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一、风险与不确定性
伯努利选择的期望效用函数为对数函数，即用alog(x) 表示效用函数，x表示财富。则对投币游戏的期望值的计算 应为对其对数函数期望值的计算：
E[u(x)] 1 a log 2x1 a1.39 a log 2x 2x
其中， 0 为一个确定值。
（元） （元）
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一、风险与不确定性
问题：是否期望收益最大准则就是一个最优的决策法 则呢？
典型例子：“圣彼德堡悖论”（Saint Petersburg Paradox）问题：
有这样一场赌博：掷硬币直到正面朝上为止。第一次 就得到正面朝上的结果，则赢得 1 元，第二次得到正面 朝上的结果，赢得 2 元；第三次时，得4 元，......。 一般情形为如果掷n次，则第 n 次赢得 2 的 n-1 次方元
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一、风险与不确定性
通过观察函数f可以区分确定条件下和不确定条件下的 决策。
若f关于现实状态是不变的，即现实状态不会影响产生的 结果，则可以认为是确定条件下的决策。
若不同的状态导致不同的结果，则可以认为是不确定条 件下的决策。
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一、风险与不确定性
3、在投机与赌博中的风险 投机：在获取相应报酬时承担一定的风险。 赌博：为一个不确定的结果打赌或下注。
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一、风险与不确定性
（二）不确定性下建立偏好模型的方法 1、状态偏好方法
定义：自然（或现实）状态指特定的、会影响个体行 为的所有外部环境因素。
通常用S表示自然状态的集合： S={1，…，s}。
自然状态的特征：自然状态集合是完全的、相互 排斥的（即有且只有一种状态发生）
大量的自然（现实）状态的存在使得目前所采取的 任何行为的将来结果是不确定的。
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一、风险与不确定性
状态偏好方法：用彼此排斥和详尽无遗的自然状态组成的 集合，来反映个人所面临的随机性。
x(s) C,s S, x X
在这种情况下，我们可以用定义在C上的一个函数P（.） 来表示行为x，其中，P（c）是使选择x的结果等于c的概率
即对于所有的c∈C，P（c）≥0且 p(c) 1 cC Return
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一、风险与不确定性
（三）不确定性下的理性决策原则 1、确定性下的决策原则——收益最大准则
公理5、偏好关系具有单调性（monotonicity） ：
x, y C ，如果有 x y ，则有 xy 。 多总比少好
强单调性 ：
x, y C ， ifx y且x y，则x y
例如： 1
01
0

Time
01
Time
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不同个体可能会对自然状态持有不同的信念，但通常 假定所有的个体的信念相同，这样特定状态出现的概率就 是唯一的。
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一、风险与不确定性
不确定性条件下的行为选择可以理解为行为主体在不 同的概率分布中进行选择。这意味着，行为主体表现自己 偏好关系的可行行为集合X必须具备如下性质：
工作是在私营公司里搞推销，薪金较高，但是收入是不确定的 。如果干得好，每月可挣得2000元；干得一般，每月就只能挣 得1000元。假定他挣得2000元和挣得1000元的概率各为1/2。 第二种工作是在国营商店当售货员，每月工资1510元。但在国 营商店营业状况极差的情况下，每月就只能得到510元的基本 工资收入。不过，一般情况下国营商店营业状况不会极差，出 现营业状况极差情况的可能性只有1％，因此第二种工作获得 月收入1510元的可能性为99％。
注意：这里得到的效用函数并不唯一，一个效 用函数通过正单调的变换得到的另一个效用函数与原 来的效用函数具有相同的偏好关系。即
u(x) f [u(x)]且f ()是单调递增函数，则有： u(x) u( y) u(x) u( y)
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二、确定条件下的效用函数
x～y
xy 和 yx
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二、确定条件下的效用函数
偏好应满足的基本公理（Axiom)条件： 公理1、偏好具有完备性（completeness）：
x, y C 有 xy 与 yx 至少一个成立。
有序
公理2、偏好有自反性（reflexivity）：
x C ，有 xx 。
（1）xy 被称为消费者在商品x、y中，“弱偏好于
”x，即消费者认为x至少与y一样好。
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二、确定条件下的效用函数
（2）x y 被称为消费者“严格偏好于”x，也就是说在任
何情况下，消费者认为x比y好，即：
x y
xy ，但 yx 不成立
（3）x ～ y 被称为消费者“无差异于”商品x、y，也就是 说消费者认为两样东西同样好，即：
风险：那些涉及以已知概率或可能性形式出现的随机问 题，但排除了未数理化的不确定性问题。
不确定性：那些每个结果的发生概率尚未不知的事件。 即那些决策的结果明显依赖于不能由决策者控制的事件 ，并且仅在作出决策后，决策者才知道其决策结果的一 类问题。
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一、风险与不确定性
确定序
公理3、偏好具有传递性(transitivity)：
x, y, z C ，如果 xy ，yz ，则 xz 。
非循环序
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二、确定条件下的效用函数
注：若一个二元关系同时满足公理1-3，则称此二元关系 为等价关系（equivalence relation)。这样可以将有等价关 系的东西放在一起，得到无差异曲线，从而简化问题。
可用分散、转移、补偿或保险等机 制来消除
区别： 风险:可用概率计算的随机事件这种不确定性 不确定性:不可用概率计算的随机事件
真正的不确定性
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一、风险与不确定性
联系：预测和计算风险并不是一个独立的客观过程 可计算的风险后面隐藏着不确定性 金融领域的测不准原理
一、风险与不确定性
2、用概率来描述偏好的方法 自然状态的信念（belief）：
个体会对每一种状态的出现赋予一个主观的判断，即 某一特定状态s出现的概率P（s）满足：
0≤P（s）≤1， p(s) 1 sS
概率P(s)是一个主观概率(subjective probability)， 成为个体对自然的信念。
收益最大准则广泛应用于完全没有风险的情况下。按照 这一法则，只需选取收益率最高的投资机会即可。通过正确的 选择，可以实现投资期末的财富最大化。
——经济学中的生产者理论和价值理论广泛使用这一准 则。
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一、风险与不确定性
问题：不确定条件下效用最大化还适用吗？ 例1 设某人面临两种工作，需要从中选择出一种。第一种
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一、风险与不确定性
2、不确定性下理性决策的三种原则
（1）数学期望最大化准则 数学期望最大化准则是指使用投资收益的预期值比较各
种投资方案优劣。
例1的解： 计算这两种工作的预期月收入：
ER1 0.5 2000 0.5 1000 1500
ER2 0.99 1510 0.01 510 1500
2 2
x {E[u(x)]}2 2.914
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一、风险与不确定性
（3）后期望效用理论： 由阿莱斯悖论等各种试验引发的新的期望效用理
论，如前景理论、遗憾理论、加权的期望效用理论、 非线性的期望效用理论等等行为金融学和非线性经济 学对期望效用的新的解释。
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
一、风险与不确定性
2、风险的来源
风险与不确定性联系在一起。 一项经济活动的风险可以由其收益的不可预测性的波动性
来定义，而不管收益波动采取什么样的形式。 风险与其可能带来的不利后果相联系。
一项经济活动的风险可以由收益波动的损失来定义。
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二、确定条件下的效用函数
（一）偏好及其基本假定 定义1 偏好（preference): A preference is a
complete ranking of pairs of consumption (cash flow) streams. 定义2 二元关系(binary relations) ：一个集合上 的二元关系是确定这个集合中两元素之间的一种联系。 定义3: 偏好关系(preference relationship) ：具有完 备性、自反性、传递性的一个二元关系
对该式的求解表明，人们确定的等价财富的确在2-3元之 间。
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一、风险与不确定性
Crammer（1728）采用幂函数的形式的效用函数对这
一问题进行了分析。假定：u(x) x
则

E[u(x)]

p(x)u(x)
1
2 x1
1
x1
x1 2 x
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二、确定条件下的效用函数
令C 为商品（或者消费）集合，C 中有M 种可供选 择的商品。它是M 维实数空间RM中的一个非负子集，它 总是被假定为闭集和凸集。x、y、z…是它的子集，或者 称之为商品束（commodity bundle）或者消费束（ consume boundle）。则可以在消费束的集合上建立下 面的偏好关系（preference relation）或者偏好顺序（ preference ordering） ：