第 27 章相似三角形知识点知识点 1有关相似形的概念1、形状相同的图形叫相似图形，2、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．3、相似多边形对应边长度的比叫做相似比( 相似系数 ) ．知识点 2比例线段的相关概念（ 1）在求线段比时，线段单位要统一。

（ 2）在四条线段a, b, c, d 中，如果a和b的比等于c和d的比，那么这四条线段 a,b,c, d 叫做成比例线段，简称比例线段知识点 3 比例的性质（注意性质里的条件：分母不能为0）a: b c: d ad bc； a c a b c db d b d知识点 4 比例线段的有关定理1、平行线分线段成比例定理: 三条平行线截两条直线, 所截得的对应线段成比例 . A已知 AD∥ BE∥CF,可得ABDE或 AB DE或BC EF或BC EF或AB BC D E等.BC EF AC DF AB DE AC DF DE EFB C知识点 5相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似三角形对应边的比叫做相似比( 或相似系数 ) ．相似三角形对应角相等，对应边成比例．知识点 6三角形相似的判定方法1、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边( 或两边的延长线) 相交，所构成的三角形与原三角形相似．2、只看角法（AA）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．3、只看边法(SSS)：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．(HL) 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．4、边角组合法(SAS) ：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相知识点 7射影定理内容：在直角三角形中，斜边上的高的平方是两直角边在斜边上射影的乘积。

每一条直角边的平方是这条直角边在斜边上的射影和斜边的乘积。

如图， Rt △ ABC中，∠ BAC=90°， AD是斜边BC 上的高，则 AD2=BD· DC， AB2=BD· BC ， AC2=CD· BC 。

(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．A知识点 8相似三角形常见的图形B CD1、下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（ 1）如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A A 型”与“ X 型”图）AE DD E B C ABCDE C(1) B(2)(3)(2)如图：其中∠ 1=∠ 2，则△ ADE∽△ ABC称为“斜交型”的相似三角形。

（有“反 A 共角型”、“反 A 共角共边型”、“蝶型”）DAA1E4 E E1AD1 D2C 2 2B C B CB（ 3）如图：称为“垂直型” （有“双垂直共角型” 、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型” ）A AEA BD2 1EEE DC(D)A C D B C B C B(4) 如图：∠ 1=∠ 2，∠ B=∠ D，则△ ADE∽△ ABC，称为“旋转型”的相似三角形。

2、几种基本图形的具体应用：（ 1）若 DE ∥ BC （ A 型和 X 型）则△ ADE ∽△ ABC（ 2）射影定理若 CD 为 Rt △ ABC 斜边上的高（双直角图形）222则 Rt △ ABC ∽ Rt △ ACD ∽Rt △ CBD 且 AC=AD · AB ， CD=AD · BD ， BC=BD · AB ；AE DCDEABCBC AD B2（ 3）满足 1、 AC=AD · AB ， 2、∠ ACD=∠ B ， 3、∠ ACB=∠ ADC ，都可判定△ ADC ∽△ ACB ． （ 4）当AD AE或 AD ·AB=AC · AE 时，△ ADE ∽△ ACB ．ACABAADDEB CBC知识点 9相似三角形的性质(1) 相似三角形对应角相等，对应边成比例．(2) 相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (3) 相似三角形周长的比等于相似比．(4) 相似三角形面积的比等于相似比的平方．注：相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等．知识点 10 相似三角形中有关证（解）题规律与辅助线作法1、证明四条线段成比例的常用方法：(1) 线段成比例的定义 (2) 三角形相似的预备定理(3) 利用相似三角形的性质(4) 利用中间比等量代换(5)利用面积关系2、证明题常用方法归纳：（ 1）总体思路 : “等积”变“比例” ，“比例”找“相似”(2) 找相似：通过“横找”“竖看”寻找三角形，即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母，并且这几个字母不在同一条直线上，能够组成三角形，并且有可能是相似的， 则可证明这两个三角形相似，然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论.(3) 找中间比：若没有三角形 ( 即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个字母在同一条直线上 ) ，则需要进行“转移” ( 或“替换” ) ，常用的“替换”方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代换.即：找相似找不到，找中间比。

方法：将等式左右两边的比表示出来。

(4) 添加辅助线：若上述方法还不能奏效的话，可以考虑添加辅助线 ( 通常是添加平行线 ) 构成 比例 . 以上步骤可以不断的重复使用，直到被证结论证出为止.注：添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。

平面直角坐标系中通常是作垂线（即得平行线）构造相似三角形或比例线段。

（ 5）比例问题：常用处理方法是将“一份”看着k; 对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为k 。

（ 6）．对于复杂的几何图形，通常采用将部分需要的图形（或基本图形）“分离”出来的办法处理。

一、填空题1．如图，BD、CE是的高，图中相似三角形有__________对．2．如图，D是的边AB上一点，若，则∽，若，则∽．1245673．在中，是高，若，且，则．4．如图，在四边形ABCD中，cm ，cm，cm ，cm ，则CD的长为__________cm．=5．如图，在中，AC =BC*DC，则∽ ____．6．如图，cm，则cm．7．如图，在中，与是否相似_________，相似比是 __________ ．二、选择题1．如图，在Rt中，于D点，则图中相似三角形有（）．A．4对B．3对C．2 对D．1 对2．如图，由下列条件不能判定与相似的是（）．A．B．C．D．3．如图，D为的边AB上一点，且，则 AC长为（）．A． 12cmB ．cmC ．cm D ．2cm4．下列 4 组图形中一定相似的是（）．A．各有一个角是40°的两个等腰三角形 B ．两条边之比都是2： 3 的两个三角形C．两条边之比都是2： 3 的两个直角三角形 D ．各有一个角是100 °的两个等腰三角形5．下列各组图形中有可能不相似的是（）．A．各有一个角是45°的两个等腰三角形B．各有一个角是60°的两个等腰三角形C．各有一个角是105°的两个等腰三角形D．两个等腰直角三角形6．有一个锐角相等的两个直角三角形的关系是（）．A．全等 B ．相似 C ．既不全等与也不相似 D ．无法确定7．和符合下列条件，其中使与不相似的是（）．A．B．C．D．三、如图，在梯形ABCD中，，求AB的长．四、已知：如图，在等腰梯形ABCD中，，过 D点作 AC的平行线交BA的延长线于E．试判断．271 ．如图，在Rt △ABC 中，已知∠ ACB=90°，且 CH ⊥AB ， HE⊥ BC ，HF ⊥ AC．求证：（ 1）△ HEF ≌△ EHC ；（2）△ HEF∽△HBC．272 ．已知：在菱形ABCD 中， O 是对角线 BD 上的一动点．（ 1）如图甲， P 为线段 BC 上一点，连接PO 并延长交 AD 于点 Q，当 O 是 BD 的中点时，求证：OP=OQ ；（ 2）如图乙，连接AO 并延长，与DC 交于点 R，与 BC 的延长线交于点S．若 AD=4 ，∠ DCB=60°，BS=10 ，求 AS 和 OR 的长．273 ．如图，在△ ABC 中， AB=AC ，∠ A=36°，线段 AB 的垂直平分线交AB 于 D，交 AC 于 E ，连接 BE ．（1）求证：∠ CBE=36°；（ 2）求证： AE 2=AC?EC．277．如图 27- 14，已知 AB 是⊙ O 的直径，点 C 是⊙ O 上一点，连接 BC ，AC ，过点 C 作直线 CD ⊥AB 于点 D，点 E 是 AB 上一点，直线 CE 交⊙ O 于点 F，连接 BF 与直线 CD 延长线交于点 G.求证： BC 2＝ BG·BF.278 ．如图 27- 16 ，AB 是⊙ O 的直径，弦 CD ⊥ AB 于点 E，过点 B 作⊙ O 的切线，交 AC 的延长线于点 F.已知 OA ＝3 ，AE ＝ 2.(1) 求 CD 的长； (2) 求 BF 的长．279．如图 27-15，点 C， D 在线段 AB 上，△ PCD 是等边三角形．(1) 当 AC，CD ， DB 满足怎样的关系时，△ACP∽△ PDB?(2) 当△ ACP∽△ PDB 时，求∠ APB 的度数．。