“椭圆的切线方程”教学设计马鞍山二中 文恫兵一、 教学目标知识与技能：1、能根据已知条件求出已知椭圆的切线方程；2、让学生可以运用研究圆的切线方程的方法类比到椭圆切线方程的研究。
过程与方法：尝试用椭圆的切线方程解决椭圆的切线性质问题。
情感态度与价值观： 通过对椭圆的切线方程问题的探究，培养学生勤于思考，勇于探索的学习精神。
二、 教学重点与难点教学重点：应用特殊化（由特殊到一般）方法解决问题。
教学难点：椭圆的切线方程的探究。
三、 教学流程设计 （一）创设情境复习：怎样定义直线与圆相切？ 设计意图：温故而知新。
由前面学习过的直线与圆相切引出直线与椭圆相切。
定义做类比, 都是“直线与其有且只有一个交点”来定义相切，从而通过解析法中联立方程组，消元，一 元二次方程中的判别式等于零来解决。
（二）探究新知 基础铺垫：X 1 2 3问题1、已知椭圆C ：—81与直线1只有一个公共点设计意图：（1）根据椭圆的特征，可以得到特殊的切线方程如 x 2 2, y 2。
先由特殊情况过渡到一般情况。
切线确定，切点确定。
（2 ）已知斜率求切线，有两条，并且关于原点对称。
利用斜截式设直线，联立方程组，消 元，得到一元二次方程，判别式 0。
切线斜率确定，切线不确定。
（3 ）已知切点求切线，只有唯一一条。
利用点斜式设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式0。
由于切点是整数点，运算简洁。
切点确定，切线确定。
可总结由（2） （ 3）两道小题得到求切线方程的一般步骤：设直线，联立方程组，消元，得到一元二 次方程，判别式 0。
（4）同（3）的方法，但是切点不是整数点，运算麻烦，学生运算有障碍，所以要引出由切 点得到椭圆切线的一般方法。
问题一般化：2 2X y猜想：椭圆C : r 牙1与直线I 相切于点P （X o , y 。
），则切线I 的方程?1 请你写出一条直线1的方程；2 若已知直线I 的斜率为k 1，求直线I 的方程;3 若已知切点P （2,1）,求直线I 的方程；（4）若已知切点 ,求直线I 的方程。
a b（椭圆的切线方程的具体求法，详情请见微课）设计意图：类比经过圆上一点P（X o，y o）的切线的方程为X o X y°y r2进行猜想，培养学生合情推理的能力。
由于具体的求解过于繁琐，思想方法同问题1,所以上课时没必要花费时间进行求解，做成微课方便学生课后时间自己解决。
探究：在椭圆中，有关切线问题，还可以求哪些量？例：已知圆的方程是X2 + y2 = r2，求经过圆上一点P(X°, y°)的切线的方程。
经过圆上一点P(X o, y o)的切线的方程为X o X y o y r2，且直线OP垂直于切线, 所以，k°p k切线=-1，1•点与圆设点P(X o，y o)，圆(X a)2 (y b)2r2则2 2 2点在圆内(X。
a) (y o b) r，点在圆上(x o a)2 (y o b)2 r2，点在圆外(X。
a)2(y o b)2r2由圆C方程及直线I的方程，消去一个未知数，得一元二次方程，设一元二次方程的根的判别式为△，则I与圆C相交0，I与圆C相切o，I与圆C相离o类比到圆中:2r与直线I相切于点P(x o,y o)，且点P(x o,y o)在第一象限，若直线I与X轴、y轴分别交于点B、A.2B(-,0)，所以k AB 直;X o y o(4) |AB| |AP| | BP| 2 |AP| |BP| 取“=”b2¥ 也可理解为a趋于b时，k AB趋于凶) a y o y o2. | OP |2 2r，当且仅当| AP| | BP| r 时,结论(i)过点P的切线方程为(2) Q OP AB k OP k AB 时，椭圆圆，所以k op k AB X o X1；2a2y o y r ；(可以用极限的思想理解，当椭圆中的a b(3)过点P的切线方程为X o X y o y2 与X轴、y轴分别交于点B、A , A(0, —)，y o已知圆C : x2y2(椭圆中k AB由2014年浙江咼考题最后一道题 2 [2014 •浙江卷]如图，设椭圆C ：笃a 2爲 1(a b 0),动直线l 与椭圆C 只有一个公共 b 点P,且点P 在第一象限.(1 )已知直线I 的斜率为k ，用a ，b , k 表示点P 的坐标； (2)若过原点 O 的直线丨1与I 垂直，证明：点 P 到直线丨1的距离的最大值为 a -b . 2 x 如图，设椭圆C : p ab 2 1(a b 0)，动直线I 与椭圆C 只有一个公共点 P ,且点P 在第一象限. (1 )已知直线I 的斜率为k ，用a , b , k 表示点P 的坐标; y = kx + m (1)解：设直线I 的方程为y = kx + mk <o)，由x 2 联立消去 y 得(b 2 + a 2k 2) x 2+ 2a 2kmx + a 2n i - a 2b 2= o. 由于I 与C 只有一个公共点，所以 4a 4k 2m 2 a 2 km P 的坐标为一『+ a 2k 2， 一 a 2k 2 b 2,a 2kb 2 得m 2 a 2k 2 b 2(*)，解得点 又点P 在第一象限，故m 所以点P 的坐标为P(2 b 2= 1, 4a 2(m 2 b 2)(b 2 a 2k 2) o ，化简 b 2m b 2 + a 2k 2. Ja 2k 2~b 2 Ja 2k 2 b 2(2)设点P(x o , y o ),且点P(x o ,y o )在第一象限，用点P 的坐标X o , y o 表示椭圆的切线 方程；⑵解：P(X o ,y °)，则由(1 )知x 0 a 2k _a 2k _b 2，yo b 2 则可设过点 P 切线I 的方程为y y o k(x X o )消参得 X o y oa 2k 2b 2 a 2k 皆k 学代a y o入 y y o k(x x o )得 y y o 化为整式2 2x y 。
1 a b2 .2 a y o y b x °x 2 2. 2 2a y ob X o 两边同除以 ^(x a y o 2 2 . 2 2 a y o b X o 2 2a b ),a 2b 2得椭圆的切线方程 所以，过切点P(x o ,y o )的椭圆的切线方程 X o ) 2 2 a b (因 P 在椭圆上，所以X o X y o y2aX o X a2 1,与圆的切线方程做类比， 形式相仿。
b 2 yov 1b 2 1.⑶连接OP 切线I 的斜率为k 切线，直线0P 的斜率为k op ,求证k op k 切线二定值;⑶由(2)中所得的丸a 2k b 2kb 2X oa 2y oy o又因为也y o o ,kop ，所以k op k AB b 2宀佶2 -疋值X o X o oa(与圆的k op k 切线=-1做类比，可以用极限的思想理解，当椭圆中的 a b 时,椭圆加强为了圆，所以 b 2 K OP k AB~ 1)a2X问题2、已知椭圆C :笃2y2 1与直线I 相切于点P(x o , y o )，且点P(x o , y o )在第一象限, b 若直线I 与x 轴、y 轴分别交于点B 、A ，求线段| AB |的最小值。
直线AB 的方程设为y kx m,A(0,m), B(m,0)， k若直线I 与x 轴、y 轴分别交于点B 、A .若过原点O 的直线11与I 垂直交与点D,证明:则根据两点间的距离公式可得I AB |2 2mk 22m ，又因为前面根据直线和椭圆相切已求出m 2 a 2k 2 b 2 (*)，代入可得| AB |2m 2a 2k 2b 2a 2禺 k 2a 2b 2 (a 2k 2a 2b 22ab (ab)2，线段|AB |的最小值为a b .当且仅当 a 「kk 4~2k 2时，取到F 面再继续讨论“ 2X o过的k oP k ABb 2~2知， 此时k oP 22 !o_aX o32bx o 23a 2ax o2X oa ,代入 k oP 22a bX oI PA |22 X o(y o m)22X o(kx o )2(1 k 2)XoPA |2a b3a2 a ・| PA I a,|P >B| ba a bb 3x o 2 3 2 a y o问题3、已知椭圆C ：%a2yb 2 1与直线I 相切于点 2y o，代入P(x °,y °)，且点 P(x o , y o )在第一象限,由前面已证2 所以可得到，2b l3 a ”取到时的条(1 -)x o 2a£得a3兀得12 3X o 2a (1 为b a| PD | | AB | 定值. x °x y °y证明：由于过点P 的切线I 方程为二孑1,直线l 与x 轴、y 轴分别交于点B 、A ， a b _4 4_ a b ~22X o y o故直线l 1的方程为 b 2 2 所以 A(o,—),B(—,o)，则 |AB | y o xo由于直线I 1过原点o 且与 I ky o X o |l 垂直, x + ky = 0,所以点P 到直线I i 的 距离 |PD |____ Jk 2 1 b 2X o 面已证过 b 2X o 2 ， 代入得 a y o |PD| | ky o X o | |PD| 2 |AB| |a | 2a ::a 4y o 2b 2| a 2X o | b 22y_ b 2 点P 在第一象限.若过原点o 的直线 问题4、如图，设椭圆 2 2 a X o y o bx o y o l |a 21 ~4~ a X o? 2c = 定值(c 为椭圆的半焦距) | ”a 4y o 2 b 4X o 2b 2| b 4y o 21(a b 0)，动直线I 与椭圆C 只有一个公共点P,且 l i 与I 垂直，证明：点P 到直线l i 的距离的最大值为 a b .证明：方法一、 由于直线I 1过原点O 且与I 垂直，故直线11的方程为x + ky = 0,所以点P 到直线 —a 2k b 2k 2 2 距离 d =杓 aF b 2+ a 2k整理得d =1 + k 2a 2—b b 2 + a 2+ a 2k 2+ b"2・因为a 2k 2+2ab ,所以kv a — b 2 b 2+ a 2+ a 2k 2+『苗 +『+ 2ab"fa 2—b 2 当且仅当k 2= b时等号成立.a所以，点P 到直线11的距离的最大值为 a - b .方法二、由前面证过的问题2与问题3的结论，线段|AB|的最小值为 a b ,2 2 2 2|PD | |AB| |a b | a b =定值，可得点P 到直线11的距离| PD |的最大值为a — b .。