若 li 是 A 的特征值，试证 [1 li li 2 li n -1 ]T 是属于 li 的特征向量。 1—2 若 li 是 A 的一个特征值，试证 f (li ) 是矩阵函数 f (A) 的一个特征值。 1—3 试求下列矩阵的特征多项式和最小多项式
é l1 1 0 0 ù ê ú ê 0 l1 1 0 ú ê ú ê ú ê 0 0 l1 0 ú ê ú ê 0 0 0 l1 ú ë û é l1 1 0 0 ù ê ú ê 0 l1 0 0 ú ê ú ê ú ê 0 0 l1 0 ú ê ú ê 0 0 0 l1 ú ë û é l1 1 0 0 ù ê ú ê 0 l1 0 0 ú ê ú ê ú ê 0 0 l1 1 ú ê ú ê 0 0 0 l1 ú ë û
y =
t
ò0 g(t - t )u(t )d t
若脉冲响应 g 由图 1—12(a)给定。试问，由图 1—12(b)所示的输入而激励的输出为何？ g(t) 1 1 (a) 图 1—12 脉冲响应和输入作用 1—12 试求图 1—13 所示系统的动态方程式(略)
29
u(t) 1 2 t 1 2 (b) t
n >m
试证，给定初始状态 x(m ) = x0 下，时刻 n 的状态为 x(n )=F(n, m )x(0) 。若 A 与 n 无关，则
F(n, m ) 为何？
1—27 证明 x(n + 1) = A(n )x(n ) + B(n )u(n ) 的解为
n -1
x(n ) = F(n, m )x(m ) +
1 ù ú s+3ú 5s + 1 úú s + 2 úû
的实现，并画出其模拟图。 1—25 设{ A , B , C , D }和{ A , B , C , D }是两个线性时不变系统，其维数不一定相同。证明当 且仅当
CAk B = CAk B
(k = 0,1,2 )
D=D
时，两系统零状态等价。 1—26 设 x(n+1) = A(n)x(n)定义： F(n, m ) = A(n - 1)A(n - 2) A(m ) F(m, m ) = I
= A(t )x 的状态转移矩阵，试证： 1—18 设 Φ ( t, t0 ) 为 x
t
det F ( t, t0 ) = exp ò tr[A(t )]d t
t0
= A(t )x ，方程 z = -A* (t )z 称为它的伴随方程。其中 A* (t ) 表示 A(t ) 的转置共 1—19 给定 x = A(t )x 和 z = -A* (t )z 的状态转移矩阵。试证： 轭。设 F ( t, t0 ) 和 F1 ( t, t0 ) 分别是 x
且：
1 ai = - tr (Ri -1A) i i = 1,2, 3 , n
= (costsint )x 的等价时不变动态方程 1—22 试求 x
= e -At Be At x ，其中 A 、 B 为常值为方阵，求状态转移矩阵。 1—23 若 x
1—24 求真有理函数阵
é2 + s ê s +1 G(s ) = êê ê 5 êë s + 1
L =m
å F(n, l + 1)B(l )u(l )
1—28 设有 n 维、线性、时不变动态方程
= Ax + Bu x y = Cx + Du
若输入
u(t ) = u(n ) nT £ t £ (n + 1)T
n = 0,1,2
这里 T > 0 为采样周期。试证，系统在离散瞬时 0,T , 2T , 上的行为由下列离散时间方程给 出：
éA Bù ú = det D ⋅ det(A - BD-1C) det êê ú êë C D úû
若 A 可逆，上式有何变化？并证明
é é a1 ù ù ê ê ú ú n ê êa ú ú 2 det êê In + êê úú [b1 b2 bn ] úú = 1 + å aibi ê ê ú ú i =1 ê êa ú ú ëê ëê n úû ûú
31
æ T At ö x(n + 1) = e At x(n ) + ç e dt ÷ Bu(n ) ÷ ç ÷ ç è ò0 ø y(n ) = Cx(n ) + Du(n )
1—29 设有理函数矩阵为
é ê ê G(s ) = ê ê ês ëê 1 2s + 1 ù ú s s(s + 1) ú ú 1 2s + 1 ú + 1 s(s + 1)2 úûú
1—16
设
é1 ê ê0 ê A=ê ê0 ê ê0 ë 1 ù ú 1 0 0 úú 0 1 -1 úú ú 0 0 1 ú û 0 1
试利用 L[e At ] = (sI - A)-1 ，求 e At 1—17 若 T-1 (t ) 存在且对所有 t 可微，试证 d -1 éd ù [T (t )] = -T-1 (t ) ê T(t ) ú T-1 (t ) dt dt ë û
其中 a 为固定常数。试问，试系统是否为线性的？是否为时不变的？是否具有因果性？ 1—9 试证：若对于任何 u1, u2 ，有 H (u1 + u2 ) = Hu1 + Hu2 则对于任意有理数 a 和任何 u ，有 H a u= a Hu。 1—10 试证，对于固定的 a ，图 1—4 所定义的移位算子 Qa 是线性时不变系统。它的脉冲响 应和传递函数为何？ 1—11 考虑由下式描述的松弛系统
若输入 u 有形式 e ，其中 l1 不是 A 的特征值，试证存在初始状态，使输出 y 立即有 e l1t 的形 式而不包含有任何瞬变过程。又当 l1 是传递函数的零点时，试证可选适当初始状态，使系 统在输入 el1t 作用下，输出恒为零。
l1t
32
30
D(s ) = det(sI - A) = s n + a1s n -1 + a2s n -2 + + an
是 A 的特征多项式。试证
R1 = A + a1I = AR 0 + a1I R2 = A2 + a1A + a2 I = AR1 + a2 I

Rn -1 = An -1 + a1An -2 + + an -1I = ARn -2 + an -1I
1—7
线性松弛系统的脉冲响应为 g(t, t ) = e -|t -t | ( 对所有的 t, t ) 设问系统是否具有因果
性？它是时不变的吗？ 1—8 设一松弛系统，对于任何 u ，其输入和输出的关系为
ì ï u(t ) t £ a y(t ) = (Pau )(t ) = ï í ï 0 t>a ï î
1—4 给定
é1 1 0ù ê ú ê ú A = ê0 0 1ú ê ú ê0 0 1ú ë û
试求 A10 , A101, e At 。
28
1— 5 设
él 1 0 ù ê ú ê ú C = ê0 l 0ú ê ú ê0 0 lú ë û
试求能满足 e B = C 的矩阵 B 。并证明，对于任一非奇异矩阵 C ，均存在能满足 e B = C 的矩 阵B 。 1—6 若 D 可逆，证明
小
结
本章首先在松弛、线性、因果性、时不变性等概念和基础上，引出了线性系统的输入输出描述和状态变量描述，并在§1—4 中对这两种描述方法进行了比较。 在§1—3 中讨论了动态方程的解。解动态方程的关键所在是求出状态转移矩阵 F(t, t ) 。 对于时变的情况，计算 F(t, t ) 甚为困难。对于时不变的情况，因为 F(t, t ) = e A(t -t ) ，而对矩 阵指数，(1—48)式提供了一种计算途径。 §1—4 中对实现问题的讨论是初步的，实现问题的深入讨论只有在引入可控性和可观 测性等概念后才有可能。定理 1—9 的充分性的证明是构造性的，它通过(1—85)式给出了构 造真有理函数阵实现的一种方法。 本章作为学习后续各章的准备， 都是很基本的内容。 许多内容可以在有关的本科教材中 找到更加详细的说明。 为了使读者复习必要的数学预备知识， 在习题中选用一些数学练习题， 见习题 1—1 至习题 1—6。
习
1—1 设有矩阵
é 0 ê ê 0 A = êê ê ê -a ëê n 1 0
题
0 1

-an -1 -a n -2
ù ú ú ú 1 úú -a1 úú û 0 0
试证， A 的特征多项式为
D(l)=det(lI - A)=ln + a1ln -1 + a2ln -2 + + an -1l1 + an
1 ù éx é 0 1 ù é x1 ù úê ú a， êê úú = êê ú êx ú 0 t x 2 êë ûú ë 2 û ëê ûú
1 ù é -1 e 2t ù é x1 ù éx úê ú b， êê úú = êê ú x x 0 1 2 úû êë 2 úû ëê ûú ëê
1—13 试求图 1—14 所示的网络动态方程描述 y 电流 + __ __ V2 +
L1 R1
C2 R2
图 1—14 线性网络 1—14 试求图 1—15 所示网络的传递函数和动态方程描述。 你是否认为该传递函数是这个系 统的一种好的描述？(略)
1—15 试求下列齐次方程的基本矩阵和状态转移矩阵。
计算极点多项式和零点多项式。 1—30 若λ1 不是 A 的特征值，试证下列恒等式
(sI - A)-1(s - l1 )-1 = (l1I - A)-1 (s - l1 )-1 + (sI - A)-1 (A - l1I)-1