故原方程组的通解为
x c11
其中c1为任意常数.
例 2 ·求下面齐次线性方程组的一个 基础解系 。
x1 - 2x3 3x3 - 4x4 0 x2 - x3 x4 0 x1 3x2 x4 0
齐次线性方程组求全部解的图示：
系数矩阵 初等行变换
阶梯形矩阵
定自由 未知量 初等行
变换
非零行数 = 未知量个数 ？ 否
x1 x2 x3 4x4 -3x5 0, 例 求解线性齐次方程组 2x1x1-x2x233x3x3-25x4x4--x55 x50, 0,
3x1 x2 5x3 6x4 -7x5 0.
1 1 1 4 - 3
1 0 2 1 - 2
解
A
2 1
1 3 5 - 5 初等行变换 0
-1 3 -2 -1
r2 -2r1 r3 - r1
1 0 0
2 -3 -3
2 -6 -6
1 - 4 - 4
1 2 2 1
1 0 - 2 -5/ 3
r3 -r2 r2(-3)
0 0
1 0
2 0
4 / 3
r1 -2r2
0
0
0
1 0
2 0
4/ 3
0
(2) 由标准阶梯形得到方程组为 x x12- 22xx33- ((54//33))xx44 00,.
§6.2齐次线性方程组解的结构
一. 齐次线性方程组解的结构
1. 解向量 齐次线性方程组 Ax0,
若 x 1 1 , x 2 1 2 , , 1 x n n 1 为方程A x0的解，则
11 x121 n 1
称为方程组的解向量.
湘潭大学数学学院 岳慧
2
2. 基础解系
当 r(A)n时，有无穷解, 其解向量为 n 维向量. 故这无穷个解必存在一个极大线性无关组
定义1. 齐次线性方程组解的集合的一个极大线性 无关组，称为该方程组的一个基础解系.
若 1 ,2 , ,t是齐次 A 0 x 的 线基 性 ,则 础
(1 )1 ,2, ,t是 A x 0 的一组 的 ;线 解
( 2 )A 0 x 的任1 一 ,2 , ,t线 解. 性 都
即方程组的通解就是
湘潭大学数学学院 岳慧 x k11 k22 ktt
4
定理4.6.2. 当 r (A) < n 时，齐次线性 方程组的基础解系含有 n-r 个解向量.
湘潭大学数学学院 岳慧
5
例 求解齐次线性方程组
解 (1) 对系数矩阵施行初等行变换化为标准阶梯形
1 A2
1
2 1 -1
2 -2 -4
1 -2 -3
故原方程组的通解为 xc11c22c33，
其中c1,c2,c3为任意常数。
例 1 ·求下面齐次线性方程组的一个基 础解系 。
x1 x2
- 3x4 0
4xx11--x22x2
2x3 - x4 6x3 3x4
0 0
1
2x1 4x2 -2x3 4x4 0
1 1 0 - 3
1 - 1 2 - 1
0
1 0
-1 0
3 0
-1 0
3 1 5 6 - 7
0 0 0 0 0
由于 n - r (A ) 5 - 2 3 ,故方程组有无穷多解， 其基础解系中有三个线性无关的解向量。
得到方程组的一个基础解系为
- 2 1
1
1 0 0
,
-
1 3
2
0 1 0
,
2 1
3
0
0 1
.
4 2
-2 4
6 -2
3 4
1 1 0 - 3 0 - 2 2 2
0 0
0 0
0 0
1 0
1 1 0 - 3
0 - 2 2 2
00
-6 2
6 -2
15 - 10
1 0 1 0 0 1 -1 0
0 0
0 0
0 0
1 0
代入
x x
1 2
-c1 c1
x
4
0
x 3 c 1
(3) 由此得到方程组的解： (4) 写成向量形式为:
x 1 2c1 (5 / 3)c2
x 2 -2c1 - (4 / 3)c2
x 3
c1
x 4
c2
其中 c1 ,c 2 任意取值。
x1
x2
x3
x4
c1-
2 2
01
c2-
5 / 3 4/3
0 1
故原方程组的通解为
x c11 c22，
简化 阶梯形矩阵
方程组有无穷多解 可写出一般解 自由未知 量适当取值 基础解系
是
线性组合
方程组有唯一零解
写出全部解
14
习题4.6 3(2)