2019-2020学年高中数学 3.4《曲线与方程》教学设计 北师大版选修2-1【教学目标】1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，并初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念，从而为求已知曲线的方程奠定理论基础.2. 在领会曲线和方程概念的过程中，培养分析、判断、归纳的逻辑思维能力与抽象思维能力，同时强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法.3. 了解用坐标法研究几何问题的初步知识和观点；初步掌握求曲线的方程的方法. 【导入新课】 复习导入复习有关常见的曲线，及其对应的方程.例如我们一起回顾直线和圆的方程有关知识： 1.经过点P(0,b)和斜率为k 的直线l 的方程为y kx b =+， 2.在直角坐标系中,平分第一、三象限的 直线方程是y x = ，3.圆心为C(a,b) ,半径为r 的圆C 的方程 为()()222x a y b r -+-=，4．直线 x-y=0上 点的横坐标与纵坐标相等 x=y （或x- y=0） 即第一、三象限角平分线含有关系：（1） 直线上点的坐标都是方程x-y=0的解 （2）以方程x-y=0的解为坐标的点都在直线x-y=0 上. 新授课阶段1. 曲线的方程和方程的曲线的概念： 我们把满足下面两个条件：（1）曲线C 上的点的坐标都是方程 f （x ，y ）＝0的解；（2）以方程f （x ，y ）＝0的解为坐标的点都在曲线C 上的方程叫做曲线的方程，则该曲线，叫做方程的曲线.例1下列方程中哪一个表示的是如下图所示的直线l ，为什么？（1）x －y =0（2=0（3）x 2－y 2=0 （4）|x |－y =0解析：方程（1）是表示直线l 的方程，而（2）（3）（4）都不是表示直线l 的方程. （2）中直线上的点的坐标不全是方程的解，如（－1，－1）等，即不符合“直线上的点的坐标都是方程的解”这一结论.（3）中虽然“直线l 上的点的坐标都是方程的解”，但以方程x 2－y 2=0的解为坐标的点不全在直线l 上，如点（2，－2）等，即不符合“以方程的解为坐标的点都在直线上”这一结论.（4）中依照（2）（3）的分析方式得出不符合“直线上的点的坐标都是方程的解”这一结论，比如点（－1，1）.点评：理解曲线的方程和方程的曲线的概念，并能对题目作出正确的判定.判定时必须要同时满足（1）直线l 上的点的坐标都是方程的解.（2）以方程的解为坐标的点都在直线上.例2 （1）判断点M 1（3，－4），M 2（－2）是否在方程x 2+y 2=25所表示的曲线上. （2）用曲线方程的定义说明以坐标原点为圆心、半径等于5的圆的方程是x 2+y 2=25. 分析：第（1）问先把点的坐标代入已知的表达式中，满足方程则在曲线上，否则不在曲线上.第（2）问利用圆的定义，结合两点间距离公式化简求解，并进行说明.解析：（1）把点M 1（3，－4），M 2（－2）分别代入到方程中，可知前者满足方程，后者不满足.（2）设圆心坐标为（0，0），半径为r=5，圆上的任意一点P （x ，y ），结合两点间距离公式，我们得到圆上的点满足的方程. 2. 求曲线（图形）的方程，一般有下面几个步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x ，y ）表示曲线上任意一点M 的坐标； （2）写出适合条件P 的点M 的集合P ={M |P （M ）}； （3）用坐标表示条件P （M ），列出方程f （x ，y ）=0； （4）将方程f （x ，y ）=0化为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线C 上的点.（查漏除杂）. 例3 证明与两条坐标轴的距离之积是常数)0(>k k 的点的轨迹方程是k xy ±=. 分析：先结合已知条件求解方程，然后运用定义证明.证明：（1）设M （x 0，y 0）是轨迹上的任意一点，因为点M 与x 轴的距离为0y ，与y 轴的距离为0x ，所以 k y x =⋅00即),(00y x 是方程k xy ±=的解.（2）设1M 的坐标),(11y x 是方程k xy ±=的解，那么k y x ±=11即k y x =⋅11，而11,y x 正是点1M 到x 轴，y 轴的距离，因此点1M 到两条坐标轴的距离的积是常数k ，点1M 是曲线上的点.由（1）（2）可知，k xy ±=是与两条坐标轴的距离之积是常数)0(>k k 的点的轨迹方程.例4 设A 、B 两点的坐标是 （－1，－1）、（3，7），求线段AB 的垂直平分线的方程. 解法一：∵7(1)23(1)--==--AB k ，∴所求直线的斜率k=－0.5.又∵线段AB 的中点坐标是1317(,)22-+-+，即（1，3）. ∴线段AB 的垂直平分线的方程为13(1)2y x -=--.即x +2y －7=0. 解法二：设M （x ，y ）是线段AB 的垂直平分线上的任意一点，则|MA|=|MB|.2222x +2x +1+y +2y +1=x -6x +9+y -14y +49∴∴270x y +-=（Ⅰ）（1）由以上过程可知，垂直平分线上任意一点的坐标都是方程270x y +-=的解； （2）设点1M 的坐标11(,)x y 是方程（Ⅰ）的解，即11270x y +-= ∵以上变形过程步步可逆，11M A =M B综上所述，线段AB 的垂直平分线的方程是x +2y -7=0. 3. 求曲线方程的常用方法：（1）直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，且这些条件简单明确，易于表述成含有x ，y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称为直接法.用直接法求动点轨迹一般有建系，设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”.（2）定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线的定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线的定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程.（3）代入法：若动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P （x ，y ）却随另一动点Q （'y ,'x ）的运动而有规律的运动，且动点Q 的轨迹为给定的或容易求得的，则可先将'y ,'x 表示为x ，y 的式子，再代入Q 的轨迹方程，然后整理得出P 的轨迹方程.代入法也称相关点法.（4）参数法：若求轨迹方程的过程中很难直接找到动点的横坐标与纵坐标之间的关系时，则可借助中间变量（参数），使x ，y 之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程.（5）交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数（求两动直线的交点时常用此法），也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数得到轨迹方程.交轨法可以说是参数法的一种变形.4. 轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，轨迹是指曲线，轨迹方程是指曲线的方程.求轨迹方程的本质，就是在给定的坐标系中，求轨迹上任意一点的横坐标与纵坐标之间的关系. 例5 经过原点的直线l 与圆226490x y x y +--+=相交于两个不同点A 、B ，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.分析：先设出点的坐标，利用中点公式和圆的方程，OM AB k k =，我们得到所求点与弦端点的坐标关系式，从而求其轨迹方程；或者直接设直线方程，引入参数K ，然后消去参数求轨迹方程.解法一：设M (,)x y ，A 11(,)x y ，B 22(,)x y121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩且22111122222264906490x y x y x y x y ⎧+---=⎪⎨+---=⎪⎩①② 由①－②得12121212()()()()x x x x y y y y -++-+12126()4()0x x y y ----= ∵OM AB k k =即1212y y y x x x -=-（易知12x x ≠） ∴22640y yx y x x+⋅--= ∴化简得22320x y x y +--=∴所求轨迹方程为02322=--+y x y x （在已知圆内部一段弧所对应的方程） 解法二：设M (,)x y ，A 11(,)x y ，B 22(,)x y则121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩设直线l 的方程为y kx =由方程组226490=⎧⎨+--+=⎩y kxx y x y 消去y 得22(1)(64)90k x k x +-++=121222649,11k x x x x k k ++=⋅=++∴22321321k x k k y k k +⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⋅⎪+⎩消去参数k 得22320x y x y +--=点评：若动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P （x ，y ）却随另一动点Q （x’，y’）的运动而有规律的运动，且动点Q 的轨迹为给定的或容易求得的，则可先将x’，y’表示为x ，y 的式子，再代入Q 的轨迹方程，然后整理得P 的轨迹方程.相关点法也称代入法.简单地说：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得动点坐标（x ，y ）之间的坐标. 课堂小结曲线的方程和方程的曲线（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解； （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线 作业见同步练习部分 拓展提升1． 指出下列方程表示的曲线分别是什么？（1）x －2=0（2）（2x+3y －5）（0)13=--x （3）（3x －4y －12）[0]3)2(log 2=-+y x （4）0324222=++-+y x y x2. 已知点M与x轴的距离和点M与点F（0，4）的距离相等，求点M的轨迹方程.3. 已知一条直线l和它上方的一个点F，点F到l的距离是2.一条曲线也在直线l的上方，它上面的每一点到F的距离减去到直线l的距离的差都是2，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程.参考答案1.解：（1）表示的曲线为过（2，0）且平行于y 轴的直线；（2）因为 0)13)(532(=---+x y x.4)3(05324)3(0532013030532=≥=-+=≥=-+=--⎩⎨⎧≥-=-+∴x x y x x x y x x x y x 和一条直线线故表示的曲线为一条射或即或故方程表示的曲线为一条射线)3x (05y 3x 2≥=-+和一条直线x=4. （3）因为（3x －4y －12）[0]3)2(log 2=-+y x直线。

线（除去端点）和一条故表示的曲线为一条射或即或82)512(0124303)2(log 02012432=+>=--=-+⎩⎨⎧>+=--∴y x x y x y x y x y x故方程表示的曲线为一条射线⎪⎭⎫⎝⎛>=--512x 012y 4x 3（除去端点）和一条直线x+2y=8.（4）因为0324222=++-+y x y x0)1()1(222=++-∴y x则方程表示的图形为一个点（1，－1）2. 解：设点M 的坐标为（x ，y ）∵点M 与x 轴的距离为y，FM =∴y222816y x y y =+-+∴2816x y =-就是所求的轨迹方程.3. 解：设直线l 为x 轴，过点F 且垂直于直线l 的直线为y 轴，建立坐标系xOy ，设点M（x ，y ）是曲线上任意一点，MB⊥x 轴，垂足是B ，那么2=-MB MF ，把M 点坐标代入上式得：2)2(22=--+y y x ，平方得：222)2()2(+=-+y y x ，化简得：281x y =.因为曲线在x 轴的上方，所以y ＞0， 所以曲线的方程是281x y =)0(≠x .。