完备正交函数系的类型：三角函数系、复指数函数系、Walsh函数系等
2020/12/14
信息与通信工程系
8
2.1.2 信号的频谱分析
信号的频谱分析（傅里叶分析）是分析确定信号的基本方法。
对周期信号 x(t) ，有傅里叶级数展开式
x t = cne j n 0 t n
cn
1 T
t0 T x(t) e j n 0 t dt
引入冲激函数后，也可以得到周期函数的频谱密度函数为
X () [x(t)]
cne j n 0 t e j t dt
n
cn
e dt j ( n 0 )t
n
2 cn ( n0 ) n
（2-1）
2020/12/14
信息与通信工程系
10
2.1.2 信号的频谱分析
周期信号频谱密度函数的简便求法
Q=
t0 t0
T
[
x(t
)
N k 0
ak
uk
(t
)]2
dt
t0 T t0
x2 (t)dt
N
2
k 0
ak2
N k 0
ak2
t0 T t0
x2 (t)dt
N k 0
ak2
0
t0 T t0
x2 (t)dt
N k 0
ak2
-----贝塞尔不等式
2020/12/14
信息与通信工程系
7
2.2.1 信号的正交展开
t0
----- 傅立叶级数复系数
对非周期信号 x(t) ，有傅里叶积分式
X () x t
x t e j tdt
----- 频谱密度函数
2020/12/14
信息与通信工程系
9
2.1.2 信号的频谱分析
x(t)
1
X
1
2
X e j td
----- 原函数
x(t) X () ----傅里叶变换对
1
T0
2 x2 (t)dt
T T
T 2
n T T
0
n
T0 2
T0
T0 2
对功率信号可用其功率谱密度函数来描述。
2020/12/14
信息与通信工程系
22
2.2.2 功率信号及功率谱密度函数
功率谱密度函数 对功率信号的截断信号，应用能量信号的帕斯瓦尔定理，有：
xT2 (t)dt
1
2
XT () 2
最后，得周期信号功率谱密度函数为：
P() 2 | Cn |2 ( n0 ) n
周期信号功率为：
P 1
2
P()d
| Cn |2 ( n0 )d
n
| Cn |2 n
-----功率信号的帕斯瓦尔（Parseval）定理
2020/12/14
信息与通信工程系
30
2.3 相关函数和功率谱密度函数
n0
2
)T
]Sa[
(
m0
2
)T
]
2020/12/14
信息与通信工程系
27
2.2.2 功率信号及功率谱密度函数
由于
Sa[
(
n0
2
)T
]Sa[
(
m0
2
)T
]
Sa
2
[
(
0
n0
2
)T
]
, nm , nm
得:
|
XT
( ) |2 T 2 | Cn
n
|2
Sa2[ (
n0 )T
2
]
2020/12/14
由下式两边乘 ul (t)后求积分
可得下式：
x t akuk (t) k 0
t0T t0
x(t )ul
(t)dt
t0 T t0
k 0
ak uk
(t )ul
(t)dt
akC , 当 k =l 0 , 当 kl
ak
1 C
t0 T t0
x(t)uk
(t)dt
2020/12/14
信息与通信工程系
d
P lim 1 T T
xT
2
(t
)dt
lim 1 1
T T 2
XT () 2
d
1
2
lim XT () 2 d
T
T
1
2
P d
称 P() lim | XT () |2 为功率信号的功率谱密度函数。
T
T
2020/12/14
信息与通信工程系
23
2.2.2 功率信号及功率谱密度函数
正交函数系：指｛uk (t)｝在（ t0, t0 T ）上满足下式
t0T t0
uk
(t)ul
(t)dt
C0 , 当 k =l 0 , 当 kl
上式中，当 C =1时，称 ｛ uk (t) ｝ 为标准正交函数系。
2020/12/14
信息与通信工程系
4
2.2.1 信号的正交展开
系数 ak 的求解
上式重新写为：
E x2 (t)dt 1
| X () |2 d 1
G()d
2
2
-----能量信号的帕斯瓦尔（Parseval）定理
E 1
G()d 2 G( f )df
2
0
能量谱密度函数表示了单位频带上的信号能量，表 明了信号的能量沿频率轴的分布情况。
2020/12/14
信息与通信工程系
R12 ( ) x1(t) x2 (t )dt
当 x1 t x2 t xt 时，则定义下式为 xt的自相关函数。
R( ) x(t) x(t )dt
2020/12/14
信息与通信工程系
32
2.3.1能量信号的相关函数
例2.2 求图示两信号的互相关函数。
解： R12 ( )
2.3.1 能量信号的相关函数 2.3.2 能量信号的相关定理 2.3.3 功率信号的相关函数
2020/12/14
信息与通信工程系
31
2.3.1能量信号的相关函数
相关的含义
描述两个波形（或一个波形）在间隔一定时间上的相似性， 常用相关函数来描述。
能量信号的相关函数 设信号 x1 t和 x2 t 为能量信号，定义下式为它们的互相关函数。
XT
n0
2020/12/14
信息与通信工程系
11
2.1.2 信号的频谱分析
例2.1 设周期矩形信号 x(t) 如图所示，试求其频谱密度函 数 X () 。
解：设 xT (t) 为 x(t) 在一个周期内的截断信号，如图所示。
则有: XT () [xT (t)] A Sa 2
2020/12/14
X ()e jtddt
2
1
X ()
x(t)e j( t)dtd
2
1
X ()X ()d
1
X () 2 d
2
2
1 X () 2 d 1 G d
0
0
称 G() X () 2 为能量信号 x(t)的能量谱密度函数。
2020/12/14
信息与通信工程系
18
2.2.1能量信号及能量谱密度函数
信息与通信工程系
28
2.2.2 功率信号及功率谱密度函数
P()
lim | T
XT () |2
T
lim
T
T
n
|
Cn
|2
Sa 2[ (n0 )T ]2 Nhomakorabea|
n
Cn
|2
lim TSa2[(
T
n0
2
)T
]
lim K Sa2 (Kx) (x) K
2020/12/14
信息与通信工程系
29
2.2.2 功率信号及功率谱密度函数
34
2.3.1能量信号的相关函数
例2.3 求图示信号自相关函数。
解：
A,
x(t)
0,
T tT
2
2
其它t
R( ) x(t) x(t )dt
0 T
R( )
T 2 T
信息与通信工程系
12
2.1.2 信号的频谱分析
则,由式(2-2)得:
X ()
2
T
XT
n
n0
0 XT n0 n0 n
(2-2)
X ()
2 A
T
Sa( n0
n
2
) (
n0 )
最后有:
X
(
)
A
n
Sa(
n0
2
)
(
n0
)
2020/12/14
信息与通信工程系
13
2.1.2 信号的频谱分析
贝塞尔不等式说明任何函数正交展开式中的系数的平
方和总 是收敛的。
N
显然，N增大时， ak2 是单调增大的，当N足够大时，
可使下式成立
k 0
t0 T t0
x2 (t)dt
ak2
k 0
-----Rayleigh-Parseval定理
此时，称 ｛uk (t) ｝ 为完备正交函数系。
完备的含义: 指用｛ uk (t)｝来展开 x(t) 时，不需要用不属 于｛ uk (t)｝ 的函数来补充参加 x(t) 的精确展开，其本身 是完备的。
2020/12/14
信息与通信工程系
3
2.2.1 信号的正交展开
正交展开：若 x(t)在区间（ t0, t0 T ）内是分段连续的，则可以用 该区间内的正交函数系（集）｛ uk (t) ｝=｛ u0 (t) , u1(t) , … ｝ 中的各分量来表示该信号。