例1 、断调和级数1111123n n==++++∑∞1……n 的敛散性。

解 因为 1111123n n ==++++∑∞1……n 可以按如下加括号，得，级数....)16115114113112111110191()81716151()4131()211(++++++++++++++++而上述加括号后的级数的各项大于级数....212121.......)161161161161161161161161()81818181()4141(21+++=+++++++++++++++的对应项，又后一级数112n =∑∞是发散的，所以原调和级数11n n=∑∞是发散的。

例2 、判断级数231111123n n n==++++∑∞n1……n 的敛散性。

解 因为n 1n ≤n-112而等比级数1112n n -=∑∞是收敛的，且1112n n -=∑∞=2，所以是收敛的。

例3 、察∑∞=+-1211n n n 的收敛性。

解：由于当2≥n 时，有222)1(1)1(1111-≤-=-≤+-n n n n n n n ， 因正项级数∑∞=-22)1(1n n 收敛，故∑∞=+-1211n n n 收敛。

例4、级数∑n1的发散性，可知级数∑n1sin 是发散的。

增加例题：级数∑n 1s i n = ++++n1sin 21sin 1sin 是发散的。

为111sinlim =∞→nn n 根据推论以及调和级数∑n 1发散，所以级数∑n 1sin 也发散。

例5、讨论级数+-+⋅⋅-+⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+)]1(41[951)]1(32[852951852515212n n 的收敛性。

由于 ,1434132lim lim1<=++=∞→+∞→n n u u n nn n 根据上述推论级数是收敛的。

例6、 讨论级数)0(1>∑-x nxn 的收敛性。

解 因为()(),1111∞→→+⋅=+=-+n x n n x nx x n u u n n n n 根据推论１，当10<<x 时级数收敛；当1>x 时级数发散；而当1=x 时，所考察的级数是∑n ,它显然也是发散的。

若(9)中1=q ，这时用比式判别法不能对级数的敛散性作出判断，因为它可能是收敛的，也可能是发散的。

如级数∑21n 和∑n 1,它们的比式极限都是(),n u u nn ∞→→+11但∑21n 是收敛的(§１例4)，而∑n 1却是发散的。

若某级数的(9)式的极限不存在，则可应用上、下极限来判别。

例7、研究级数 ++++++++-n n n nc b cb c b c b bc b 12221 (10)的敛散性，其中c b <<0。

解 由于⎩⎨⎧=+n c n b u u n n ,,1为偶数为奇数,故有 ,lim ,lim 11b u u c u u n n n nn n ==+∞→+∞→ 于是，当1<c 时，级数(10)收敛；当1>b 时，级数(10)发散；但当c b <<1，比式判别法无法判断级数(10)的敛散性。

例8、 讨论级数 ∑-+n n 2)1(2的敛散性。

解：由于 (),21212lim lim =-+=∞→∞→nnn n nn u 所以级数是收敛的。

若在(13)式中l =1，则根式判别法仍无法对级数的敛散性作出判断．例如，对,112∑∑n n 和都有1→n nu ()∞→n 但∑21n 是收敛的，而∑n 1却是发散的。

若(13)式的极限不存在，则可根据根式n n u 的上极限来判断。

例9、讨论下列级数（1） ∑∞=11n p n ，（2）∑∞=2)(ln 1n p n n ， （3） ∑∞=3)ln )(ln (ln 1n pn n n 的敛散性。

解 （1）函数()p x x f 1=，当0>p 时在[]+∞,1上是非负减函数。

知道反常积分⎰+∞1p xdx 在1>p 时收敛，1≤p 时发散．故由定理4得∑p x1去当1>p 时收敛，当10≤<p 时发散。

至于0≤p 的情形，则可由定理12.1推论知道它也是发散的。

（2）研究反常积分⎰+∞2)(ln px x dx，由于⎰⎰⎰+∞+∞+∞==2ln 22)(ln )(ln )(ln p p p u du x x d x x dx 当1>p 时收敛，1≤p 时发散；根据定理4知级数(2)在1>p 时收敛，1≤p 时发散。

对于(3)，考察反常积分⎰∞3)ln )(ln (ln px x x dx，同样可推得级数(3)在1>p 时收敛，在1≤p 时发散。

例10、证明级数∑∞=+1221n n 是收敛的。

证 由于222n n >+，所以22121n n <+，而级数∑∞=121n n为p=2 的p-级数且收敛， 故由比较审敛法，级数∑∞=+1221n n 是收敛的。

例11、判别下列级数∑∞=+1222n n n的敛散性。

分析 这是一个典型的例题，通项222+n n是关于n 的一个有理分式。

应注意分母和分子中n 的最高幂次之差，通项为关于n 的一个有理分式的级数和相应的p-级数有相同的敛散性。

本题中这一差数为１，故应和p=1的p-级数∑∞=11n n做比较。

解 n n n n n n n 1322222222⋅=++≥+，而级数∑∞=⋅1)132(n n 与∑∞=11n n 有相同的敛散性，即同时发散，故由比较审敛法，级数∑∞=+1222n n n是收敛的。

在例中，由于级数的通项比较复杂，使得敛散性的判别过程较为复杂，为使比较审敛法的应用更为方便，给出其极限形式。

比较审敛法的极限形式 设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 为两个正项级数，如果l v u nnn =∞→lim (+∞<<l 0)，则级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 有相同的敛散性。

如果正项级数∑∞=1n n v 发散，且满足),3,2,1( =≥n v u n n ，则∑∞=1n n u 发散；例12、判别级数∑∞=11sinn n的敛散性。

解 因为111sinlim=∞→nn n ，故由比较审敛法的极限形式得知此级数收敛。

如果不用比较审敛法的极限形式，例３中的级数敛散性的判别较为困难。

例13、用比较审敛法的极限形式判别例３中的级数∑∞=+1222n n n 的敛散性。

解 因为2122lim2=+∞→nn nn ，故由比较审敛法得知此级数收敛。

比值审敛法 设正项级数∑∞=1n n u 的后项与前项的比值的极限等于ρ：ρ=+∞→n n n u u1lim (3)则当1<ρ时级数收敛；1>ρ时级数发散。

例14、判别级数+++⋅⋅+⋅+nn 10!10321102110132的敛散性。

解 因为n n n u 10!=，故101!1010)!1(11+=⋅+=++n n n u u n n n n ，从而∞=+=∞→+∞→n n u u n n n n 1lim lim 1。

由比值审敛法可知级数发散。

易知，当级数的通项含有阶乘或n 出现在指数位置时，一般可用比值审敛法判别其敛散性。

例15、判别级数∑∞=⋅1!2n nn nn 的敛散性。

分析 此级数的通项n n n n n u !2⋅=中既含有n 的阶乘，又含有n 2和nn ，所以可用比值审敛法判断其敛散性。

解 因为n n n n n u !2⋅=，所以nn n n n n n nn n n n u u )11(2!2)1()!1(2111+=⋅⋅++=+++从而12l i m 1<=+∞→e u u nn n ，由比值审敛法可知，此级数收敛。

当(3)中ρ等于１时，用比值审敛法不能判别级数的敛散性。

可用其它方法判别其敛散性。

根值审敛法 设正项级数∑∞=1n n u 的通项n u 的n 次方根的极限等于ρ：ρ=∞→n n n u lim ， (4)则当1<ρ时级数收敛；1>ρ时级数发散。

例16、证明级数 +++++nn 13121132收敛。

分析 当级数的通项中含有nn 或类似的表达式时，通常采用根值审敛法判别级数的敛散性。

证 因为011→==nn u nn nn (∞→n )故由根值审敛法得知所给级数收敛。

以上给出了正项级数的各种判别法。

对于给定的正项级数，可以按照以下顺序对其敛散性进行判别： 1．首先观察其通项是否趣于零，如果通项不趣于零，则级数发散。

2．如果通项趣于零，可根据级数通项的特点，考虑用比较审敛法、比值审敛法或根值审敛法。

3．极其特殊的情况下，也可以用级数的部分和数列来判断级数的敛散性。