自相关函数值的计算过程
将不同时差τ的计算值标在图上，然后在两点间连线， 就可以得到信号的相关函数曲线，如下图所示：
相关函数曲线的绘制
相关函数描述了两个信号或一个信号自身不同时刻 的相似程度，通过相关分析我们可以发现信号中许多有 规律的东西。
2.4.3 相关函数的性质
根据定义，相关函数有如下性质： (1).自相关函数是偶函数，即
频域有限信号
2.2.4.连续时间信号与离散时间信号 连续时间信号：在所讨论的时间间隔内，对于任意时间值(除若干个 第一类间断点外)都可给出确定的函数值，此类信号称为连续时间信号或 模拟信号。连续信号的幅值可以是连续的也可以是不连续的。
离散时间信号：离散时间信号在时间上是离散的．只是在某些不连 续的规定瞬时给出函数值，而在其他时间没有定义的信号。
2.4.4 相关分析的工程应用
相关函数描述了信号波形的相关性（或相似程度），揭示了信号波形的 结构特性．相关分析作为信号的时域分析方法之一，为工程应用提供了重要 信息，特别是对于在噪声背景下提取有用信息，更显示了它的实际应用价 值．下面列举一些工程应用实例． 1．机械加工表面粗糙度的自相关分析 下图表示用电感式轮廓仪测量工件表面粗糙度的示意图．金刚石触外将 工件表面的凸凹不平度，通过电感式传感器转换为时域（或空域）信号（图 中（a）），再经过相关分析得到自相关图形（图中（b））．可以看出，这 是一种随机信号中混杂着周期信号的波形，随机信号在原点处有较大相关 性，随τ值增大而减小，此后呈现出周期性，这显示出造成表面粗糙度的原 因中包含了某种周期因素．例如沿工件轴向，可能是走刀运动的周期性；沿 工件切向，则可能是由于主轴回转振动的周期性等．
2.4 信号的相关分析
2.4.1 相关的概念 相关是指客观事物变化量之间的相依关系，在统计学中是用相关系数来描 述两个变量x，y之间的相关性的，即：
式中 是两个随机变量波动量之积的数学期望，称之为协方差或相关性，表 征了x、y之间的关联程度； 、 分别为随机变量x、y的均方差，是随机变 量波动量平方的数学期望。 是一个无量纲的系数， 。 当| |＝１时，说明x、y两变 量是理想的线形相关； ＝０时，表示x、y两变量完全无关；0<| |<1时， 表示两变量之间有部分相关。下图分别表示了x、y两变量间的各种关系情况。
温度传感器
2.4.2 相关函数
如果所研究的随机变量x, y是与时间有关的函数，即x(t)与 y(t)，这时可以引入一个与时间 τ有关的量 ，称为相关系 数，并有：
式中假定x(t)、y(t)是不含直流分量(信号均值为零)的能量信号 。分母部分是一个常量，分子部分是时移τ的函数，反映了二 个信号在时移中的相关性，称为相关函数。因此相关函数定义 为： 或
4. 均方值 信号x(t)的均方值E[x2(t)]，或称为平均功率，其表达式为： 值表达了信号的强度，其正平方根值，又称为有效值，也是信号的平均能量 的一种表达。在工程信号测量中一般仪器的表头示值显示的就是信号的均方值。
5. 方差 信号x(t)的方差定义为： 称为均方差或标准差。 可以证明， 描述了信号的波动量； 描述了信号的静态量。 方差反映了信号绕均值的波动程度。
三种不同特征的信号
2.周期T 对周期信号来说，可以用时域分析来确定信号的周期，也就是计算相邻的 两个信号波峰的时间差。
信号周期测量
3.均值 均值E[x(t)]表示集合平均值或数学期望值．基于随机过程的各忘历经性，可 用时间间隔T内的幅值平均值表示，即 均值表达了信号变化的中心趋势，或称之为直流分量。
2.2.1 确定性信号与非确定性信号
a)确定性信号 可以用明确的数学关系式描述的信号称为确定性信号。它可以进一步分为周期 信号、非周期信号与准周期信号等，如下图所示。
信号的分类描述
周期信号是经过一定时间可以重复出现的信号，满足条件： x(t) = x ( t + nT )
式中，T——周期，T=2π/ω0；ω0——基频；n=0,±1, …。 例如，下面是一个50Hz正弦波信号10sin(2*3.14*50*t)的波形，信号周期为： 1/50=0.02秒:
信号的幅域、时域和频域
有量纲幅域诊断函数
量纲为一的幅域诊断函数
幅域参数对故障的敏感性和稳定 性比较
2.3 信号的时域分析
信号时域分析又称之为波形分析或时域统计分析，它是通过 信号的时域波形计算信号的均值、均方值、方差等统计参数。 信号的时域分析很简单，用示波器、万用表等普通仪器就可以 进行分析。 1.信号类型确定 信号时域分析(波形分析)的一个重要功能是根据信号的分类 和各类信号的特点 确定信号的类型。然后再根据信号类型选用 合适的信号分析方法。
b)功率信号 有许多信号，如周期信号、随机信号等，它们在区间（-∞，∞）内能量不是 有限值．在这种情况下，研究信号的平均功率更为合适． 在区间（t1，t2）内，信号的平均功率 若区间变为无穷大时，上式仍然大于零，那么信号具有有限的平均功率，称 之为功率信号．具体讲，功率信号满足条件： 对比上式，显而易见，一个能量信号具有零平均功率，而一个功率信号具有 无限大能量
2．地下输油管道漏损位置的探测 下图表示利用互相关分析方法，确定深埋在地下的输油管漏报位置的 示意图．在输油管表面沿轴向放置传感器（例如拾音器、加速度计或 AE 传感器等） 1和 2，油管漏损处 K可视为向两侧传播声波的声源，因放置 两传感器的位置距离漏损处不等，则油管漏油处的声波传至两传感器就有 时差，将两拾音器测得的音响信号X l（t）和X2（t）进行互相关分析，找 出互相关值最大处的延时cc，即可由τm确定油管漏报位置． S=vτm/2 式中，S——两传感器的中心至漏报处的距离； V——声波通过管道的传 播速度．
值得注意的是，互相关函数既不是偶函数，也不是奇函数，但 满足下式：
(2).当τ=0时，自相关函数具有最大值，此时对于能量信号 对于功率信号
(3).周期信号的自相关函数仍然时同频率的周期信号，但 不具有原信号的相位信息。如：正弦信号Asin(ωt+φ)的自相 关函数为：Rx( τ)=(A2cosωτ )/2 (4).两周期信号的互相关函数的仍然是同频率的周期信 号，但保留了原信号的相位信息。如正弦信号Asin( ωt) 与 Bsin(ωt -φ)的互相关函数 Rxy( τ) = ABcos(ωτ - φ ) (5).两个非同频率的周期信号互不相关。 (6).随机信号的自相关函数将随|τ|值增大而很快趋于零。
离散时间信号
2.2.5 物理可实现信号 物理可实现信号又称为单边信号，满足条件：t＜0时，x(t) = 0，即在时刻小于 零的一侧全为零，信号完全由时刻大于零的一侧确定。 在实际中出现的信号，大量的是物理可实现信号，因为这种信号反映了物理上 的因果律．实际中所能测得的信号，许多都是由一个激发脉冲作用于一个物理系统 之后所输出的信号．例如，切削过程，可以把机床、刀具、工件构成的工艺系统作 为一个物理系统，把工件上的硬质点或切削刀具上积屑瘤的突变等，作为振源脉 冲，仅仅在该脉冲作用于系统之后，振动传感器才有描述刀具振动的输出。
运算处理 中心设备 Operation Processing 频谱分析仪
显示、记录 Display, Plotting
后端设备
信号处理系统
A/D
• 模拟（Analog）
D/A
数字（Digital）
从模拟信号到数字信号
2.2 信号的分类与描述
为了深入了解信号的物理实质，将其进行 分类研究是非常必要的。以不同的角度来看 待信号，我们可以将信号分为 1. 确定性信号与非确定性信号 2. 能量信号与功率信号 3. 时限信号与频限信号 4. 连续时间信号与离散时间信号 5. 物理可实现信号
2.2.3.时限与频限信号
时域有限信号是在有限区间（t1，t2 ）内定义，而其外恒等于 零．例如，矩形脉冲、三角脉冲、余弦脉冲等。而周期信号、指数 衰减信号、随机过程等，则称为时城无限信号．
时域有限信号
频域有限信号是指信号经过傅里叶变换，在频域内占据一定带宽 （f1 ，f2），其外恒等于零．例如，正弦信号、sinc（t）函数、限带 白噪声等，为时城无限频域有限信号。白噪声、理想采样信号等，则 为频域无限信号． 时间有限信号的频谱，在频率轴上可以延伸至无限远。由时、频域对 称性可推论，一个具有有限带宽的信号，必然在时间轴上延伸至无限 远处。显然，一个信号不能够在时域和频域都是有限的
变量x、y间的不同相关情况
例如，玻璃管温度计液面高度(Y)与环境温度(x)的关系就是 近似理想的线形相关，在两个变量相关的情况下，我们可 以用其中一个可以测量的量的变化来表示另一个量的变 化。在后续章节中将要介绍的传感器部分中就应用了变量 中的这种相关性。 自然界中的事物变化规律的表现，总有互相关联的现 象，不一定是线形相关，也不一定是完全无关，如：人的 身高与体重，吸烟与寿命的关系。
加工过程中螺纹车床主轴受环境影响的振动信号波形
2.2.2 能量信号与功率信号
a)能量信号 在所分析的区间（-∞，∞），能量为有限值的信号称为能量信号，满足条 件： 关于信号的能量，可作如下解释：对于电信号，通常是电压或电流，电压在 已知区间（t1；，t2 ） 内消耗在电阻上的能量 对于电流，能量 在上面每一种情况下，能量都是正比于信号平方的积分．讨论消耗在IQ电阻 上的能量往往是很方便的，因为当R—IQ时，上述两式具有相同形式，采用这种 规定时，就称方程
50Hz正弦波信号波形
机械系统中，回转体不平衡引起的振动，往往也是一种周期性运动。例如，下图是某钢厂 减速机上测得的振动信号波形(测点3)，可以近似的看作为周期信号:
某钢厂减速机振动测点布置图
测点３振动信号波形
非周期信号是不会重复出现的信号。例如，锤子的敲击力；承载缆绳断裂时应力变 化；热电偶插入加热炉中温度的变化过程等，这些信号都属于瞬变非周期信号，并且 可用数学关系式描述。例如，下图是单自由度振动模型在脉冲力作用下的响应。