面积，23223)22(2)23(πππππ>+=--=f ，即点)223,23(+ππ在直线x y =的上方，故应选择D 。
点评：该题属于实际应用的题目，结合函数值变化的趋势和一些特殊点函数值解决问题即可。
要明确函数图像与函数自变量、变量值的对应关系，特别是函数单调性与函数图象个关系；例2．（1996上海，文、理8）在下列图象中，二次函数y =ax 2+bx 与指数函数y =（a b ）x 的图象只可能是（ ）解析一：由指数函数图象可以看出0<ab <1。
抛物线方程是y =a （x +a b 2）2－224a b ，其顶点坐标为（－a b 2，－a b 42），又由0<a b <1，可得－21<－a b 2<0.观察选择支，可选A 。
解析二：求y =ax 2+bx 与x 轴的交点，令ax 2+bx =0，解得x =0或x =－a b ，而－1<－a b <0。
故选A 。
点评：本题主要考查二次函数、指数函数的图象及性质，源于课本，考查基本知识，难度不大。
本题虽小，但一定要细致观察图象，注意细微之处，获得解题灵感。
题型2：识图例3．（06江西 12）某地一年内的气温()Q t (单位：℃)与时间t (月份)之间的关系如图所示，已知该年的平均气温为10℃，令()C t 表示时间段[]0,t 的平均气温，()C t 与t 之间的函数关系用下图表示，则正确的应该是（ ）解析：平均气温10℃与函数图像有两个交点，观察图像可知两交点的两侧都低于平均气温， 而中间高于平均气温。
时间段内的平均气温，应该从开始持续到平均气温左交点向右一段距离才开始达到平均气温，持续上升一段时间，最后回落到平均气温。
答案A 。
点评：联系生活，体会变量间的相互关系，重视观察图像的变化趋势，结合导数的知识处理实际问题。
例4．（2002上海文，理16）一般地，家庭用电量（千瓦时）与气温（℃）有一定的关系，如图2—1所示，图（1）表示某年12个月中每月的平均气温.图（2）表示某家庭在这年12个月中每个月的用电量.根据这些信息，以下关于该家庭用电量与其气温间关系的叙述中，正确的是（ ）图A ．气温最高时，用电量最多B ．气温最低时，用电量最少C ．当气温大于某一值时，用电量随气温增高而增加D ．当气温小于某一值时，用电量随气温渐低而增加解析：经比较可发现，2月份用电量最多，而2月份气温明显不是最高。
因此A 项错误。
同理可判断出B 项错误。
由5、6、7三个月的气温和用电量可得出C 项正确。
点评：该题考查对图表表达的函数的识别和理解能力，要从题目解说入手，结合图像和实际解决问题。
题型3：函数的图象变换例5．（2002全国理，10）函数y =1－11-x 的图象是（ ）解析一：该题考查对f （x ）=x 1图象以及对坐标平移公式的理解，将函数y =x1的图形变形到y =11-x ，即向右平移一个单位，再变形到y =－11-x 即将前面图形沿x 轴翻转，再变形到y =－11-x +1，从而得到答案B 。
解析二：可利用特殊值法，取x =0，此时y =1，取x =2，此时y =0。
因此选B 。
点评：借助函数图像的变换规则解决实际问题。
例6．（05广东理 9）在同一平面直角坐标系中，函数)(x f y =和)(x g y =的图象关于直线x y =对称。
现将)(x g y =的图象沿x 轴向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移1个单位，所得的图象是由两条线段组成的折线（如图2所示），则函数)(x f 的表达式为（ ）A ．⎪⎩⎪⎨⎧≤<+≤≤-+=20,2201,22)(x x x x x f B ．⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤--=20,2201,22)(x x x x x fC ．⎪⎩⎪⎨⎧≤<+≤≤-=42,1221,22)(x x x x x f D ．⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤-=42,3221,62)(x x x x x f 解析：原函数的图像仍然是由两条折线段组成，折线段的端点（－2，0）、（0，1）、（1，3）向下平移1个单位是端点（－2，－1）、（0，0）、（1，2），再向右平移2个单位端点为（0，－1）、（2，0）、（3，2），关于直线x y =对称后折线段端点为（－1，0）、（0，2）、（2，3）。