2018-2019学年选修2-1第二章训练卷圆锥曲线与方程(二)注意事项：1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若椭圆2221(0)4x y m m+=>的一个焦点坐标为()1,0,则m 的值为( )A.5B.3C.5D.32.抛物线28=y x 的焦点到直线3=0x y -的距离是( ) A.23B.2C.3D.13.已知椭圆2221(5)25x ya a +=>的两个焦点为1F 、2F ,且12||8F F =,弦AB 经过焦点1F ,则2ABF △的周长为( ) A.10B.20C.241D.4414.椭圆22213x ym m+=-的一个焦点为()0,1,则m =( ) A.1B.1172-± C.－2或1D.－2或1或1172-±5.设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的虚轴长为2,焦距为23,则双曲线的渐近线方程为( ) A.2y x =±B.2y x =±C.22y x =±D.12y x =±6.如图所示,汽车前反光镜与轴截面的交线是抛物线的一部分,灯口所在的圆面与反光镜的轴垂直,灯泡位于抛物线的焦点处,已知灯口的直径是24cm ,灯深10cm .那么灯泡与反光镜的顶点(即截得抛物线的顶点)距离为( )A.10cmB.7.2cmC.3.6cmD.2.4cm7.经过点2(2,)P -且与双曲线C ：2212x y -=有相同渐近线的双曲线方程是( )A.22=142x y - B.22=124y x -C.22=124x y -D.22=142y x - 8.已知0a b >>,1e 、2e 分别为圆锥曲线2222=1x y a b +和2222=1x y a b -的离心率,则12lg lg e e +( ) A.大于0且小于1B.大于1C.小于0D.等于19.经过双曲线2222=1(0,0)x y a b a b ->>的右焦点,倾斜角为60︒的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线的离心率为( )A.2B.3C.2D.510.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线过点(2,3),且双曲线的一个焦点在抛物线247y x =的准线上,则双曲线的方程为( )A.221x －228y ＝1B.228x －221y ＝1C.23x －24y ＝1D.24x －23y ＝1 此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号11.设P 为椭圆29x ＋24y ＝1上的一点,F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点,且1260F PF ∠=︒,则12·PF PF 等于( ) A.83 B.16312.设双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点是F ,左、右顶点分别是A 1、A 2,过F 作12A A 的垂线与双曲线交于B 、C 两点.若12A B A C ⊥,则该双曲线的渐近线的斜率为( )A.12±B.C.1±D.二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上) 13.若抛物线()220y px p >=的准线经过双曲线221x y -=的一个焦点,则p =_________. 14.已知椭圆22x a ＋22y b ＝1()0a b >>,则双曲线22x a －22yb ＝1的离心率为_________.15.已知方程为4x 2＋ky 2＝1的曲线是焦点在y 轴上的椭圆,则实数k 的取值范围是_________.16.方程24x t -＋21y t -＝1表示曲线C ,给出以下命题：①曲线C 不可能为圆； ②若1<t <4,则曲线C 为椭圆； ③若曲线C 为双曲线,则t <1或t >4；④若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆,则1<t <52.其中真命题的序号是__________________(写出所有正确命题的序号).三、解答题(本大题共6个大题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(10分)已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3),端点A 在圆(x ＋1)2＋y 2＝4上运动,求线段AB 的中点M 的轨迹.18.(12分)设F 1、F 2分别是椭圆E ：x 2＋22y b ＝1(0<b <1)的左、右焦点,过F 1的直线l 与E 相交于A 、B 两点,且|AF 2|、|AB |、|BF 2|成等差数列. (1)求|AB |；(2)若直线l 的斜率为1,求b 的值.19.(12分)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ,点M 在抛物线上,且点M 的横坐标为4,|MF |＝5.(1)求抛物线的方程；(2)设l为过点(4,0)的任意一条直线,若l交抛物线于A、B两点,求证：以AB为直径的圆必过原点.20.(12分)设F1、F2分别是椭圆E：22221(0,0)x ya ba b+=>>的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A、B两点,|AF1|＝3|F1B|. (1)若|AB|＝4,△ABF2的周长为16,求|AF2|；(2)若23cos5AF B∠=,求椭圆E的离心率.21.(12分)已知抛物线C1：x2＝4y的焦点F也是椭圆C2：22221(0,0)x ya ba b+=>>的一个焦点,C1与C2的公共弦的长为2 6.过点F的直线l与C1相交于A、B两点,与C2相交于C、D两点,且AC与BD同向.(1)求C2的方程；(2)若|AC|＝|BD|,求直线l的斜率.22.(12分)已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3),且点F(2,0)为其右焦点.(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在平行于OA的直线l,使得直线l与椭圆C有公共点,且直线OA与l的距离等于4？若存在,求出直线l的方程；若不存在,请说明理由.2018-2019学年选修2-1第二章训练卷圆锥曲线与方程(二)答 案一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.【答案】D【解析】∵椭圆2221(0)4x y m m+=>的一个焦点坐标为()1,0,∴241m -=,∴23m =,又0m >,∴m .故选D. 2.【答案】D【解析】由28=y x 可得其焦点坐标()2,0,根据点到直线的距离公式可得d =.故选D.3.【答案】D【解析】由椭圆定义可知,有122AF AF a ＋＝,122BF BF a ＋＝,∴2ABF △的周长221212224L AB AF BF AF AF BF BF a a a ++=+++==+=. 由题意可知225b ＝,28c =,∴216c =,225141a +==,∴a =,∴L =故选D.4.【答案】C【解析】∵焦点在y 轴上,∴23m m >－,由231m m --=得1m =或2-,选C. 5.【答案】C【解析】∵22b =,2c =∴1b =,c ∴222312a c b =-=-=,∴a =故渐近线方程为y =.故选C.6.【答案】C【解析】设抛物线的方程为22y px =,由题意知,点()10,12在抛物线上,∴21220p =,∴7.2p =.∴灯泡与反光镜的顶点距离为 3.6cm 2p=.故选C.7.【答案】B【解析】设所求双曲线方程为22(0)2x y λλ-=≠,又∵点2(2,)P -在双曲线上,∴442λ-=,∴2λ=-.所求双曲线的方程为22=124y x -.故选B.8.【答案】C【解析】∵2122lg lg lg =lg1=0a e e a++<,∴12lg lg 0e e +<.故选C. 9.【答案】A【解析】由条件知,双曲线的渐近线与此直线平行,∴tan 60ba=︒=∴b =,代入222a b c +=中得224a c =,∴24e =,∵1e >,∴2e =,故选A. 10.【答案】D【解析】双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为by x a =±,由点在渐近线上,所以b a=双曲线的一个焦点在抛物线2y=准线方程x =,所以c =由此可解得2a =,b =所以双曲线方程为24x －23y ＝1,故选D.11.【答案】B【解析】∵29a =,24b =,∴25c =.由椭圆定义知1226PF PF a +==, ∴221212236PF FP PF PF ++⋅=.在12F PF △中,由余弦定理得2221212122cos60||20PF PF PF PF F F ︒=+-⋅=,∴221212·20PF PF PF PF +=+,∴12316PF PF ⋅=,∴12163PF PF ⋅=.故选B. 12.【答案】C【解析】由已知得右焦点(),0F c (其中222c a b =+,0c >),1,()0A a -、()2,0A a ；2(,)b B c a -、2(,)b C c a ；从而21,b A B c a a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,22,b A C c a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,又因为12A B A C ⊥,所以120A B A C ⋅=,即22()()()()0b b c a c a a a -⋅++-⋅=；化简得到22b a ＝1,即双曲线的渐进线的斜率为1±；故选C.二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上) 13.【答案】【解析】由题意可知,抛物线的准线方程为2px =-,因为0p >,所以该准线过双曲线的左焦点,由双曲线的方程可知,左焦点坐标为(；故由2p=-可解得p =.14.【解析】在椭圆中a 2－b 2＝c 2,c a,∴2a b =,在双曲线中,a 2＋b 2＝c 2,且2a b=∴a 2＋214a ＝c 2,∴22c a ＝54,∴e ＝c a. 15.【答案】(0,4) 【解析】方程4x 2＋ky 2＝1可化为214x ＋21y k＝1,由题意得1k >14,∴0<k <4.16.【答案】③④ 【解析】显然当t ＝52时,曲线为x 2＋y 2＝32,方程表示一个圆；而当1<t <4,且t ≠52时,方程表示椭圆；当t <1或t >4时,方程表示双曲线；而当1<t <52时,4－t >t －1>0,方程表示焦点在x 轴上的椭圆,故③④为真命题.三、解答题(本大题共6个大题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.【答案】见解析.【解析】设点M 的坐标为(x ,y )、点A 的坐标为(x 0,y 0).由题意得004232x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩,∴002423x x y y =-⎧⎨=-⎩,又∵点A (x 0,y 0)在圆(x ＋1)2＋y 2＝4上, ∴(2x －3)2＋(2y －3)2＝4,即(x －32)2＋(y －32)2＝1. 故线段AB 的中点M 的轨迹是以点(32,32)为圆心,以1为半径的圆. 18.【答案】(1)43；.【解析】(1)求椭圆定义知|AF 2|＋|AB |＋|BF 2|＝4, 又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|,得|AB |＝43. (2)l 的方程式为y ＝x ＋c ,其中c ＝1－b 2,设A (x 1,y 1)、B (x 1,y 1),则A 、B 两点坐标满足方程组2221y x c y x b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,消去y 化简得(1＋b 2)x 2＋2cx ＋1－2b 2＝0.则x 1＋x 2＝221cb-+,x 1x 2＝22121b b -+. 因为直线AB 的斜率为1,所以|AB |＝2|x 2－x 1|,即43＝2|x 2－x 1|. 则()()()2242222121224141288()91114x x x b b b b b b x --=+-=-=+++,解得b. 19.【答案】(1)y 2＝4x ；(2)见解析. 【解析】(1)由题意得|MF |＝4＋2p＝5,∴p ＝2,故抛物线方程为y 2＝4x . (2)当直线l 的斜率不存在时,其方程为x ＝4.由244x y x =⎧⎨=⎩,得y ＝±4.∴|AB |＝8,∴||2AB ＝4,∴以AB 为直径的圆过原点. 当直线l 的斜率存在时,设其方程为y ＝k (x －4)(k ≠0).设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2),由()244y k x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩,得k 2x 2－(4＋8k 2)x ＋16k 2＝0,∴x 1＋x 2＝2248k k +,x 1x 2＝16.2212121212()()[()]44416y y k x x k x x x x =--=-++222222481632[16416](32)16k k k k k k +-=-⨯+=-=-,∴12120x x y y +=.又12120OA OB x x y y ⋅=+=,∴OA ⊥OB ,∴以AB 为直径的圆必过原点. 综上可知,以AB 为直径的圆必过原点. 20.【答案】(1)5；(2)22. 【解析】(1)由|AF 1|＝3|F 1B |及|AB |＝4得|AF 1|＝3,|F 1B |＝1,又∵2ABF △的周长为16,∴由椭圆定义可得4a ＝16,|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8. ∴|AF 2|＝2a －|AF 1|＝8－3＝5.(2)设|F 1B |＝k ,则k >0且|AF 1|＝3k ,|AB |＝4k , 由椭圆定义知：|AF 2|＝2a －3k ,|BF 2|＝2a －k ,在△ABF 2中,由余弦定理得,|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2||BF 2|cos ∠AF 2B , 即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )(2a －k ), ∴(a ＋k )(a －3k )＝0,而a ＋k >0,∴a ＝3k , 于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|,|BF 2|＝5k ,∴|BF 2|2＝|F 2A |2＋|AB |2,∴F 2A ⊥AB ,F 2A ⊥AF 1, ∴△AF 1F 2是等腰直角三角形,从而c ＝22a , 所以椭圆离心率为e ＝c a ＝22.21.【答案】(1)29y ＋28x＝1；(2)64±.【解析】(1)由C 1：x 2＝4y 知其焦点F 的坐标为(0,1),因为F 也是椭圆C 2的一个焦点,所以221a b -=　①；又C 1与C 2的公共弦长为26,C 1与C 2都关于y 轴对称,且C 1的方程为：x 2＝4y , 由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为(6±,32),∴294a＋26b ＝1 ②； 联立①②得a 2＝9,b 2＝8,故C 2的方程为29y ＋28x ＝1.(2)如图,设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)、C (x 3,y 3)、D (x 4,y 4),因AC 与BD 同向,且|AC |＝|BD |,所以AC =BD ,从而x 3－x 1＝x 4－x 2,即x 3－x 4＝x 1－x 2, 于是2234341212()(4)4x x x x x x x x +-=+-　③设直线l 的斜率为k ,则l 的方程为y ＝kx ＋1,由214y kx x y=+⎧⎨=⎩,得x 2－4kx －4＝0,由x 1、x 2是这个方程的两根,∴x 1＋x 2＝4k ,124x x =-　④由221189y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0,而x 3、x 4是这个方程的两根,x 3＋x 4＝21698k k -+, 3426498x x k +＝-⑤ 将④、⑤代入③,得16(k 2＋1)＝()226498k +＋246498k ⨯+.即16(k 2＋1)＝()()2222169198k k ⨯++,所以(9＋8k 2)2＝16×9,解得k ＝6, 即直线l 的斜率为6. 22.【答案】(1)216x ＋212y ＝1；(2)不存在,见解析.【解析】(1)设椭圆的方程22221(0,0)x y a b a b+=>>,∵F (2,0)是椭圆的右焦点,且椭圆过点A (2,3),∴22358c a =⎧⎨=+=⎩,∴24c a =⎧⎨=⎩,∵a 2＝b 2＋c 2,∴b 2＝12,故椭圆方程为216x ＋212y ＝1.(2)假设存在符合题意的直线l ,其方程y ＝32x ＋t . 由223211612y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,消去y ,得3x 2＋3tx ＋t 2－12＝0. ∵直线l 与椭圆有公共点,∴()22(312120)t t ∆=-≥-,解得－43≤t ≤4 3. 另一方面,由直线OA 与l 的距离等于4,可得＝4,∴t ＝±213.由于⎡±-⎣,故符合题意的直线l 不存在.。