第4章 插值法2．证明：n 次拉格朗日插值多项式为：0()()()()nn n j n k k k k k j k j j kx x L x y l x y x x ===≠-==-∑∑∏————（1）现令()()nj j x x x ω==-∏，则00'()()nnjm j j mx x x ω==≠=-∑∏，————2（）将k x 代入'()()nnjm j j mx x x ω==≠=-∑∏，可得0'()()nk k j j j mx x x ω=≠=-∏————————（3）将（3）和（2）代入（1）中命题可证。

5．证明提示：利用线性插值余项可以推出命题。

6．证明：由题意可知，()f x 是n 次多项式并有n 个互异的实根，可令12()()()......()()n n n n f x a x x x x x x a x ω=---=再令()jg x x = 则jnk k=11()'()'()nk k k n n k g x x f x a x ω==∑∑利用均差性质：则[]121()1......'()nk n k n n k ng x g x x x a x a ω==∑ 又由均差与导数的性质可证命题成立。

7．算法提示：利用差商表可求。

8．算法提示：利用求牛顿插值公式。

12．证明提示：参考拉格朗日插值余项的证明方法。

14．算法提示：参考三对角方程组的样条函数的求解过程及例11。

补充习题解题思路1． 设)(x l k (k= 0, 1, 2, …,n)是n 次拉格朗日插值基函数，试证：∑==nk j kjk x x lx 0)( 。

（j = 0, 1, 2, …, n ） 证明：记n k x kk ...2,1,0,==ϕ，则为插值接点的拉格朗日以n k x x x x ,...,,)(10ϕ插值多项式为∑=ni i i kx l x 0)()(ϕ。

插值余项的导数项为0，因此余项为0。

所以得证。

第5章 函数逼近与曲线拟合1、 求解思路：求在给定的区间上，关于默认权()1x ρ=，以23{1,,,}x x x 为基函数的最佳均方逼近多项式。

首先，列出法方程并求解*(0,1,2,3)ia i =；其次，3*0i ii a x=∑即位所求。

2、 求解思路：求在给定的区间上，关于默认权()1x ρ=，以24{1,,}x x 为基函数的最佳均方逼近多项式，思路同上。

3、 求解思路：()f x 与()g x 在[0，1]上带权()1x ρ=正交，内积为0即可；求得1/2a =-。

5、求解思路：首先线性化模型方程，然后求解关于,a b 的法方程即可确定,a b .补充习题解题思路1、确定参数c b a ,,，使积分dx xx c bx ax c b a I 22112211]1[),,(---++=⎰-取得最小值。

求解思路：等价于求()f x =()x ρ=，以2{1,,}x x 为基的最佳均方逼近多项式。

、第6章 数值积分1、 求解思路：利用代数精度确定求积系数，然后再确定公式的达到的最高代数精度. 3、 求解思路：确定机械求积公式是否为插值型有两种方法：利用插值型公式的定义或插值型公式的充要条件.补充习题解题思路1、 确定常数A ，B ，C 及α，使求积公式⎰++-=-)()0()()(11ααCf Bf Af dx x f 为高斯求积公式。

解：令432,,,,1)(x x x x x f =分别代入，令两边相等联立方程组，即可解得：A=C=5/9, B=8/9, 515=a 由求解过程，可知此求积公式至少有四次代数精度。

然后由于5)(x x f =带入也相等，因此有5次代数精度，由定义所求即是高斯求积公式。

2、 设23)(x x f = ，若用复化梯形求积公式求⎰-01)(dx x f 的近似值，要求准确到小数点后第4位，问步长h 应如何取值？求解思路：利用复化梯形余项公式即可。

3、已知下面公式为高斯求积公式：⎰+=--)()(1)(11212x Bf x Af dx xx f试求出A ，B ，及21,x x 。

解：在区间[1,1]-上关于()x ρ=的正交多项实为切比雪夫多项式；二次切比雪夫多项式的零点为：220=x ，221-=x 即为高斯点。

把x x f ,1)(=代入，令其准确成立；得2π==B A 。

第7章 矩阵特征值和特征向量的计算1、 求解思路：利用幂法算法过程即可. 9、求解思路：因为x ,λ是A 的一个特征值及其相应的特征向量，则x x A λ=。

已知TA A =，T P P=-1P P PAP λ=-1，再有1e P P PAP T λλ==利用上述关系得证。

补充习题解题思路1、 设有向量Tx )2,1,2(=→，试构造初等反射阵H ，使Tx H )0,0,3(=→解：和H 为两个不相等的向量，且2-范数相等，则令向量2=，所求初等反射阵为Tww E H 2-=.2、 设→→y x ,是n 维列向量，Q 为n 阶正交矩阵，且=→y Q →x=解：矩阵范数1)(||||max 2==Q Q Q T λ由矩阵算子范数相容性条件可得2222||||||||y Qx x ≤≤同理，y Q x 1-=（其中1-Q 为正交阵），可得22||||||||x y ≤ 当0=x 时，显然。

3、 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=212240130A ，试求其QR 分解。

解：把一个矩阵进行QR 分解，一般有3种方法：用平面旋转变换、反射变换以及线性代数中的斯密特正交化方法；如果分解要求R 的对角线元素大于0，则分解唯一。

4、 证明：当||B||<1时，E+B 是可逆矩阵，且||||11||)(||1B B E -≤+- 。

其中||||⋅是指矩阵的算子范数。

证明提示：证明可逆，利用反证法；求证||||11||)(||1B B E -≤+-需要利用矩阵算子范数的相容性条件和矩阵范数的定义。

第8章 常微分方程的数值解法3、求解思路：考察二阶龙格-库塔公式的增量函数满足李普希茨条件即可。

5、解：解初值问题的梯形公式为)],(),([1+1+1++2+=n n n n n n y x f y x f hy yy y x f -=),(][1+1+--2+=∴n n n n y y hy y整理成显式n n y h h y ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2-2=1+反复迭代，得到 01+2-31-21+⎪⎭⎫ ⎝⎛+2-2==⎪⎭⎫ ⎝⎛+2-2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+2-2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+2-2=y h h y h h y h h y h h y n n n n n ...nn h h y y ⎪⎭⎫⎝⎛+2-2=∴1=0若x >0, 为求y (x )的近似值，用梯形公式以步长h 经过n 步计算得到x ，故x =nh ，有)(e ee //)(/2/2-//0→=→⎪⎭⎫⎝⎛2+12-1=⎪⎭⎫ ⎝⎛+2-2=≈-22h h h h h y x y x x x h x hxn8、证明：多次利用Taylor 展开式即可。

...)(!3)(!2)()()()('"3"2'1++++≈+=+n n n n n n x y h x y h x hy x y h x y x y...)(!3)(!2)()()()('"3"2'1+-+-≈-=-n n n n n n x y h x y h x hy x y h x y x y代入原式得局部误差：)34(4)(211111-+++'+'-'-+-n n nn n n y y y hy y y =（)()8321121("'3n x y h -++…根据定义，所以为二阶方法。

补充习题解题思路1、 用尤拉方法求解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=<<-='1)0()10(2y x yx y y 步长取0.2,迭代2次。

解：依显式尤拉公式有：)2(1nnn n n y x y h y y -+=+ 取h=0.22、求系数b a ,，使求解常微分方程的初值问题的数值解公式)('1'1-+++=n n n n by ay h y y 的局部截断误差为311()()n n y x y O h ++-=。

解：利用泰勒公式以h 的次数从低到高展开，令常数项、h 和2h 系数为0求得b a ,.。