解 设 3 x1
x3 0 则 1 , 3 0, 2 , 3 0. x1 x3 1 x1 x2 x3 0 0 . x2 0 3 即 x 2 x x 0 1 2 3 1 x x 3 3 x2
2、正交矩阵判定条件 Ａ为方阵，且列向量组是标准正交组
1 0 0 0
0 0 1 0 0 1 0 0
1 2 1 2 1 2
1 2 0 1 2
1 6 2 , 6 1 6
1 9 8 9 4 9
1
２、证ｎ阶方阵Ａ的满足 A2 A，则Ａ的特征值为 ３、三阶方阵Ａ的三个特征值为１、２、０，则 2 E 3 A2 （ ） 2解：设x是A的一个特征向量，则A2x－Ax＝0 3解：思路令B＝2E＋3A2, 求出B的全部特征值即 可。 书上例题9自己看看。P122
四、特征向量的性质 定理 互异特征值对应的特征向量线性无关。 证明：见书P120
２、性质 （1）对称性： , , （2）线性性： , , ,
k , k , （3）正定性： , 0, 当
二、向量的长度与夹角 １、长度的概念
0 时 , 0.
, r 这组基标准正交化.
1 , 2 2 2 1 1 , 1
1 , r 2 , r r r 1 2 1 , 1 2 , 2
r 1 , r r 1 r 1 , r 1
另证：
特 征 向 量 的 性 质 的 证 明
证 设存在 x1 , x2 ,, xm 使
x1 p1 x2 p2 xm pm 0 p1 , p2 ,, pm 因为1 , 2 ,, m 是方阵A 的特征值， 依次是与之对应的特征向量，即有 Api i pi , (i 1,2,, m)
（4）柯西－施瓦兹（Cauchy－Schwarz）不等式:
,
2

2
, 即 , , ,
2 2
当且仅当α与β的线性相关时，等号成立. 由非零向量α得到单位向量 称为把α单位化或标准化.

0
1

的过程
３、夹角 设α与β为ｎ维空间的两个非零向量，α与β的夹 , , 因此α与β的夹角为 角的余弦为 cos

, arccos ,0 .
例 1 2 2 3 , 3 1 5 1 , 求 , . 解
, cos
18 1 3 26 2


4
.
三、正交向量组
1、正交 当 , 0 ，称α与β正交. 夹角900 2、正交组 若向量组中的向量两两正交，且均为非零向量，则 这个向量组称为正交向量组，简称正交组. 3、标准正交组 由单位向量组成的正交组称为标准正交组. 4、正交基 由正交向量组构成的空间V的基
一、内积的定义与性质
a1 b1 1、定义 a b 2 2 , , 称实数 设ｎ维实向量 a n bn a1b1 a2b2 anbn 为向量α与β的内积，记作 , .
注：内积是向量的一种运算，用矩阵形式表示，有 b1 b 2 T an . , a1 a2 bn
4、施密特（Schmidt）正交化法（P114，自学） 设 1 , 2 ,
, r 是向量空间Ｖ的一个基，要求向量空
间Ｖ的一个标准正交基，就是要找到一组两两正交的单 位向量 1 , 2 , , r ，使 1 , 2 , , r 与 1 , 2 , , r 等价， 此问题称为把 1 , 2 , 1）正交化 令 1 1
上述方法称为施密特（Schmidt）正交化法.
可以证明： 1 , 2 ,
, k 与 1 , 2 ,
, k 都是等价的.
一、特征值与特征向量的概念 为ｎ维非零向量， 定义 Ａ为ｎ阶方阵，λ为数， A 若 （１） 称为Ａ的特征向量． 则λ称为Ａ的特征值，
注 ① ② 特征值问题只针对与方阵，且特征向量不能为零 , 并不一定唯一；

, n
n A ; (2) 1 2 n ຫໍສະໝຸດ 11 a22 ann ;
证明① 当 1 , 2 ,
, n 是Ａ的特征值时，Ａ的特征多项
式可分解为 f E A 1 2 令 0, 得 A 1 12
n
n
n
即 12
n A .
（2）略
定义 方阵Ａ的主对角线上的元素之和称为方阵Ａ的迹. 记为 tr A aii i .
二、特征值的性质
推论１ ｎ阶方阵Ａ可逆Ａ的ｎ个特征值全不为零.
若数λ为可逆阵的Ａ的特征值，
1 推论２ 则 为 A1 的特征值． 推论３ 则 k 为 kA 的特征值． m 推论 4 则 为 A m 的特征值． 性质5 设ｎ阶方阵 A aij 的特征值为 1 , 2 ,
练习： 1。证明，若A相似B，则det（A）＝det（B）
2。若A相似B，则A3＋5A2＋A相似于B3＋5B2 ＋B
3。结论：若A相似B，则A的多项式相似于B的 同一多项式 4。若ｎ阶矩阵Ａ与Ｂ相似，则Ａ与Ｂ有相同的特征 多项式，从而Ａ与Ｂ有相同的特征值．
T
四、正交矩阵和正交变换 1、定义 如果ｎ阶方阵满足： AT A E 即A1 AT ,


则称Ａ为正交矩阵.
若Ａ按列分块表示为Ａ＝ (1 , 2 , , n ), 则 AT A E T 1 1 T 1 可表示为 2 , E 2 n 1 T 1 n T ( 亦即 i j )nn ( ij )nn 结论：正交阵判定条件是列向量是标准正交组， 即两两正交的单位向量。
5、标准正交基 由标准正交向量组构成的空间V的基
4、性质 定理 正交向量组必为线性无关组. 证明见P112 例题： 证明：r个n维向量构成的向量组，若r>n则该向量组 一定不是正交组 思路：r个n维向量组当r>n时，必然线性相关
1 1 1 , 2 例2 已知三维向量空间中， 1 2 正交， 1 1 试求 3 , 1 , 2 , 3 是三维向量空间的一个正交基.
即
一、定义 定义 设Ａ、Ｂ都是ｎ阶矩阵，若有可逆矩阵Ｐ， 使得 P 1 AP B, 则称Ｂ是Ａ的相似矩阵，或者说矩阵 Ａ与Ｂ相似． 记作： Ａ∽Ｂ． 对Ａ进行运算P 1 AP , 称为对Ａ进行相似变换，
可逆矩阵Ｐ称为把Ａ变成Ｂ的相似变换矩阵．
请回忆距阵等价的概念，符号描述 P59
思考等价和相似的区别
特 征 向 量 的 性 质 的 证 明
类推下去

m1 1 m1 (m) 1 x1 p1 m x p 2 2 2 m xm pm 0 把以上 m 个等式合写成矩阵等式，得 m 1 1 1 1 m 1 1 2 2 ( x1 p1 , x2 p2 ,, xm pm ) 0, 0, ,0) ( 1 m 1 m m
3、正交变换 若Ｐ为正交矩阵，则ｙ=Ｐｘ线性变换称为正交变换. 设ｙ=Ｐｘ为正交变换，则有 y y , y yT y x T P T Px
xT x
x, x
x .
注 经正交变换后向量的长度保持不变,内积保持不变, 从而夹角保持不变. 请证明旋转变换是正交变换P32 问：投影变换是正交变换吗？
则 1 , 2 , 2）标准化 令 1
, r 两两正交，且与 1 , 2 ,
, r 等价.
1
1
1
1 , 2
1
2
2 ,
, r
r
r ,
就得到Ｖ的一个标准正交向量组. 如果 1 , 2 ,
, r 是Ｖ的一组基，则 1 , 2 ,
, r 就是
Ｖ的一组标准正交基.
有
上式左端的第二个矩阵的行列式是范德蒙德行 列式，当 1 , 2 ,, m 互不相等时， 该行列式 不等于0，从而该矩阵可逆. 于是有
特 征 向 量 的 性 质 的 证 明
( x1 p1 , x2 p2 ,, xm pm ) (0,0,,0)
xi pi 0, (i 1,2,, m) 又 pi 0, 因此必有 xi 0 (i 1,2,, m). 所以 p1 , p2 ,, pm向量组线性无关. 证毕

, n
则 (1) 12
n A ; (2) 1 2 n a11 a22
ann ;
根据这两条性质，可以验证所求得的结果是否正确.
1 2 １、若λ＝２为可逆阵Ａ的特征值，则 A 3 的一个特征值为（ ）
０或１． （幂等阵Am＝A）
三、应用举例（定义+性质）
令
2 2 , a a 1 2
an 2 为ｎ维向量α
的长度（模或范数）. 特别 长度为１的向量称为单位向量.
２、性质 （1）正定性： （2）齐次性：
0; 且 0 0；
k k ;
（3）三角不等式： ;
所以
x1 p1 x2 p2 xm pm 0 (1) A( x1 p1 x2 p2 xm pm ) 0 即 1 x1 p1 2 x2 p2 m xm pm 0 (2) A(1 x1 p1 2 x2 p2 m xm pm ) 0 2 2 2 即 1 x1 p1 2 x2 p2 m xm pm 0 (3)