巧用Excel 解决梯形断面明渠均匀流的水力计算
【摘要】目前，计算明渠均匀流水力计算一般通过反复试算或图解解决，不便实际应用，本文巧用Excel 软件的“规划求解”功能，提出新颖又方便的统一解决方案。
【关键词】梯形断面 明渠均匀流 规划求解 水力计算
1 问题的提出
在对灌、涝区工程进行规划设计中，常常要对人工渠道以及天然河道的某些流段进行水力计算，在实际应用中，一般大致近似地将它们视为均匀流，采用公式为： Q=CA Ri (1)
式中 Q −−设计流量，m 3/s
C −−谢才系数，m 1/2/s
A −−过水断面面积，m 2
R −−水力半径，m
i −−底坡
式（１）中包含流量Ｑ，底坡i ，糙率n ，断面要素Ａ和Ｒ。
对于梯形渠道，Ａ、Ｒ是水深h ，渠底宽度b ，边坡系数m 的变量。
A=(b+mh)h
(2) χ=b+2h 21m +
(3) R=A/χ=(b+mh)h ／(b+2h 21m +)
(4) 将式（2）、（4）代入式（1），整理得梯形断面渠道均匀流水力计算公式： Q= f (m ， b ， h ， i ， n) Q=3223
521]12[])[(m h b n h mh b i +++ (5)
这里共有6个变量，水力计算也就是给定这6个变量中的其中5个，解算另一个。
利用式（5）计算主要存在以下问题：
1）计算过程繁复。
例如求解h或b，式（5）为h、b的高次隐函数，无法直接求解，只能反复试算逐次逼近求解，费时费力。
2）如果采用图解法，需借助在关资料上已制好的图求解，计算过程受资料束缚，极不方便。
3）公式（5）不能同时求解2个以上变量。
鉴于以上问题，本文借助计算机中普遍存在的Excel软件的“规划求解”功能，介绍一种统一的解决方法。
2 “规划求解”功能介绍及建立模型
Excel中的“规划求解”，是对数学模型g = f (x1，x2，…x n) (其中f为目标函数，x1，x2，…x n为变量)，通过一定的算法，在一定的约束条件下，寻求（或调整）一个或几个变量的数值，使目标函数得到期望的结果。
其中目标函数所在的单元格称为目标单元格，待求变量所在的单元格称为可变单元格。
在此，我们将以流量Q为目标值，如附图所示建立“规划求解”模型。
在目标单元格F2预先输入目标函数公式（即求目标值Q的公式：“=D2^(1/2)*((B2+A2*C2)*C2)^(5/3)/(E2*(B2+2*C2*(1+A2^2)^(1/2))^(2/3) )”，另外，为求过流面积A，也可在G2单元格中输入过流面积A的公式：“=(B2+A2*C2)*C2”。
附图在Excel工作表中建立“规划求解”模型
3 简单算例
例1 一引水渠为梯形断面，浆砌块石护砌，边坡系数m=1.0，根据地形选用底坡i=1/800，底宽b=6.0m，设计流量Q=70m3/s。
在超高0.5m的情况下，试确定堤顶高度。
根据例中已知参数，先求出正常水深h，加上0.5m超高即得堤顶高度。
（1）启动Excel软件，建立如附图所示的“规划求解”模型，相应单元格中输入已知参数m，i，b，n的值（浆砌块石护砌n=0.025）。
（2）单击[工具]菜单下的[规划求解]，在出现的对话框中，设置目标单元格为F2，目标函数值为70（即流量Q的值）；设置可变单元格为C2，单击[求解]即可得结果h=3.33m（即C2单元格的值）。
（3）h加上超高0.5m即得堤顶高度3.83m。
例2 一梯形断面浆砌石渠道，底坡i=1/1000，边坡m为1:0.25，假若给定过水面积A=6.7m2，应如何设计断面，使过水能力达到最大？若堤顶超高0.4m，渠底至堤顶高度H又为多少？
此题即为当过水面积A一定时，如何求解底宽b、水深h、流量Q，使Q达到最大的问题。
（1）在如附图所示的“规划求解”模型相应单元格中输入已知参数m，i，n的值（浆砌块石护砌n=0.025）。
（2）在b2单元格中输入底宽b的初值1（初值可任意）。
（3）单击[工具]菜单下的[规划求解]，设置目标单元格为F2，选中“最大值”选项；设置可变单元格为C2、D2。
设置约束条件为“G2=6.7”（即待求的b、h要满足过水面积A= 6.7m2）。
（4）单击[求解]即可得结果：b=3m，h=1.92m，Q max=8.26m3/s。
（5）渠底至堤顶高度H即为2.32m。
4 几点说明
（1）安装Word软件时若不是完全安装，则无“规划求解”功能。
（2）在[规划求解]对话框中，可控制收敛度、精度、允许误差、算法等，限于篇幅，本文未予叙述，具体运用中可自行控制。
（3）由于“规划求解”采用迭代等逼近算法求解待求变量，为使求解顺利进行，有时需要为待求变量赋初值，如例2中为b赋初值。
（4）采用本文方法也可计算土方调配、水资源优化分配、重力坝断面优化设计等基于线性规划、非线性规划理论的相关问题。
参考文献
李家星、陈立德，水力学，河海大学出版社，1996年2月。
张乃良、孙宗池，最优化方法，山东大学出版社，1995年4月。