When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
Please Criticize And Guide The Shortcomings
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
y
x2
1
2x
x2 2x
1 y
,
1 y
1 .
1 y
1
0
,
即
y
y
1
0
.
解得 y -1 或 y > 0 .
函数的值域为 { y | y -1 或 y > 0 } .
❖ 4. 利用反函数的定义域求函数的值域
若一个函数有反函数，则它的反函数的定义域就是 原函数的值域 .
例5 求函数 y 解：由 y 2x
3x
2x 3x
3 1
3 1
3
的值域 .
注：对于分式函 xy y 2数x ， 3如果它的分
子和分母都是 x
x
y3 3y2
,
y 2 . 的一次式，一般 3 用这种方法求值
所以函数的值域为 y y R , 且域y比 (x) 在某一区间上是单调的，
且函数在两个端点处的函数值（或左、右极限） 为 a、b，则 a、b 就是这个函数的最大、最小 值（或上、下确界，a，b也可能是 ∞）.
例6 求函数 y x 1 x 1 的值域 .
解：显然此函数的定义域为 [1，+∞）.
当 x 1 时，函数单调递增 .
又因 f (1) 2 , 函数值域为 2 ， .
当 u 0+ 时，y +∞ . 函数 y x(2 x)
为 [2 , ).
1 的值域 x(2 x)
❖ 6. 利用一元二次方程的根的判别式求一类函数 的值域
例 8 求函数 y
x2 2
的值域 .
2x2 2 3 x 1
解：去分母得 2 y x2 2 3 y x y x2 2 ,
(2 y 1) x2 2 3 y x ( y 2) 0
因函数的定义域非空集，故上述关于 x 的一元二 次方程一定有实根 .
所以判别式 (2 3 y)2 4(2 y 1)( y 2) 0 .
整理得 y2 3 y 2 0 y 1 或 y 2 .
函数的值域为 y y 1 , 或 y 2 .
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的， 所以不要放弃，坚持就是正确的。
f
设
(u1 )
0 u1
f (u2 )
u1 u2
u2
u1
0
,
1,
1 u1
1
u2
1
u1u2
1 u2
0,
(u1
u2
)
(1
1 u1u2
)
f (u1) f (u2 ) 0 , f (u1) f (u2 ) ,
f (u) 在（0，1] 上是减函数 .
因为当 u = 1 时，y = 2，
例3 求函数 y 2 x 4 的值域. x 3
解：由原函数，得 x y 3 y 2 x 4 ,
解得
x
3y4 y2
.
由于
x 0,
3y4 y2
0
.
4 3
y
2
.
函数的值域为
[
4 3
，2).
例4
求函数
y
x2
1 2x
的值域 .
解：由于 x 2 - 2x = (x -1) 2 –1 -1 .
解：令 1 2x t，则 1 2x t 2,
x
1
t 2
2
(t 0) .
y x
1
2x
1t2 2
t
1 t2 t 1
2
2
1 (t 2 2t) 1 1 (t 1)2 1 .
2
22
(t 1)2 0, 且当 t 1 时，(t 1)2 0, y 1 .
函数的值域为（- ∞，1 ] .
注：若把函数改为 y x 1 2x , 仍令
t 1 2x (t 0),
得
y
1t2 2
t
1 (t 1)2 1 2
这时若得 y 1，则是错误的 .
事实上，因为 t 0，所以 (t + 1)2 1 .
1 (t 1)2 1 , 应有 y 1 1 1 .
2
2
22
例 1 求 y = 2x2 - 4x + 5 (x R)注的：值对域于.二次
解：y = 2( x –1 )2 + 3，
函数，都可以 用这种配方的
由于 2( x –1 )2 0 ，
y
3.
方法求函数的 值域 .
函数的值域为 [ 3，+ ∞）.
❖ 2. 利用换元法求函数的值域
例2 求函数 y x 1 2x 的值域 .
y x
1 2x
的值域应为 (,
1 2
]
,
这说明
“方法 1”中所说的“( x) 0有实根”是必要的 .
❖ 3. 利用 (x) 的值域求 f [ (x) ] 的值域
如果函数 y = f (x) 是关于 (x) 的复合函数, 而 (x) 的值域是易求的，则可由原函数中先解出 (x) ，而后 由 (x) 的值域确定 f (x) 的值域 .
求函数值域的几种方法
求函数值域的问题，也是高中数学中常见的题型， 下面举例说明求函数值域的几种常用的方法.
1. 利用配方法求函数的值域
对函数 y = f (x)，如果 f (x) = a [ (x)]2 + b，并 且 (x) = 0 有实根，则当 a > 0 时，f (x) 的值域是
[ b，+∞）；当 a < 0 时，它的值域是（- ∞，b ] .
例 7 求函数 y x(2 x) 1 的值域 . x(2 x)
解：因为 x (2-x) = 2x - x2 = -( x -1 )2 + 1 1 ,
0 x(2 x) 1. 设 x(2 x) u ,
则
0u1,
原函数变为
y
u
1 u
(注意u 0).
考察 y = f (u) 在 (0，1] 上的增减性 .