第六节直线、平面平行与垂直的综合问题考点一立体几何中的探索性问题［典例］(2018全国卷川)如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧C D所在平面垂直，M是C D上异于c, D的点.⑴证明：平面AMD丄平面BMC.⑵在线段AM上是否存在点P,使得MC //平面PBD?说明理由.［解］(1)证明：由题设知，平面CMD丄平面ABCD，交线为CD.因为BC丄CD , 平面ABCD ,所以BC丄平面CMD，所以BC丄DM .因为M为C D上异于C, D的点，且DC为直径,所以DM丄CM.又BCn CM = C,所以DM丄平面BMC.因为DM ?平面AMD，所以平面AMD丄平面BMC .⑵当P为AM的中点时，MC //平面PBD.证明如下:连接AC交BD于0.因为四边形ABCD为矩形,所以0为AC的中点.所以MC // 0P.又MC?平面PBD, 0P?平面PBD ,所以MC //平面PBD.［题组训练］1.如图，三棱锥P-ABC中，PA丄平面ABC, PA = 1 , AB = 1, AC=2, / BAC= 60°.(1)求三棱锥P-ABC的体积;(2)在线段PC上是否存在点M，使得AC丄BM，若存在，请说明理由，并求MC的值.解：（1）由题设AB= 1 , AC = 2,/ BAC = 60°1可得ABC = 2 AB AC sin 60° =亍.由PA丄平面ABC，可知PA是三棱锥P-ABC的高,又FA= 1 ,所以三棱锥P-ABC的体积V= 3 &ABC PA晋. BC?连接0P,因为P为AM的中点,⑵在线段PC上存在点M，使得AC丄BM，证明如下: 如图，在平面ABCPA交PC于点M，连接由PA丄平面ABC,所以MN丄AC.因为BN n MN = N,又BM?平面MBN ,所以AC丄BM.1在Rt△ BAN 中，AN= AB •os/ BAC = ,3从而NC = AC-AN = 3,,....,,/曰PM AN 1 由MN// PA，得MC = AC = 1.2.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD丄平面ABCD，底面ABCD为正方形，BC= PD = 2, E为PC的中点，CB= 3CG.⑴求证：PC丄BC;(2)AD边上是否存在一点M，使得PA //平面MEG ?若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由.解：⑴证明：因为PD丄平面ABCD, BC?平面ABCD ,所以PD丄BC.因为四边形ABCD是正方形，所以BC丄CD.又PD n CD = D , PD?平面PCD , CD?平面PCD ,所以BC丄平面PCD.因为PC?平面PCD,所以PC 丄BC.⑵连接AC, BD交于点O, 连接EO , GO ,延长GO交AD于点M，连接EM，贝U PA //平面MEG.证明如下：因为E为PC的中点，O是AC的中点,所以EO // PA.因为EO?平面MEG , PA?平面MEG，所以PA //平面MEG.C2因为△ OCGOAM，所以AM = CG = -,3所以AM的长为|.2BP = DQ = -DA ，求三棱锥 Q-ABP的体积.解：(1)证明：由已知可得，/ BAC = 90°即BA 丄AC. 又因为 BA 丄 AD , ACn AD = A , 所以AB 丄平面ACD. 因为AB?平面ABC , 所以平面 ACD 丄平面 ABC.⑵由已知可得，DC = CM = AB = 3, DA = 3返. 2又 BP = DQ = 3DA ，所以 BP = ^/2.考点二平面图形的翻折问题［典例］(2018全国卷I )如图，在平行四边形 ABCM 中，AB = AC = 3,/ ACM = 90°.以AC 为折痕将^ ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB 丄 DA.(1)证明：平面 ACD 丄平面 ABC ;(2)Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且如图，过点Q作QE丄AC,垂足为E,则QE綊彳DC.3由已知及⑴可得，DC丄平面ABC,所以QE丄平面ABC, QE= 1.1 1 1因此，三棱锥Q-ABP 的体积为V Q-ABP= 1X Ss BP X QE = 3X3X ^f2sin 45 °X 1= 1.3 3 2［题组训练］1. (2019湖北五校联考)如图1所示，在直角梯形ABCD中，/ ADC = 90° AB // CD ,1AD = CD = 2AB = 2, E为AC的中点，将△ ACD沿AC折起，使折起后的平面ACD与平面ABC垂直，得到如图2所示的几何体D-ABC.(1)求证：BC丄平面ACD ;⑵点F在棱CD上，且满足AD //平面BEF，求几何体F-BCE的体积.解：⑴证明：••• AC^AD2+ CD2= 2羽,/ BAC = / ACD = 45°, AB = 4,•••在^ ABC 中，BC2= AC2+ AB2—2AC X ABX cos 45°= 8,••• AB2= AC2+ BC2= 16,.・. AC丄BC.•••平面ACD丄平面ABC，平面ACD n平面ABC = AC,••• BC丄平面ACD.（2）•/ AD //平面BEF , AD?平面ACD，平面ACD n 平面BEF = EF, • AD // EF,•/ E为AC的中点，••• EF为^ ACD的中位线，1由（1）知，几何体F-BCE的体积V F-BCE=V B-CEF = -X S A CEF X BC,3SA CEF = 4S A ACD = ^x 苏2 X 2 = 2,4 4 2 2•- V F-BCE = 1x Jx 272=*.2. (2018合肥二检)如图1，在平面五边形ABCDE中，AB // CE,且AE= 2, / AEC =60° CD = ED = 77, cos/ EDC = |.将^ CDE 沿CE 折起，使点D 到P 的位置，且AP ={3, 得到如图2所示的四棱锥P-ABCE.(1)求证：AP丄平面ABCE ;⑵记平面PAB与平面PCE相交于直线I，求证：AB/ I.证明：（1）在^ CDE 中，••• CD = ED = V7, cos/ EDC = 5,由余弦定理得CE = 2+ B 2-2X 萌X^7 x-7= 2.连接AC ,•/ AE= 2, / AEC = 60 °••• AC= 2.又AP=£,•••在^ PAE 中，AP2+ AE2= PE2,即AP丄AE.a 同理，AP丄AC.•/ ACn AE = A, AC?平面ABCE , AE?平面ABCE ,••• AP丄平面ABCE.(2) •/ AB// CE, 且CE?平面P CE, AB?平面PCE,••• AB/ 平面PCE.又平面PABn 平面PCE = l ,••• AB / l.［课时跟踪检测］1.如图，四棱锥 P-ABCD 的底面ABCD 是圆内接四边形(记此圆为 W)，且PA 丄平面ABCD.(1)当BD 是圆 W 的直径时，PA = BD = 2, AD = CD = A /3,求四棱锥 P-ABCD 的体积. (2)在(1)的条件下，判断在棱FA 上是否存在一点 Q ，使得BQ //平面PCD ?若存在，求出AQ 的长；若不存在，请说明理由.因为 BD = 2, AD =73，所以 AB = 1. 同理BC = 1,所以S 四边形ABCD = AB AD = ^3. 因为PA 丄平面 ABCD , PA = 2, 所以四棱锥P-ABCD 的体积 -1S四边形 ABCD PA = 2—3.2⑵存在，AQ =-理由如下.延长AB , DC 交于点E ,连接PE ,则平面PAB 与平面PCD 的交线是PE.AQ A B则 BQ // PE ,所以"PA = AB-.经计算可得 BE = 2，所以AE = AB + BE = 3,2.如图，侧棱与底面垂直的四棱柱 ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面是梯形，AB // CD , AB 丄AD , AA 1= 4, DC = 2AB , AB = AD = 3，点 M 在棱 A 1B 1 上，且 A 1M = -A 1 B 1.已知点 E 是直解：(1)点E 在线段CD 上且EC = 1,理由如下:在棱C 1D 1上取点N ,使得 D 1N = A 1M = 1,连接 MN , DN , 因为D 1N // A 1M ，所以四边形 D 1NMA 1为平行四边形, 所以MN 綊A 1D 1綊AD.所以四边形 AMND 为平行四边形，所以 AM // DN. 因为CE = 1,所以易知 DN // EC 1，所以AM // EC 1, 又 AM?平面 BC 1E , EC 1?平面 BC 1E , 所以AM //平面BC 1E.解：⑴因为BD 是圆W 的直径，所以 BA 丄AD , 假设在棱PA 上存在一点Q ，使得BQ //平面PCD ,2 所以AQ =|. 故存在这样的点 Q ，使BQ //平面PCD ,且2AQ= 3.线CD 上的一点,AM //平面 BC i E.(1)试确定点 E 的位置，并说明理由; (2)求三棱锥 M-BC i E 的体积.f )A M , F , L , A 四点共面,又 MF //平面 AD i E ,• MF // AL. •••四边形AMFL 为平行四边形, •AM =FL=i AB,豐=44.如图i 所示，在Rt △ ABC 中，/ ABC = 90° D 为AC 的中点，AE 丄BD 于点E(不同于点D),延长AE 交BC 于点F ，将△ ABD 沿BD 折起，得到三棱锥 A i -BCD ，如图2所示.故点E 在线段CD 上且EC = 1. ⑵由⑴知，AM //平面BC i E , 所以 V M-BC iE = V A-BC iE = V C i-ABE = 3^3 3 X 4= 6.3. (20i9湖北武汉部分学校调研 )如图i ，在矩形ABCD 中，AB = 4, AD = 2, E 是CD 的中 点,将^ ADE 沿AE 折起，得到如图2所示的四棱锥 D i -ABCE ，其中平面D i AE 丄平面ABCE.(1)证明：BE 丄平面 D i AE ;(2)设F 为CD i 的中点，在线段 AB 上是否存在一点 M ,使得MF //平面D i AE ,右存在，求出AB 的值；若不存在，请说明理由.AB解：（1）证明：•••四边形 ABCD 为矩形且 AD = DE = EC = BC = 2, A / AEB= 90° 即BE 丄AE , 又平面D i AE 丄平面 ABCE ，平面 D i AE n 平面 ABCE = AE ,A BE 丄平面 D i AE.⑵当AB =4时,MF //平面D i AE ，理由如下：取 D i E 的中点L ,连接FL ,••• FL // EC ，又 EC // AB , ••• FL // AB ，且⑴若M是FC的中点，求证：直线DM //平面A i EF.⑵求证：BD丄A i F.⑶若平面A i BD丄平面BCD，试判断直线A i B与直线CD能否垂直？请说明理由.解：⑴证明：••• D, M分别为AC, FC的中点，••• DM // EF,又E F?平面A i EF, DM?平面A i EF,••• DM // 平面A i EF .(2)证明：• EF 丄BD , A i E丄BD, A i E n EF = E,A i E?平面A i EF, EF?平面A i EF,••• BD 丄平面A i EF,又A i F?平面A i EF ,••• BD 丄A i F.⑶直线A i B与直线CD不能垂直.理由如下:• •平面BCD丄平面A i BD，平面BCD n平面A i BD = BD , EF丄BD, EF?平面BCD , ••• EF 丄平面A i BD,又• A i B?平面A i BD ,••• A i B 丄EF ,又• DM // EF, • A i B 丄DM.假设A i B 丄CD , • DM n CD = D,•- A i B丄平面BCD ,•- A i B丄BD，与/ A i BD为锐角矛盾,•••直线A i B与直线CD不能垂直.5. （20i9河南名校联考）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是梯形，AB / CD , AD = DC = CB= a, / ABC = 60°四边形ACFE是矩形，且平面ACFE丄平面ABCD，点M在线段EF上.2.易知EF = AC = ^a，所以AN =学a.3因为V3 EM^33a，所以皿2 2^3 MF= 2EF= 3 a，所以MF 綊AN,所以四边形ANFM是平行四边形,所以AM // NF,又NF?平面BDF , AM?平面BDF ,所以AM //平面BDF.6.如图所示的五面体ABEDFC中，四边形ACFD是等腰梯形，AD // FC，/ DAC = 60°BC 丄平面ACFD , CA= CB = CF = 1, AD = 2CF，点G为AC的中点.(1)在AD上是否存在一点H，使明；若不存在，说明理由；GH //平面BCD?若存在，指出点H的位置并给出证(2)求三棱锥G-ECD的体积.解：(1)存在点H使GH //平面BCD，此时H为AD的中点•证明如下. 取点H为AD的中点，连接GH ,因为点G为AC的中点,所以在△ ACD中，由三角形中位线定理可知GH // CD,又GH?平面BCD, CD?平面BCD ,所以GH //平面BCD. = = = ■⑴求证：BC丄平面ACFE;⑵当EM为何值时，AM //平面BDF ?证明你的结论.解：(1)证明：在梯形ABCD 中，因为AB // CD , AD = DC = CB = a, / ABC= 60°所以四边形ABCD是等腰梯形，且/ DCA =/ DAC = 30° / DCB = 120°所以/ ACB =/ DCB-/ DCA = 90° 所以AC 丄BC.又平面ACFE丄平面ABCD，平面ACFE n平面ABCD = AC, BC?平面ABCD ,所以BC丄平面ACFE.(2)当EM月a时，AM //平面BDF，理由如下:如图，在梯形ABCD 中，设ACn BD = N，连接FN.由⑴知四边形ABCD 为等腰梯形，且/ ABC = 60° 所以AB = 2DC，贝U CN : NA = 1 :DAitA f)(2)因为AD // CF , AD?平面ADEB , CF?平面ADEB ,所以CF //平面ADEB ,因为CF?平面CFEB，平面CFEB n平面ADEB = BE,所以CF // BE,又CF?平面ACFD , BE?平面ACFD ,所以BE //平面ACFD ,所以V G-ECD = V E-GCD = V B-GCD .因为四边形ACFD是等腰梯形，/ DAC = 60° AD = 2CF = 2AC，所以/ ACD = 90°1又CA= CB= CF = 1,所以CD =护，CG =㊁,又BC丄平面ACFD ,所以V B-GCD = 3 X 2cGX CD X BC = fx 舟X 护X 1 =鲁.所以三棱锥G-ECD的体积为鲁.。