解：令t 3 x 1 0则x t 2 1 , 3
于是y=5- 1(t2+1)+t=- 1(t- 3 )2+ 65 ,
• 求函数值域方法很多，常用配方法、换 元法、判别式法、不等式法、反函数法、 图像法（数形结合法）、函数的单调性 法以及均值不等式法等。这些方法分别 具有极强的针对性，每一种方法又不是 万能的。要顺利解答求函数值域的问题， 必须熟练掌握各种技能技巧，根据特点 选择求值域的方法，下面就常见问题进 行总结。
此时f ( x)min
f (41)
2
3a 4
a
1 4
(a
1 2
)o2
0
x
故f
( x)min
3 4
a
（2）若 1 a 1，
2
2
y
当x a时，f ( x) ( x 1 )2 3 a增，
24
当x a时，f ( x) ( x 1 )2 3 a减，
24
故f ( x)min f (a) a2 1
4
4
2
故f
( x)min
3 4
a
综上：f
( x)min
a 2
3 4 1
a
3a 4
(a 1)
2
( 1 a 1)
2
2
(a 1)
2
二、换元法 例3 求下列函数的值域：
（1） y=5-x+√3x-1；（2）y=x-2+√4-x2.
分析：带有根式的函数，本身求值域较难，可考虑用换 元法将其变形，换元适当，事半功倍。
t2
8t
t 2 6t 7
(3 t 7) 2
(7 t 4)
2
当 t 4 时， f (x) 在 t,t 1 上单调递减，
f ( x)max f (t) t 2 8t, f ( x)min f (t 1) t 2 6t 7.
综上: t 3 时， f ( x)max t 2 6t 7,
二次函数------配方法
例1
求函数
y x2 x 1 (1 x 1)的值域。 2
分析：本题是求二次函数在区间上的值域问题，
可用配方法或图像法求解。
y
解：y (x 1)2 3 , x 1,1,
24
x=
1 2
，ymin
3 4
,
x
1,
ymax
3 2
,
3/2 o 1/2
如图，
-1
1x
∴y∈[-3/4,3/2].
t 2 6t 7 g(t)
t 2 8t
(t 7) 2
(t 7)
2
例2.已知函数 f (x) x2 8x, 求 f (x) 在区间 t,t 1
上的(1) 最大值 h(t ); (2) 最小值 g(t); (3)最大值与最小值.
f (x) x2 8x (x 4)2 16.
o
x
（3）若a 1，
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
当x a时，f ( x) ( x 1 )2 2
3 a， 4
此时f ( x)min
3a 4
当x a时，f ( x) ( x
1)2 2
3 4
a减，此时f
(
x)min
f (a) a2
1
又(a2 1) ( 3 a) a2 a 1 (a 1 )2 0
例3：求f ( x) x 1 a 2a, x [0, 1]的最小值.
3
2
解：f
当a 1
( x)的对称轴x
0 a 1 时，f (
x)在a [0,131,]上如增何，求f
(
x)的最大值？
3
3
2
f ( x)min
f (0)
1a 3
2a
1a 3
当0
a
1 3
1 2
1 3
a
5 6
时， f
(
x)min
2a
当a
1 1 a 5 时，f
32
6
1
f ( x)min
f( ) 2
1 1 a 2a 23
( x)在[0, 1]上减， 2
综上：f ( x)min
3a 5 6
3213aa(13a65((aaa131265)))
例4：求函数 f ( x) x2 x a 1(a R)的最小值.
t2 8t, t 4
例2.已知函数 f (x) x2 8x, 求 f (x) 在区间 t,t 1
上的最大值 h(t ) 及最小值 g(t).
(2)当 t 1 4 t 7 时，
2
2
g(t) f (t 1) t 2 6t 7,
当 t 1 4 t 7 时，
2
2
g(t) f (t) t 2 8t.
(3)当 t 1 4, 即 t 3 时， f (x) 在 t,t 1 上单调递增，
f ( x)max f (t 1) t 2 6t 7, f ( x)min f (t) t 2 8t.
当 t 4 t 1, 即 3 t 4 时，f ( x)max 16,
f ( x)min min{ f (t), f (t 1)} min{ t 2 8t,(t 1)2 8(t 1)}
h(t) f (t 1) (t 1)2 8(t 1) t2 6t 7;
当 t 4 t 1, 即 3 t 4 时，h(t) f (4) 16;
当 t 4 时， f (x) 在 t,t 1 上单调递减，h(t) f (t) t2 8t.
t2 6t 7,t 3, 综上， h(t) 16, 3 t 4,
-3/4
例2.已知函数 f (x) x2 8x, 求 f (x) 在区间 t,t 1
上的(1) 最大值 h(t ); (2) 最小值 g(t); (3)最大值与最小值.
解： f (x) x2 8x (x 4)2 16.
(1)当 t 1 4, 即 t 3 时， f (x) 在 t,t 1 上单调递增，
解： f (x) （1）若a 1，
x2
xa
1
( x ( x
1 )2 2 1 )2
3
4 3
a( a(
x x
a) a)
24
当x
2 a时，f
(
x)
(
x
1
)2
3
a增，
y
24
此时f ( x)min f (a) a2 1
当x
a时，又f ((xa) 2( x1)12()2343a)a，a2
f ( x)min t 2 8t.
3t 7 2
7t4 2
时， f ( x)max 16, 时， f ( x)max 16,
f ( x)min t 2 8t. f ( x)min t 2 6t 7.
t 4 时，
f ( x)max f (t) t 2 8t, f ( x)min f (t 1) t 2 6t 7.