Ii =
（5）ab两点间的电势差 ） 两点间的电势差
ε总
R
(方向如图）
（6）bc两点间的电势差 ） 两点间的电势差
1 Vab = Va −Vb = −Ii ⋅ R(b点点位高） 4
1 Vbc = εbc − Ii ⋅ R(b点电位高） 4
3.如图所示，一半径为r的非常小的圆环，在初始时 刻与一半径为r´（ r´>>r）的很大的圆环共面而且 同心，今在大环中通以恒定电流I´，而小环则以 匀角速度ω绕着一条直径转动。设小环的电阻为R。 试求（1）小环中产生的感生电流；（2）使小环 作匀角速度转动须作用在其上的力矩；（3）大环 中的感生电动势。
φ大小 = Bs cosθ =
大环对小环的互感为
µ0 I ′
2r′
πr 2 cosωt
M=
φ大小
I′
=
µ0πr 2
2r′
cosωt
小环上的电流I所产生的磁场对大环的互感磁通为 小环上的电流 所产生的磁场对大环的互感磁通为
φ小大 = MI
所以小环在大环上所产生的互感电动势为

dφ小大 d dI dM = − (MI ) = −M − I ε小大 = − dt dt dt dt
解：
（1） 由于 ） 由于d>>a ，通过两导线间的单位长度上的磁通量为
r r d −a µ0 I µ0 I µ0 I d − a µ0 I d φ = ∫ B ⋅ ds = ∫ + dr = π ln a ≈ π ln a a 2πr 2π (d − r)
单位长度上的自感系数为
= 5.55×10−5 J > 0
（3）单位长度上磁能的改变为 ）
1 2 1 2 µ0 I 2 d′ ∆w = L′I − LI = ln = 5.55×10−5 J > 0 2 2 2π d
磁场力作正功和磁能的增加，这两部分的能量都来自电源。 磁场力作正功和磁能的增加，这两部分的能量都来自电源。 导线在分开的过程中，自感系数增加，因此回路中出现负的自感电动势， 导线在分开的过程中，自感系数增加，因此回路中出现负的自感电动势，而 电源必须克服自感电动势作功， 电源必须克服自感电动势作功，这样就把电能转变为磁场能和移动导线时所消耗 的能量。 的能量。
补充例题
1.如图所示，载流长直导线与矩形回路ABCD共面，且导线平行于 AB。求下列情况下ABCD中的感应电动势： r （1）长直导线中电流恒定，ABCD以垂直于导线的恒定速度 v 从图示初始位置远离导线平移到任意位置时。
（2）长直导线中的电流为
I = I 0 sin ωt
，ABCD不动。
（3）长直导线中的电流为 I = I 0 sin ωt ，ABCD以垂直于导线 r 的速度 v 从图示初始位置远离导线平移到任意位置时。
解： (1)电流恒定，线框运动
r r x+b µ0 I µ0 Il x + b φ = ∫ B ⋅ ds = ∫ ⋅ ldr = ln x 2πr 2π x
a A b D l
B v
C
x A x+b
B v
D
µ0 Il x dφ b dx µ0 Il bv εi = − = − ⋅ ⋅ (− 2 ) ⋅ = ⋅ dt 2π x + b x dt 2π x(x + b)
=−
2 µ0π 2r 4ω2 I ′
4r′ R
2
cos 2ωt
4.两根足够长的平行中心距离d为20cm，在导线中 维持一强度为20A而方向相反的恒定电流。（1） 若导线半径为10mm，求两导线间每单位长度的 自感系数；（2）若将导线分开到距离d´=40cm， 磁场对导线单位长度所作的功；（3）位移时，单 位长度的磁能改变了多少？是增加还是减少？说 明能量的来源。（忽略导线内部磁通量）
l
C
其中x = a + vt
（2）
I = I0 sin ωt, 线框不动
µ0l ln
a +b a +b µ0 I0lω ln cosωt dI a ⋅ =− a 2π dt 2π
dφ εi = − = − dt
（3）
I = I0 sin ωt, 线框运动
x +b µ0 Il d x + b µ0l ln x dI dφ ⋅ ln − ⋅ εi = − = − dt 2π dt x 2π dt
解： 已知 (1)
dB = −0.1T / s dt
Ea = 0 l dB Eb = = 10−2 V/m 2 dt l 2 dB Ec = = 0.71×10−2 V/m 2 2l dt Ed = Eb
方向如图
εab = ∫ （2） a bc段的电动势由法拉第电磁感应定律求得： 段的电动势由法拉第电磁感应定律求得： 段的电动势由法拉第电磁感应定律求得 构建回路abca, 因为εab=0, εca=0
解： 小环上产生的电流
由于小环很小， 由于小环很小，可以认为其处在匀强 磁场中。 磁场中。 其上感应电动势为 dφ d µ I′ ε = − = − (Bs cosωt) = 0 πr 2ω sin ωt dt dt 2r′ 感应电流为
I=
ε
R
=
µ0πr 2ωI ′
2r′R
sin ωt
使小环作匀速转动的外力矩
小环受到的力矩为： 小环受到的力矩为：外力矩和电磁力矩
M外 + M磁 = 0
r r ω µ0πr 2ωI ′ Q M磁 = pm × B = IsB sin θ = ( sin ωt)2 4R r′ ω µ0πr 2ωI ′ ∴ M外 = ( sin ωt)2 4R r′
大环上的电流产生的磁场穿过小环的磁通为
b
r r r r Ei ⋅ dl = 0(QEi与dl 垂直）
ε bc = εi回路abc
方向c 同理求得
ε总
dφ dB dB 1 2 = = ⋅ S扇形abe = ⋅ πl dt dt dt 8
b
(3)
dB dB 1 2 = ⋅ S扇形abd = ⋅ πl dt dt 4
方向a d
c b
a
(4) 回路中的电流
L=
φ
I
=
µ0 d ln = 1.2×10−6 H π a
分开至d （2）将导线间的距离由 分开至 ´时，磁场对单位长度导线所作的功 ）将导线间的距离由d分开至
2 r r d′ d′ µ I µ0 I 2 d′ ln w = ∫ F ⋅ dr = ∫ IBldr = ∫ 0 dr = d d 2π 2π d
µ0 I0l bv sin ωt x + b = x(x + b) −ω cosωt ln x 2π
2.边长为l=20cm的正方形导体回路，置于半径为l的 圆柱形空间的均匀磁场中，B为0.5T，方向垂直于 导体回路，且以0.1T/s的变化率减小，图中a点为 圆心，ab、ad沿直径，求（1）a、b、c、d各点感 应电场的方向和大小（用矢量在图上标明方向）； (2)ab、bc段的电动势；（3）回路内的感应电动势 有多大？（4）如果回路的电阻为R=2Ω,回路中的 电流有多大？（5）a和b两点间的电势差为多少？ 哪一点的电势高一些？（6）b和c两点间的电势差 为多少？哪一点的电势高？