三角形“四心”的向量一、三角形的重心的向量表示及应用命题一 已知A B C ，，是不共线的三点，G 是ABC △内一点，若GA GB GC ++=0u u u r u u u r u u u r．则G 是ABC △的重心．证明：如图1所示，因为GA GB GC ++=0u u u r u u u r u u u r，所以 ()GA GB GC =-+u u u ru u u ru u u r．以GB u u u r，GC u u u r 为邻边作平行四边形BGCD ， 则有GD GB GC =+u u u ru u u ru u u r，所以GD GA =-u u u ru u u r．又因为在平行四边形BGCD 中，BC 交GD 于点E ，所以BE EC =u u u r u u u r ，GE ED =u u u r u u u r ．所以AE 是ABC △的边BC 的中线．故G 是ABC △的重心．点评：①解此题要联系重心的定义和向量加法的意义；②把平面几何知识和向量知识结合起来解决问题是解此类问题的常用方法．例1 如图2所示，ABC △的重心为G O ，为坐标原点，OA =u u u r a ，=u u u rOB b ，=u u u r OC c ，试用a b c ，，表示u u u rOG ．解：设AG 交BC 于点M ，则M 是BC 的中点，⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-GC OG c GB OG b GA OG a Θ GC GB GA OG c b a ++=-++∴而03=-++∴OG c b a3cb a OG ++=∴图2变式：已知D E F ，，分别为ABC △的边BC AC AB ，，的中点．则AD BE CF ++=0u u u r u u u r u u u r．证明：如图的所示，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=-=GC CF GBBE GA AD 232323Θ)(23GC GB GA CF BE AD ++-=++∴0=++GC GB GA Θ AD BE CF ∴++=u u u ru u u ru u u r0．．变式引申：如图4，平行四边形ABCD 的中心为O ，P 为该平面上任意一点，则1()4PO PA PB PC PD =+++u u u ru uu r u u u r u u u r u u u r ．证明：1()2PO PA PC =+u u u r u u u r u u u r Q ，1()2PO PB PD =+u u u r u u u r u u u r，1()4PO PA PB PC PD ∴=+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r．点评：（1）证法运用了向量加法的三角形法则，证法2运用了向量加法的平行四边形法则．（2）若P与O 重合，则上式变为OA OB OC OD +++=u u u r u u u r u u u r u u u r0．例 2. 已知O 是平面内一点，C B A ,,是平面上不共线的三点，动点P 满足⎪⎭⎫⎝⎛++=BC AB OA OP 21λ，()+∞∈,0λ，则动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的A. 重心B. 垂心C. 外心D. 内心图3题2：已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++u u u r u u u r u u u r u u u r, [0,)λ∈+∞. 则P 点的轨迹一定通过△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心解：由已知得()AP AB AC λ=+u u u r u u u r u u u r，设BC 的中点为D ，则根据平行四边形法则知点P 在BC 的中线AD 所在的射线上，故P 的轨迹过△ABC 的重心，选C.题3：已知O 是平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P满足()||sin ||sin AB AC OP OA AB B AC C λ=++u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ,[0,)λ∈+∞, 则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A. 重心B. 垂心C. 外心D. 内心解：由已知得()||sin ||sin AB ACAP AB B AC Cλ=+u u u r u u u ru u u r u u ur u u u r ， 由正弦定理知||sin ||sin AB B AC C =u u u r u u u r ，∴()||sin AP AB AC AB Bλ=+u u u r u u u r u u u r u u ur ， 设BC 的中点为D ，则由平行四边形法则可知点P 在BC 的中线AD 所在的射线上，所以动点P 的轨迹一定通过△ABC 的重心，故选A .题7：已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 为△ABC 的外心，动点P 满足1[(1)(1)(12)]3OP OA OB OC λλλ=-+-++u u u r u u u r u u u r u u u r(,0)R λλ∈≠，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A. 内心B. 垂心C. 重心D. AB 边的中点解：CP OP OC =-u u u r u u u r u u u r =1[(1)(1)2(1)]3OA OB OC λλλ-+---u u u r u u u r u u u r=1[()()]3OA OC OB OC λ--+-u u ur u u u r u u u r u u u r =1()3CA CB λ-+u u u r u u u r ,由平行四边形法则知CA CB +u u u r u u u r必过AB 边的中点，注意到0λ≠，所以P 的轨迹在AB 边的中线上，但不与重心重合，故选D.题8：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若OA OB OC ++u u u r u u u r u u u r= 0, 则O 点是△ABC的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心解：若OA OB OC ++u u u r u u u r u u u r = 0, 则OA OB OC +=-u u u r u u u r u u u r ，以OA uu u r 、OB uuu r为邻边作平行四边形OAC 1B ，设OC 1与AB 交于点D ，则D 为AB 的中点，有1OA OB OC +=u u u r u u u r u u u u r，得1OC OC =-u u u u r u u u r，即C 、O 、D 、C 1四点共线，同理AE 、BF 亦为△ABC 的中线，所以O 是△ABC 的重心. 选C .题9：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若1()3PO PA PB PC =++u u u r u u u r u u u r u u u r(其中P 为平面上任意一点), 则O 点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心解：由已知得3PO OA OP OB OP OC OP =-+-+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，∴33PO OP OA OB OC +=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，即OA OB OC ++u u u r u u u r u u u r= 0，由上题的结论知O 点是△ABC 的重心. 故选C .例4. 证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍。

证：设= b ，= a ，则=+= b +21a , +==∵A , G , D 共线，B , G , E 共线 ∴可设=λ，= μ,则=λ=λ(b +21a )=λb +21λa , EG = μEB = μ(21b +a )=21μb +μa , ∵=+ 即：21b + (21μb +μa ) =λb +21λa∴(μ21λ)a + (21μλ+21)b = 0 ∵a , b 不平行，C∴32313202121021=⇒⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-μλλμλμ 即：AG = 2GD 同理可化：AG = 2GD , CG = 2GF二、三角形的外心的向量表示及应用命题二：已知G 是ABC △==，则点M 为△ABC 的外心。

例2 已知G 、M 分别为不等边△ABC 的重心与外心，点A ，B 的坐标分别为A （-1，0），B （1，0），且GM ∥AB ，（1）求点C 的轨迹方程；（2）若直线l 过点（0，1），并与曲线交于P 、Q 两点，且满足0=OP ，求直线l 的方程。

解 （1）设C （x,y ），则G （3,3y x ），图5其中0,≠y x ， 由于GM ∥AB ， 故my m =， 外心M （0，3y ）， 为外心M Θ∴MC MA =，得222)3(1)3()0(yy y x +=-+-∴轨迹E 的方程是3322=+y x )0(≠xy题5：已知O 是平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P满足()2||cos ||cos OB OC AB ACOP AB B AC C λ+=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r , [0,)λ∈+∞, 则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A. 重心B. 垂心C. 外心D. 内心解：设BC 的中点为D ，则2OB OC OD +=u u u r u u u ru u ur ，则由已知得()||cos ||cos AB ACDP AB B AC C λ=+u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r ， ∴()||cos ||cos AB BC AC BCDP BC AB B AC Cλ⋅⋅⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r u u ur u u u r =||||cos()||||cos ()||cos ||cos AB BC B AC BC CAB B AC Cπλ⋅-⋅+u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r =(||||)BC BC λ-+u u u r u u u r = 0 . ∴DP ⊥BC ，P 点在BC 的垂直平分线上，故动点P 的轨迹通过△ABC 的外心.选C .题12：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若()OA OB AB +⋅u u u r u u u r u u u r =()OB OC BC +⋅u u u r u u u r u u u r =()OC OA CA +⋅u u u r u u u r u u u r= 0，则O 点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心 解：由已知得： ()()OA OB OB OA +⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r =()()OB OC OC OB +⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r =()()OC OA OA OC +⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r= 02222OB OA OC OB ⇔-=-u u u r u u u r u u u r u u u r =22OA OC -u u u r u u u r = 0||||||OA OB OC ⇔==u u u r u u u r u u u r. 所以O 点是△ABC 的外心. 选A .三、三角形的垂心的向量表示及应用命题三：已知G 是ABC △内一点，满足⋅=⋅=⋅，则点G 为垂心。