(1)类似于有阻力的自由落体，向上时加速 度为11，下落时加速度为9，落回地面后 又弹起。所以直到在原点速度为零才会 静止。F是保守力，所以 fS=E0+|F|x0 S=20m.
(2)Ep=|F|x+c
2 v 2a( xm x) (3)
向上时加速度为11， 下落时加速度为9
动量、动量定理
Example: find gravity from gravitational potential V=mgy
Solution: F mgy
(mgy) (mgy) (mgy) x i y j z k (mg ) j
Areal velocity
一个守恒量
掠面速度：位矢r 在单位 时间内扫过的面积。
dA 1 1 OHS / t rv sin dt 2 2
推广到有心力！
牛顿的推理：
SAB面积 SBc面积 ... SBc面积 SBC面积 ???
Cc//SB ，所以三角形SBC与SBc等高 有心力作用下掠面速度相等。
b
弹力的功
F kx a b
Wab
xb xa
k O a
F F
'
'
a c b
xa
1 2 2 kxdx k ( xa xb ) 2
xc xb
b
' F F F ' '
k
O a
Wacb kxdx kxdx
xc
b
c
1 2 2 1 2 2 1 2 k ( xa xc ) k ( xc xb ) k ( xa xb2 ) <0 2 2 2
2
R O
2 2
mv / mgR / .
2 2
v gR /
2 2
T mv / 2 mgR / 2 .
2
E T V mgR / 2 .
IPhO14-1 一质点沿正半轴OX运动，作用在质点 上有一个力F(x)=-10N。 在原点有一完全反射 的墙。同时，摩擦力f=1.0N也作用在质点上。 质点以E0=10J的动能从x0＝1.0m出发。 （1）确定质点在最终静止前所经过的路程长度， （2）画出质点在力场F中的势能图， （3）描绘出作为x函数的速度的定性图。
A
Gravitational potential energy 1 1 Wa b GMm( ) Va Vb ra rb Elastic potential energy
Wab
1 2 2 k ( xa xb ) Va Vb 2
V mgh ? 2 1 V 2 kx c ??
动量:
冲量 I:
p mv
t2 I Fdt
t1
由牛顿第二定律：
动量定理的微分形式 动量定理的积分形式
F F
dv d ma m (mv ), dt dt d . p p dt
t2 I Fdt p2 p1 mv2 mv1
作用力——有心力， 定点——力心
在有心力作用下，质点在通过力心的平面内运动。
有心力问题的基本方程
两个基本方程
m 2 F m 1 d 2 ) 0 m ( dt
mh m 2
以力心为极点的极坐标系
径向 横向
有心力为保守力
1 2 ( )2 ) V ( ) E m( 2
If Wtot Wcon then T2 T1 (V2 V1 ).
T2 V2 T1 V1.
功能原理
作用于质点的力F
Fc所作的功Wc可用势 能的减少来表示.
Fd所作的功Wn不（可） T2 T1 W Wc Wn 用势能的减少来表示.
(V2 V1 ) Wn .
(1)
合力所做的功等于分力 所做功的代数和。
(1)
( 2) ( 2) F1 dr F2 dr Fn dr
(1)
w1 w2 wn
功的性质
(1) 功是过程量，一般与路径有关。
(2)功是标量，但有正负。 (3) 合力的功为各分力的功的代数和。
(4) 与势能相联系的是保守力对质点系所作的总功，与 参考系无关。
(2)势能
V Fx x
保守力
V V Fx lim . x 0 x x ( y , z不变 )
V V V Fx , Fy , Fz . x y z
F V gradV .
y
x
力对线的力矩 极坐标系 B F 直角坐标系
z
F F S
B
y C x
Fy
F Fx
C
S

A
y
A
z
x
y x
M F
AB

M xF yF
力对于参考点的力矩 M F r
力对轴上任意一点力 矩在该轴上的投影等 于力对该轴的力矩。
o
A
S
M=Frsin
M r F
(2)设两个壁面之间距离为x时小球的速度为u,与上
一问类似，碰撞频率为f=u/2x，每一次碰撞墙壁 受到的冲量为2mu，所以
F 2m uf m u2 x
求两壁之间距离为x时的速度u。小球与壁面相继两 2x t 次碰撞的时间间隔为 u 每一次碰撞速度的增量为 2ｖ 小球速度的速度增加率 du u uv
dt t x
xdu uvdt udx
(dx vdt)
积分得
ux C
u v0l / x
mv l F x
2 2 0 3
F 2m uf
m u2 x
利用以上结论还容易证明，把表面从距离l推近到距离x 时所 做的功等于球的动能的增加
角动量与
角动量守恒
匀速直线运动的
掠面速度:
w w1 w2 wn
引力的功
与路径无关
两个质点之间在万有引力作用下相对运动时 ，以M所在处 为原点, M指向m的方向为矢径r的正方向。m受的引力方向与 矢径方向相反。m在M的万有引力的作用下从a 点运动到b点， 万有引力的功:
b GMm W F dr 2 er dr a a r er dr dr cos dr b GMm 1 1 W 2 dr GMm( ) a r ra rb
v0 v x m
l
（1）因为是完全弹性碰撞，小球反弹的速度还
是vo，所以小球每一次与壁面碰撞动量的变化 是2mvo, 即单次碰撞墙壁受到的冲量为2mvo， 单位时间内的碰撞次数（碰撞频率）为f=vo/2l, 单位时间墙壁受到的总冲量即是墙壁受到的平 均作用力，所以 2
•
m v0 F 2m v0 f l
动量矩(角动量）守恒
当
N M外 Mi 0
L 0, 或
i 1
L2 L1 0
若作用于质点的力 对参考点o的力矩 之和保持为零，则 质点对该点的动量 矩不变。
开普勒第二定律
对任一个行星说，它的径矢在相等的时 内扫过相等的面积。
有心力
运动的质点所受力的作用线始终通过某个定点。
(T2 V2 ) (T1 V1 ) Wn .
系统机械能的增量等于外力的功和非保守力内力的 功的总和。
例（P221）：质量为m的人造卫星在环绕地球的圆 轨道上,轨道半径为,求卫星的势能\动能和机械 能.(不计空气阻力) （1）势能 （2）动能
2
V mgR / .
2
T mv / 2
力对参考点o的力矩M：受力质点相对 于o点的位置矢量r与力F矢量的矢积。
动量矩(角动量）定理—平面运动
极坐标： Fr mar m 2 r mr
1d 2 m2r m ) F ma mr (r r dt d 2 d ) (mr 2 ) rF m (r dt dt
GMm V r关 于 势能：(1) 势能总是与保守力相联系。存在若干种保守力时， 就可引进若干种势能。 (2) 势能的绝对数值与零势能位形的选取有关，但势能 的差与之无关。不同保守力对应的势能，其零势能 位形的选取可以不同。 (3) 势能既然与各质点间相互作用的保守力相联系，因 而为体系所共有。
Kinetic energy (动能) T=1/2mv2
T2 T1 W .
动能定理: 运动质点的动能的增加等于其它物体 对它所做的功. ( 2) ( 2) F dr Fx dx Fy dy Fz dz
(1) (1)
dx m dy m dz m x y z
t1
例 如图所示，一质量为m的小球在两个壁面以速度vo来 回弹跳，碰撞是完全弹性的，忽略重力贡献。（1）求 每个壁所受的平均作用力F，（2）如果一个壁表面以 v<<vo的速率慢慢地移向另一个表面，则回跳频率由于 碰撞间距离的减少以及球从运动的表面碰回时，小球 的速率增大而增加，求出用表面的距离x来表示的力F。 （3）证明：把表面从距离l推近到距离x 时所做的功等 于球的动能的增加。
V V V F Fx i Fy j Fz k ( i j k) x y z gradU U 梯度： (i j k )V x y z (i j k )U V gradV x y z
掠面速度
dA 1 rv sin dt 2 1 2 r 2
有心力作用下角动量守恒
dA 1 1 2 m m m rv sin r 守恒量 L dt 2 2