第四、五讲作业题参考答案一、填空题1、拉格朗日插值基函数在节点上的取值是（ 0或1 ）。

2、当1,1,2x =-，时()034f x =-，，，则()f x 的二次插值多项式为 （2527633x x +- ）。

3、由下列数据所确定的唯一插值多项式的次数为（ 2次 ）。

4、根据插值的定义，函数()x f x e -=在[0,1]上的近似一次多项式1()P x =（ 1(1)1e x --+ ），误差估计为（ 18 ）。

5、在做曲线拟合时，对于拟合函数x y ax b =+，引入变量变换y =（ 1y），x =（1x）来线性化数据点后，做线性拟合y a bx =+。

6、在做曲线拟合时，对于拟合函数Ax y Ce =，引入变量变换（ ln()Y y = ）、X x =和B C e =来线性化数据点后，做线性拟合Y AX B =+。

7、设3()1f x x x =+-，则差商[0,1,2,3]f =（ 1 ）。

8、在做曲线拟合时，对于拟合函数()A f x Cx =，可使用变量变换（ln Y y =）（ln X x = ）和B C e =来线性化数据点后，做线性拟合Y AX B =+。

9、设(1)1,(0)0,(1)1,(2)5,()f f f f f x -====则的三次牛顿插值多项式为（ 321166x x x +-），其误差估计式为（4()(1)(1)(2),(1,2)24f x x x x ξξ+--∈-） 10、三次样条插值函数()S x 满足：()S x 在区间[,]a b 内二阶连续可导，(),,0,1,2,,,k k k k S x y x y k n ==（已知）且满足()S x 在每一个子区间1[,]k k x x +上是（ 三次多项式 ）。

11、1()[a,b]()f x L x =函数在上的一次（线性）插值函数（公式）（ ()()x b x af a f b a b b a--+-- ），1()R x =（ 1()()(),2f x a x b a b ξξ''--≤≤ ）。

1()ln(2)[01]()f x x L x =+=函数在区间，上的线性插值函数（ln 2(ln 3ln 2)x +- ），其余项估计1()R x ≤（ 132）。

12、设(0)0,(1)16,(2)46[0,1]f f f f ====，则（ 16 ），[0,1,2]f =（ 7 ），()f x 的二次牛顿插值多项式为（ 167(-1)x x x +或016-0)7(-0)(-1)x x x +＋（或279x x + ）。

13、已知332201()12x x S x x ax bx c x ⎧≤≤=⎨+++≤≤⎩ 是三次样条函数，则a =( 3 )，b =( -3 )，c =( 1 )。

14、已知33201()1(1)(1)(1)132x x S x x a x b x c x ⎧≤≤⎪=⎨-+-+-+≤≤⎪⎩是三次样条函数，则a =（ 3 ），b =（ 3 ），c =（ 1 ）。

15、过n 对不同数据1001(,),1,2,,i i x y i n y a x a a a ==+，的拟合直线那么，满足的法方程组是（ 0111201111n ni i i i n n ni i i i i i i na a x y ax a x x y =====⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩∑∑∑∑∑ ） 16、已知函数()(0),(2),(3),(5),(6)f x f f f f f 的函数值，以及差商如下(0)0,(0,2)4,(0,2,3)5,(0,2,3,5)1,(0,2,3,5,6)0f f f f f =====那么由这些数据构造的牛顿插值多项式的最高次幂的系数是（ 1 ）。

17、区间],[b a 上的三次样条插值函数)(x S 在],[b a 具有直到（ 二 ）阶的连续导数。

18、设)(x f 和)(x g 都是n 次多项式，如果在n+1个不同节点{}ni i x 0=上都有()(g x f i =)i x ，i=0,1,2,…n ，则有（)()(x g x f ≡）。

二、判断题1、试判断下面的函数哪一个为三次样条函数？（ C ）2332330100()B ()01sin 0(1)122110()22101x x x A f x f x x x x x x x x x x x C f x D x x x -≤<⎧⎧≥⎪==≤<⎨⎨<⎩⎪+-≤≤⎩⎧++-≤<=⎨++≤≤⎩、、、、无2、过(0，1)，(2，4)，(3，1)点的分段线性插值函数()P x =（ A ）A 、 ⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤≤+3210320123x x x xB 、 ⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤≤+32103201232x x x xC 、 ⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤≤-3210320123x x x xD 、 ⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤≤+32420123x x x x3、()P x 下列条件中，不是分段线性插值函数必须满足的条件为（ D ）A (),(0,1,,)()[,]()()k k P x y k n B P x a b P x P x ==、、在上连续C 、在各子区间上是线性函数D 、在各节点处可导4、函数345345(),,[,,]f x x x x f x x x ≠在结点处的二阶差商（ B ）3554335()()f[,,]B f x f x A x x x x x --、、344543543535[,][,][,][,]CD f x x f x x f x x f x x x x x x ----、、5、已知,,1,2,,k k n x y k n n =对观测数据（）这个点的拟合直线0101,,y a x a a a =+是使（ D ）最小的解。

010111A ()nnk kk k k k y a a x B y a a x ==----∑∑、、22010111()()nnk kk k k k y a a x y a x a ==----∑∑C 、D 、6、已知函数()y f x =的数据表则()y f x =的拉格朗日插值基函数2()l x =（ A ）A 、(2)(1)5(52)(51)x x x ---- B 、(2)(5)(1)(02)(05)(01)x x x ------C 、(5)(1)2(25)(21)x x x ---- D 、(2)(5)1(12)(15)x x x ----三、问答题1、依据如下函数值表建立不超过三次的拉格朗日插值多项式及牛顿插值多项式，解：（1插值基函数320(1)(2)(4)177()1(01)(02)(04)884x x x l x x x x ---==-+-+---321(0)(2)(4)18()2(10)(12)(14)33x x x l x x x x ---==-+---322(0)(1)(4)15()(21)(21)(24)44x x x l x x x x ---==-+----323(0)(1)(2)111()(40)(41)(42)24812x x x l x x x x ---==-+---拉格朗日插值多项式为：3300123()()()1()9()23()3()i i i L x f x l x l x l x l x l x ===⨯+⨯+⨯+⨯∑32114511442x x x =-+-+ （2）牛顿插值多项式建立差商表：()i i x f x 一阶差商二阶差商三阶差商0124 1923381410－ 38－ 114－ 牛顿插值多项式：30010012010123012()[][,]()[,,]()()[,,,]()()()1118(0)3(0)(1)(0)(1)(2)4N x f x f x x x x f x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x x x x =+-+--+---=+-+------32114511442x x x =-+-+ （3）惟一性验证通过比较牛顿多项式和拉格朗日插值多项式，知 33()()N x L x ≡这一事实和插值多项式的惟一性一致。

2、3()3N (x)f x Newton 写成的次插值多项式。

解：先建立差商表：()ii x f x 一阶差商二阶差商三阶差商2351342－－ 213－－ 1343 15牛顿插值多项式：3001001201012301232()[][,]()[,,]()()[,,,]()()()1112(0)(0)(2)(0)(2)(3)3512221)5315N x f x f x x x x f x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+-+--+---=-+-------+－＋（＝ 3、求三次多项式3()P x ，使满足插值条件3333P 0=P 0=0P 1=1P 2=1'（）（），（），（）解：法一、求插值多项式（用牛顿插值法或拉格朗日插值法，求出经过（0，0），（1，1），（2，1）这三点的插值函数），记为2()L x ，2213L ()22x x x =-+。

3232P ()()(),Q()P ()()x L x Q x x x L x =+=-设即，为一不超过３次的多项式。

323232(0)(0)-(0)0,(1)(1)(1)0,(2)(2)(2)0Q P L Q P L Q P L ===-==-=且。

0,1,2()()(-0)(-1)(-2),Q x Q x A x x x A =即为的３个零点，于是可设待定常数。

2222213()()()(1)(2)223()()()(362)23(0)(0)(0)0,20234x L x Q x x x Ax x x x L x Q x x A x x L Q A =+=-++--'''=+=-++-+'''=+=+=３３３ＰＰＰ得解得A=- 233233()(1)(2)4133()(1)(2)2247()4Q x x x x P x x x x x x P x x x =---=-+---=+所以３整理后即－４2323333()()23(0)0(0)0(1)1(2)2481730,0,,44P x a bx cx dxP x b cx dx P a P b P a b c d P a b c d a b c d '=++=++=='===+++==+++=====-法二、设＋故四个未知量，四个方程，解方程组得4、用最小二乘法求拟合函数1y=使其与下列数据相拟合1/y a bx y y ''=+=-------------- ----------------------（2分） 504701037a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ------------------------------------（6分） a=9.4 b=3.7 ----------------------- ---------（2分）5、用最小二乘法求形如bx y ae =的经验公式，使它与下列数据相拟合：解：所求拟合公式是一个指数函数，对它两边取自然对数，得到ln ln y a bx =+相应的对应关系为0101ln ,ln ,,Y y A a A b Y A A x====+记则有于是原问题转化为求上面数据表的一次拟合多项式。