超导的BCS理论学号：111060007姓名：郑雄心摘要：本文主要介绍了巴丁（J.Bardeen）、库珀（L.N.Cooper）和施里弗（J.R.Schrieffer）三人于1957年创立的关于常规超导的BCS理论，同时介绍了该理论之前的一些历史背景。

并在此理论基础及实验基础上从量子力学角度分析了BCS理论的实质问题。

关键词：超导电性、BCS理论、同位素效应，能隙；引言：BCS理论是解释常规超导体的超导电性微观理论。

超导电性即某些金属或氧化物在极低的温度下，其电阻会完全消失，电流可以在其间无损耗的流动。

超导现象最早由昂尼斯于1911年在研究在极低温度下金属电阻随温度变化规律时发现的。

在此后的46年中，人们对于超导现象累积了大量的实验基础，理论基础。

其中伦敦的唯象理论和金兹堡-朗道唯象理论在一定程度上可以解释超导体的宏观电磁性质，但对于超导电性的微观机制则直到1957年才有了一个比较令人信服的解释。

BCS理论把超导现象看做一种宏观量子效应。

它指出，金属中自旋和动量相反的电子可以形成所谓的“库珀对”，库珀对在晶格中可以无损耗的运动，形成超导电流。

在BCS理论提出的同时，波戈留波夫（Bogoliubov）也独立的提出了超导电性的量子力学解释，它使用的波戈留波夫变换至今为人所常用。

我们知道，电子间由于库仑力的存在使电子间的直接作用是相互排斥的库伦力，无法形成电子配对。

因此，可以想见电子间还存在以晶格振动（声子）为媒介的间接相互作用，而这种相互作用是相互吸引的。

正是这种吸引作用导致库珀对的产生。

从而超导机理可以解释为：电子在晶格中移动时会吸引自旋相反的电子，和原来的电子以一定的结合能相结合配对，在很低的温度下，这个结合能高于晶格原子振动的能量，这样，电子对将不会和晶格发生能量交换，也就没有电阻，形成“超导”。

一，Before 19571933年迈斯纳和奥森菲尔德发现超导体具有完全抗磁性，即当材料处于超导态时，随着进入超导体内部的深度增加磁场迅速减小，磁场只能存在于对超导体表面一定厚度的薄层内。

在此之前，人们一直把超导体视为理想导体。

这一发现表明，超导体具有零电阻和完全抗磁性。

迈斯纳效应还表明超导态是一种热力学状态，可以用一些热力学的研究方法进行研究。

不久之后（1935年），伦敦兄弟基于经典电动力学提出了唯象理论，得到了伦敦第一，第二方程，他们同麦克斯韦方程组一起构成了超导电动力学基础，并预言只有在超导体的表面附近约10^-6cm的薄层内有不为零的磁场，称为穿透层，λ称为穿透深度。

但是该理论是将完全抗磁性作为假设得到的结论，虽然预言了穿透深度的存在，但实际穿透深度比λL大好几倍，并随着电子平均自由程减小而增大。

皮帕德于1953年引入相干长度概念，提出了对伦敦理论的非局域修正。

皮帕德理论最重要的贡献是引入了非局域的概念。

即超导体中超导电子之间是相干的，其相干范围是ξp，这说明超导序参量ω是渐变的，而不是从内部一直延伸到超导表面。

在离表面λ的范围内，磁场的穿透导致该区域为正常区，也就是伦敦理论中的抗磁能减少区。

在离表面ξp的范围内虽然无超导范围的正常区但它不为磁场所穿透。

皮帕德的理论的成功之处是指出界面能既可为正也可为负，解决了伦敦理论得到的界面能只能为负，从而推导出必须无限分层的不合理结论的问题。

他的不足之处是在于不能解释λ与外加磁场H有关。

虽然在三十年代有关超导微观理论的发展条件不足，但是也涌现出一些很有见地、富于启发性而且对以后理论发展产生了深远影响的物理思想，这就是F.伦敦对超导电性的量子解释。

F.伦敦发现，如果超导基态的波函数是“刚性的”，使得它不因外磁场而有很大的修正，那么，电流密度将正比于矢势，在一定的规范中，可以得出描述迈纳斯-奥森菲尔德效应的伦敦方程；他还指出超导环内的磁通量是量子化的，因此，超导电性是宏观世界的量子现象，1962年，实验证实了他关于磁通量子化的结论。

1950年，英国H.弗洛利希指出，金属中电子通过交换声子可以产生吸引的作用。

他预言超导体的临界温度与同位素的质量之间可能存在一定的关系。

此后不久，麦克斯韦（E.Maxwell）和雷诺（C.A.Rayhold）各自独立的测量了水银同位素的临界转变温度，发现转变温度和同位素质量的负二分之一次方成正比，验证了H.弗洛利希的预言。

同位素效应把声子与电子联系起来，揭示了电子-声子的相互作用与超导电性有密切关系。

但是电子和晶格原子之间是如何相互作用的，弗洛利希对这一问题并未给出答案。

此后人们又在实验中发现了超导能隙，即超导电子能谱与正常态不同，在最低激发态与基态之间的能量附近出现了一个半宽度为Δ能量间隙，其中Δ≈10^-3~10^-4eV。

拆散一个电子对产生两个单电子至少需要2Δ的能量。

热运动可以拆散电子对产生单电子，由于能隙的原因，使得在温度远低于临界温度T C时，超导体中单电子的数目随温度减低而指数减小，从而使电子的比热容和热导率按温度指数变化。

当电磁波的能量大于2Δ（即频率足够高）时，也能够激发单电子，此时的超导体会强烈的吸收电磁波。

二．BCS理论1956年，库珀（L.N.Cooper）从理论上证明了费米面附近的两个电子，只要存在净的吸收作用，不管多么微弱，都可以形成束缚态--库珀对。

而形成库珀对的最佳方式是动量相反时自旋相反的两个电子组成。

第二年，巴丁（J.Bardeen）、库珀（L.N.Cooper）和施里弗（J.R.Schrieffer）创立了完整的超导微观理论--BCS理论。

该理论的核心有两个部分：第一是超导电性的起因为费米面附近的电子之间通过交换声子产生吸引作用。

第二是由于有这种吸引力的存在（无论多微弱）费米面附近的电子都会两两结对形成库珀对。

BCS理论是以电子-声子相互作用作为基础解释超导电性的经典理论，它能很好的解释金属元素间化合物的超导电性。

那么电子是如何通过交换声子形成库珀对的呢，可以用下图简单介绍。

一个电子改变状态，能量和动量分别改变Δε1和Δp 1。

状态的改变引起固体中整个电子气电荷分布的扰动，从而引起点阵的振动，发射声子。

一种情形是点阵振动反过来也可以影响电子气，影响的结果是使电子气复原，电子也由改变后的状态恢复到原来的状态。

其效果就是电子在运动过程因牵动点阵而增加了有效质量，第二种情形是影响的结果同时也可以使另一个电子发生状态的改变Δε2和Δp 2。

即为声子被另一个电子吸收，这种情况下的一对电子之间发生了能量和动量的交换，也即是说发生了以声子为媒介的电子间的间接相互作用。

计算结果显示，当每个电子前后能量差小于声子的能量时（按测不准关系，中间过度的声子能量可能不守恒），这种相互作用体现为相互吸引。

考虑到费米面以下几乎都是被占据了的状态，以及量子力学中泡利不相容原理，可知想见只有在费米面附近的电子间才存在吸引作用，因此说明电子中只有部分是超导电性的电子。

吸引作用的强弱取决于一对电子可能的转变态的数量多少，在费米面附近动量相反，自选也相反的一对电子之间存在比其他情形都要多的吸引作用，假如其某个作用超过了电子间的静电排斥作用，就会使一对电子结合为库珀对，这使电子气的能量下降到低于正常费米分布的能量。

电子的两两配对，改变了这些电子的能谱。

使得在连续的能带态下出现一个单独的能级（结合成对的状态），单独能级与连续能级之间的间隔为Δ，即为超导体的能隙。

把一个电子对拆成两个不相关的单独电子至少要提供一个大于其结合能的能量才行（大小为2Δ)。

因为吸引力而结合成的库珀对，类似于一个电子和一个质子组成的氢原子这样的体系，但又有很大的差异，用测不准关系估测出一个库珀对的电子距离大约是10μs ，大约是点阵常数的10^4倍，所以库珀对是一个很松弛的体系。

事实上，其结合能也很小。

三、从量子力学的角度看BCS 理论从量子力学角度来看，BCS 理论的实质问题是：1）金属在进入超导态后结对形成库珀对2）电子之间的吸引力使他们处于配对的束缚态。

对上图中的两电子，动量为11p hk = 和22p hk = 。

他们的总动量为12p p p += （或12k k k += ），两球壳中心距为k，这两个电子加入到T=0的费米海（在绝对零度下，电子从低到高依次填充各能级，形成电子能态的费米海），并规定这两个额外的电子发生相互作用，但不与费米海中的那些电子发生相互作用，由于电子相互作用而发生跃迁前后的动量守恒，即1212''k k k k k +=+= 。

因此这种跃迁只能发生在图中两球壳相交的阴影部分的区域。

当k=0时，两球壳重合。

此时电子对形成的可能性最大，所以在费米面附近动量相反的一对电子配对是最有利的。

另外由泡利不相容原理，两个自旋方向相同的电子的靠拢会被限制。

由布洛赫定理，则这两个电子必须具有数值相等方向相反的动量。

因此这个电子对的波函数为轨道波函数12()012(,)ik r r k r r gke ψ-=∑ 。

相对两个电子，总波函数交换呈反对称。

因此将0ψ换为12cos ()k r r ∙- 与反对称单态自旋函数1212()αββα-的乘积的求和形式，如果有吸引的相互作用，自旋单态须具有较低的能量，因此两电子单态波函数可由下式给出012121212()(cos ())()k h r r gk k r r νψαββα>-=∙--∑ 将之带入薛定谔方程，可确定权重系数gk 和能量的本征值E ，在弱耦合情况下，通过一系列计算可以得到2(0)22N V F e E E h e ω-=- 其中11(2)F n k k k E V ε->=-∑因此，的确存在一个完全由动能超过E F 的电子组成的束缚态，其能量低于费米面（为负值），吸引势能的贡献大于其他动能，无论V 的量级多小，只要不为零，就能够形成束缚态。

2）电子声子相互作用电子受到散射动量发生改变'k k →，则声子会得到相应的动量'q k k =- 。

这种两个电子交换一个虚声子而发生的相互作用如图所示。

由动量守恒，'11k k q =- 和'22k k q =- 。

因此，特征震动的频率必然是这个声子频率q ω。

那么声子对屏蔽函数的贡献应当正比于21()q ωω--，当q ωω<时，共振项的分母为负的，即第一个电子吸引正离子使介质极化；这些过量的正离子反过来又吸引第二个电子，从而电子间产生一个有效地吸引作用。

若这种吸引强度足够压倒屏蔽的库伦排斥作用，就会出现净吸引作用，从而导致超导电性的产生。

而对于高频率，电子能量差大于q h ω，相互作用就成为了排斥力。

综上，在T=0，费米面附近的全部电子都结成对，在有限的温度，出现一些不成对的单个热激发电子，同时每个电子对的吸引力因此而减弱，这些不成对的热激发电子结合程度差，相当于正常电子。