曲线的凹凸与拐点
• •
1 θ 2 θ
•
y
•
x
3 2 1 θ θθ o
• •
o
a
x1
3 θ
x 2x 3 b
a x 1x 2 x 3
b
x
1.几何特征Ⅱ
凹型曲线:切线的斜率随着X的增大而增大. 凸型曲线:切线的斜率随着X的增大而减小.
2.结论:
(x) 曲线y=f(x)的凹凸性可以用f′的单调性来判定. (x) 即y=f(x)的凹凸性与f (A)（1）y=3x −4x³+1
(B)（2）y=ln(1+x²)
小结:
1.如何来研究函数的凹凸性. 2.凹与凸的定义 , 拐点的定义. 3.凹与凸的判定.
解: 定义域为(−∞,+∞) y'=2ax+b y"=2a 当a>0时，y">0,曲线y=ax²+bx+c在 (−∞,+∞)内是凹的. 当a<0时，y"<0,曲线y=ax²+bx+c在 (−∞,+∞)内是凸的. 注：凹凸性的判定定理的记忆与二次函数的开口 方向相结合。
例2.求下列曲线的凹凸区间与拐点
1.函数y=f(x)单调性的判定
y y
y=f(x)
y0
o
p
y=f(x)
x
y0
o
p x
x0
x0
K切=f '(x)>0 y单调递增
K切=f '(x)<0 y单调递减
2.几何特征Ｉ Ｉ
凡呈凸型的弧段其切线总位于曲线的上方. 凡呈凹型的弧段其切线总位于曲线的下方. 连续曲线的凹弧段与凸弧段有分界点.
一.定义:若曲线y=f(x)在某区间内位于其切线的上方.则称 该曲线在此区间内是凹的,此区间称为凹区间. 若曲线位于 其切线的下方,则称该曲线在此区间内是凸的,此区间称为凸 区间. y
4 (B)2.y=(2x-1) +1
解：（1）定义域为（−∞，+∞） （2）y'=8(2x-1)³ y"=48(2x-1)² （3）显然x∈ (−∞,+∞), y"≥0
∴凹区间（−∞，+∞），无拐点
练习(B) 1.下列结论是否正确
（1）.由f"(x0)=0所确定的点(x0,f(x0))一定是拐点. （2）.若函数f(x)在(a,b)内二次可导,且f'(x)<0, f"(x)>0,则曲线y=f(x)在(a,b)单调递减 且凹向上.
(B)1.y=x4 −2x³+1
解：（1）定义域为（−∞,+∞） y"=12x²−12x=12x(x−1) （2）y'=4x³−6x² （3）令y"=0, 得x1 =0,x2=1 （4）列表 x （−∞，0） 0 （0，1） 1 （1，+∞） y″ 0 0 + − + 拐点 拐点 y ∪ （0，1） ∩ （1，0） ∪ ∴已知曲线的凹区间为（−∞，0）∪（1，+∞）， 凸区间为（0，1）拐点为（0，1）与（1，0）.
二.定理:
三.定义:
设f(x)在区间(a,b)内具有二阶导数f″ . (x) (x) (1)如果在(a,b)内f″ >0,那末曲线在(a,b)内 是凹的. (x) (2)如果在(a,b)内f″ <0,那么曲线在(a,b)内 是凸的. 连续曲线y=f(x)上凹的曲线弧和凸的曲线弧的 分界点称为拐点.
(A)例1.判定y=ax²+bx+c的凹凸性. (a≠0)