指数函数(一)指数与指数幂的运算1.根式的概念:一般地,如果a x n=,那么x 叫做a 的n 次方根，其中n 〉1，且n ∈N *. 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是０,记作00=n 。

当n 是奇数时,a a n n =，当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a n n2．分数指数幂正数的分数指数幂的意义,规定：)1,,,0(*>∈>=n N n m a a an m nm )1,,,0(11*>∈>==-n N n m a a aanmnm nm0的正分数指数幂等于0，０的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质(1）ra ·sr raa += ),,0(R s r a ∈>;（2）rss r a a =)( ),,0(R s r a ∈>; (3)sr r a a ab =)(ﻩ),,0(R s r a ∈>． （二）指数函数及其性质1、指数函数的概念:一般地,函数)1,0(≠>=a a a y x且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R.注意:指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 2注意:利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1)在[a,b]上,)1a 0a (a )x (f x≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [（2)若0x ≠,则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈；(3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =；指数函数·例题解析【例1】求下列函数的定义域与值域:(1)y 3(2)y (3)y 12x＝＝＝-+---213321x x解 （1)定义域为x ∈R 且x ≠2．值域ｙ＞0且y ≠1. (2)由2x+2-1≥０，得定义域｛x|x ≥－2｝,值域为y ≥0.（3)由3－3x —1≥0,得定义域是{x ｜ｘ≤２｝,∵0≤3-3ｘ－1＜3,∴值域是≤＜．0y 3练习:(1）412-=x y ; (２)||2()3x y =; （3）1241++=+x x y ；【例2】指数函数y=a ｘ,y ＝b x ，ｙ＝c x ,y ＝d x 的图像如图２.６－2所示,则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是 [ ]A.a<b<１<c ＜dB.a ＜b ＜1<ｄ＜c Ｃ. b<ａ＜1<d ＜ｃ D ．c<d ＜1＜a ＜ｂ解 选(c),在x 轴上任取一点(ｘ,0), 则得b ＜a ＜1＜d ＜ｃ. 练习:指数函数① ②满足不等式,则它们的图象是（ ）。

【例３】比较大小:(1)2(2)0.6、、、、的大小关系是：．248163235894512--()（3)4．54。

1_____＿__3.73.6解(1)y 221()x ∵，，，，，函数＝，＞，该函数在－∞，＋∞上是增函数，又＜＜＜＜，∴＜＜＜＜．222242821621338254912284162123135258389493859=====解 (2)0.6110.6∵＞，＞，∴＞．----451245123232()() 解 （3）借助数4。

５3。

６打桥，利用指数函数的单调性,４.54.1>4.5３.6,作函数ｙ1=4。

５x ，y 2＝3.7ｘ的图像如图2．６－３,取x=３。

６，得4.53．６＞３.73.6 ∴ ４。

５4。

1＞3.73。

6.说明 如何比较两个幂的大小:若不同底先化为同底的幂，再利用指数函数的单调性进行比较，如例2中的(１）．若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时,有两个技巧，其一借助1作桥梁，如例２中的(2）.其二构造一个新的幂作桥梁,这个新的幂具有与4。

5４。

１同底与３。

７3.６同指数的特点，即为4.5３。

6(或３.7４.1),如例2中的(3)． 练习: (１）1。

72。

５与 1。

7３( 2 )0.10.8-与0.20.8-( 3 ） 1。

７0.３与 0.93.1(4）5.31.2和7.20.2【例4】解比较大小与＞且≠，＞．当＜＜，∵＞，＞，a a a aan n n n n n nn n nn n -+-+-=-11111111(a 0a 1n 1)0a 1n 10()()∴＜，∴＜当＞时，∵＞，＞，∴＞，＞a a a n n aa a n n n n n n n n n n n n 1111111111()()()--+--+-1a 1n 101【例5】作出下列函数的图像:(1)y (2)y 22x ＝＝－，()121x +(3)y=２|x －1| (4)y ＝|1-３ｘ｜解 (1)y (264)(0)(11)y 1＝的图像如图．－，过点，及－，．是把函数＝的图像向左平移个单位得到的．()()1212121x x+ 解 (2)ｙ＝2x -２的图像(如图２.6-5）是把函数ｙ＝2ｘ的图像向下平移２个单位得到的．解 （3)利用翻折变换,先作y ＝2|x ｜的图像，再把ｙ=2｜x ｜的图像向右平移１个单位,就得ｙ=2|x －１|的图像（如图2.6-6).解 （4)作函数y=3x 的图像关于x 轴的对称图像得y ＝－３ｘ的图像,再把y＝-3x 的图像向上平移１个单位,保留其在x 轴及x 轴上方部分不变，把ｘ轴下方的图像以x 轴为对称轴翻折到ｘ轴上方而得到．（如图２.6－7）【例8】已知＝＞f(x)(a 1)a a x x -+11(1)判断ｆ(x ）的奇偶性； (2)求f （ｘ)的值域；(3）证明ｆ(x)在区间（-∞，＋∞)上是增函数．解 (１）定义域是R ．f(x)f(x)－＝＝－，a a a a x x x x ---+=--+1111∴函数ｆ(x)为奇函数．(2)y y 1a 1y 1x 函数＝，∵≠，∴有＝＞－＜＜，a a y y y y x x -+---=+-⇒1111110即f(ｘ）的值域为(-1,1）．(３)设任意取两个值x １、x ２∈(-∞，+∞)且x 1<ｘ２.f （x 1）-ｆ（x 2）＝＝，∵＞，＜，＜，＋＋＞，∴＜，故在上为增函数．a a a a a a a a a a a a x l x l x x x l x x l xx x x x -+-+--++112121*********()()()a 1x x (1)(1)0f(x )f(x )f(x)R 1212单元测试题一、选择题：（本题共１2小题,每小题５分,共60分）1、化简1111132168421212121212-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,结果是（ )Ａ、11321122--⎛⎫- ⎪⎝⎭Ｂ、113212--⎛⎫- ⎪⎝⎭ C 、13212-- Ｄ、1321122-⎛⎫- ⎪⎝⎭2、44等于( ）A 、16aB 、8aＣ、4aD 、2a3、若1,0a b ><，且bba a -+=则b b a a --的值等于( ）Ａ、6B 、2±C 、2- Ｄ、２４、函数()2()1xf x a =-在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ）A 、1>aB 、2<aC 、a <D 、1a <<５、下列函数式中，满足1(1)()2f x f x +=的是（ ) Ａ、1(1)2x + B 、14x + C 、2x D 、2x - ６、下列2()(1)x xf x a a-=+是（ ）A 、奇函数 Ｂ、偶函数 C 、非奇非偶函数 Ｄ、既奇且偶函数 ７、已知,0a b ab >≠,下列不等式(1）22a b >;(２)22a b>；（3)ba 11<；(4)1133a b >;(5)1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭中恒成立的有（ )A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个8、函数2121x x y -=+是（ ）A 、奇函数B 、偶函数C 、既奇又偶函数D 、非奇非偶函数 9、函数121x y =-的值域是（ ） A 、(),1-∞ B 、()(),00,-∞+∞ C 、()1,-+∞ Ｄ、()(,1)0,-∞-+∞１０、已知01,1a b <<<-,则函数xy a b =+的图像必定不经过（ ） A 、第一象限 Ｂ、第二象限 Ｃ、第三象限 Ｄ、第四象限 11、2()1()(0)21xF x f x x ⎛⎫=+⋅≠ ⎪-⎝⎭是偶函数，且()f x 不恒等于零,则()f x ( ) Ａ、是奇函数 Ｂ、可能是奇函数,也可能是偶函数 C 、是偶函数 D 、不是奇函数，也不是偶函数１2、一批设备价值a 万元，由于使用磨损,每年比上一年价值降低%b ,则n 年后这批设备的价值为（ )Ａ、(1%)na b - B 、(1%)a nb - C 、[1(%)]na b - Ｄ、(1%)na b - 二、填空题：(本题共4小题，每小题4分，共16分,请把答案填写在答题纸上）13、若103,104xy==，则10x y-= 。

１4、函数22811(31)3x x y x --+⎛⎫=- ⎪⎝⎭≤≤的值域是 .１５、函数2233x y -=的单调递减区间是 。

１6、若21(5)2x f x -=-，则(125)f = 。

三、解答题：（本题共６小题,共７４分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

) １７、设01a <<，解关于x 的不等式22232223x x xx a a -++->。

1８、已知[]3,2x ∈-,求11()142x xf x =-+的最小值与最大值。

１9、设a R ∈,22()()21x x a a f x x R ⋅+-=∈+,试确定a 的值,使()f x 为奇函数.20、已知函数22513x x y ++⎛⎫= ⎪⎝⎭,求其单调区间及值域。

21、若函数4323xxy =-+的值域为[]1,7,试确定x 的取值范围.２2、已知函数1()(1)1x xa f x a a -=>+ （1）判断函数的奇偶性; （２）求该函数的值域;(3)证明()f x 是R 上的增函数。

指数与指数函数同步练习参考答案一、二、13、414、991,33⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，令222812(2)9U x x x =--+=-++，∵ 31,99x U -∴-≤≤≤≤,又∵13U y ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数,∴99133y ⎛⎫ ⎪⎝⎭≤≤。

15、()0,+∞，令23,23Uy U x ==-, ∵3Uy =为增函数，∴2233x y -=的单调递减区间为()0,+∞.1６、 0,3221(125)(5)(5)220f f f ⨯-===-=三、１７、∵01a <<，∴ xy a =在(),-∞+∞上为减函数,∵ 22232223x x xx aa -++->, ∴222322231x x x x x -+<+-⇒>18、221113()142122124224x x x x x x x f x -----⎛⎫=-+=-+=-+=-+ ⎪⎝⎭,∵[]3,2x ∈-, ∴1284x -≤≤。