2020-2021学年黑龙江省哈师大附中高一（上）第一次月考数学试卷（10月份）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）设集合M＝{1，3，5}，N＝{2，4，5}，则M∪N＝（）A．{5}B．{3，5}C．{2，4，5}D．{1，2，3，4，5} 2．（5分）设集合U＝R，A＝{x|x2＞3x}，B＝{x|x≤2}，则（∁U A）∩B＝（）A．{x|0＜x≤2}B．{x|0≤x≤2}C．{x|x＜0}D．{x|2＜x≤3} 3．（5分）函数f（x）＝的定义域为（）A．[1，2）∪（2，+∞）B．（1，+∞）C．[1，2）D．[1，+∞）4．（5分）命题p：∀x＞1，x3＞x2的否定形式为（）A．∀x＞1，x3≤x2B．∃x＞1，x3＞x2C．∃x≤1，x3≤x2D．∃x＞1，x3≤x2 5．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x＝0}，B＝{x∈N|x2﹣5x≤0}，若A⊆M⫋B，则满足条件的集合M的个数为（）A．7B．8C．15D．166．（5分）若a＜b＜0，则下列结论中不恒成立的是（）A．|a|＞|b|B．C．a2+b2＞2ab D．ac2＜bc27．（5分）设p：0＜x＜1，q：（x﹣a）[x﹣（a+2）]≤0，若p是q的充分而不必要条件，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，0]B．（﹣1，0）C．（﹣∞，0]∪[1+∞，）D．（﹣∞，﹣1）∪（0+∞，）8．（5分）M＝{x|6x2﹣5x+1＝0}，P＝{x|ax＝1}，若M∩P＝P，则实数a的取值集合为（）A．{2}B．{3}C．{2，3}D．{0，2，3} 9．（5分）若x，y∈R，则下列不等式一定成立的是（）A．B．C．x2+y2≥2x﹣4y﹣5D．x2+y2＜2x﹣4y﹣510．（5分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+2m﹣1＝0的两个不相等的实数根，且满足x12+x22＝18，则实数m的值是（）A．﹣3B．5C．﹣5或3D．5或﹣311．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，且对任意x∈R均满足：2f（x）﹣f（﹣x）＝3x+1，则函数f（x）的解析式为（）A．f（x）＝x+1B．f（x）＝x﹣1C．f（x）＝﹣x+1D．f（x）＝﹣x﹣1 12．（5分）若关于x的不等式（2x﹣a）（x﹣a+2）＜0的整数解只有0，则实数a的取值范围是（）A．[2，3）B．（2，3]C．[1，2）D．（1，2]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上.）13．（5分）已知函数，若f（f（1））＝﹣1，则a＝．14．（5分）y＝f（x）的定义域为[﹣1，3]，则函数y＝f（x2﹣1）的定义域为．15．（5分）已知函数f（2x﹣1）＝x2﹣x+，则f（x）＝．16．（5分）已知函数f（x）＝tx2﹣6x+2t2，若关于x的不等式f（x）≥0的解集为[a，1]，则a＝；若函数g（x）＝2x﹣2a，，则函数h（x）的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）解下列不等式：（1）x+3﹣2x2＜0；（2）．18．（12分）已知集合A＝{x|﹣2＜x＜7}，B＝{x|a≤x≤3a﹣2}．（1）若a＝4，求A∪B、（∁R A）∩B；（2）若A∪B＝A，求实数a的取值范围．19．（12分）已知集合，B＝{x|x2﹣（3m+1）x+2m（m+1）＝0}．（1）若“命题p：∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围；（2）若“命题q：∃x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围．20．（12分）已知函数，且f（﹣2）＝f（2）．（1）求实数a的值；（2）求不等式f（x）≥f（4）的解集．21．（12分）已知二次函数f（x）＝ax2+bx的最小值为f（1）＝﹣1．（1）求函数f（x）的解析式；（2）解关于x的不等式：f（x）＜（m2+2m﹣2）x﹣2m3．22．（12分）已知函数f（x）＝（a2+2）x2﹣2ax+1，g（x）＝3ax2﹣（a+1）x．（1）若x∈[﹣1，1]时，f（x）的最大值为6，求实数a的值；（2）若对∀x∈（0，+∞），不等式f（x）＞g（x）恒成立，求实数a的取值范围．2020-2021学年黑龙江省哈师大附中高一（上）第一次月考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）设集合M＝{1，3，5}，N＝{2，4，5}，则M∪N＝（）A．{5}B．{3，5}C．{2，4，5}D．{1，2，3，4，5}【分析】直接求出即可．【解答】解：集合M＝{1，3，5}，N＝{2，4，5}，则M∪N＝{1，2，3，4，5}，故选：D．【点评】考查集合的并集运算，基础题．2．（5分）设集合U＝R，A＝{x|x2＞3x}，B＝{x|x≤2}，则（∁U A）∩B＝（）A．{x|0＜x≤2}B．{x|0≤x≤2}C．{x|x＜0}D．{x|2＜x≤3}【分析】可解出集合A，然后进行交集、补集的运算即可．【解答】解：A＝{x|x＜0，或x＞3}；∴∁U A＝{x|0≤x≤3}；∴（∁U A）∩B＝{x|0≤x≤2}；故选：B．【点评】本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答．3．（5分）函数f（x）＝的定义域为（）A．[1，2）∪（2，+∞）B．（1，+∞）C．[1，2）D．[1，+∞）【分析】利用分式分母不为零，偶次方根非负，得到不等式组，求解即可．【解答】解：由题意解得x∈[1，2）∪（2，+∞）故选：A．【点评】本题是基础题，考查函数定义域的求法，注意分母不为零，偶次方根非负，是解题的关键．4．（5分）命题p：∀x＞1，x3＞x2的否定形式为（）A．∀x＞1，x3≤x2B．∃x＞1，x3＞x2C．∃x≤1，x3≤x2D．∃x＞1，x3≤x2【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：∀x＞1，x3＞x2的否定形式￢p为：∃x＞1，x3≤x2．故选：D．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是对基本知识的考查．5．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x＝0}，B＝{x∈N|x2﹣5x≤0}，若A⊆M⫋B，则满足条件的集合M的个数为（）A．7B．8C．15D．16【分析】可以求出集合A＝{0，1}，B＝{0，1，2，3，4，5}，然后根据A⊆M⫋B可知：集合M一定含0，1两个元素，可能含2，3，4，5中的3个元素，从而可得出集合M的个数．【解答】解：A＝{0，1}，B＝{0，1，2，3，4，5}，∵A⊆M⫋B，∴集合M一定含有0，1两个元素，可能含有2，3，4，5四个元素中的3个元素，∴满足条件的集合M的个数为24﹣1＝15．故选：C．【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，子集和真子集的定义，真子集的个数的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．6．（5分）若a＜b＜0，则下列结论中不恒成立的是（）A．|a|＞|b|B．C．a2+b2＞2ab D．ac2＜bc2【分析】由不等式的基本性质逐一判断即可．【解答】解：若a＜b＜0，则﹣a＞﹣b＞0，∴|a|＞|b|，故A正确；若a＜b＜0，显然，故B正确；若a＜b＜0，则a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2＞0，即a2+b2＞2ab，故C正确；若a＜b＜0，c＝0，则ac2＝bc2，故D不一定恒成立．故选：D．【点评】本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题．7．（5分）设p：0＜x＜1，q：（x﹣a）[x﹣（a+2）]≤0，若p是q的充分而不必要条件，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，0]B．（﹣1，0）C．（﹣∞，0]∪[1+∞，）D．（﹣∞，﹣1）∪（0+∞，）【分析】解一元二次不等式，化简命题q，根据p是q的充分不必要条件得到a≤0，且2+a≥1，求出实数a的取值范围．【解答】解：命题q：（x﹣a）[x﹣（a+2）]≤0，即a≤x≤2+a．由题意得，命题p成立时，命题q一定成立，但当命题q成立时，命题p不一定成立．∴a≤0，且2+a≥1，解得﹣1≤a≤0，故选：A．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，充分条件、必要条件的定义，判断a≤0，且2+a ≥1是解题的难点．8．（5分）M＝{x|6x2﹣5x+1＝0}，P＝{x|ax＝1}，若M∩P＝P，则实数a的取值集合为（）A．{2}B．{3}C．{2，3}D．{0，2，3}【分析】求出M＝{，}，推导出P⊆M，从而P＝∅，或P＝{}，或P＝{}，由此能求出实数a的取值集合．【解答】解：∵M＝{x|6x2﹣5x+1＝0}＝{，}，P＝{x|ax＝1}，M∩P＝P，∴P⊆M，∴P＝∅，或P＝{}，或P＝{}，∴a＝0，或a＝2，或a＝3．∴实数a的取值集合为{0，2，3}．故选：D．【点评】本题考查实数的取值集合的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．（5分）若x，y∈R，则下列不等式一定成立的是（）A．B．C．x2+y2≥2x﹣4y﹣5D．x2+y2＜2x﹣4y﹣5【分析】利用特殊值法可判断选项A，B；利用作差法可判断选项C，D．【解答】解：对于A，当x＝0时，＝0，故A错误；对于B，当x＝1时，＝，故B错误；对于C，D，x2+y2﹣（2x﹣4y﹣5）＝x2+y2﹣2x+4y+5＝（x﹣1）2+（y+2）2≥0，当且仅当x＝1，y＝﹣2时等号成立，故C正确，D错误．故选：C．【点评】本题主要考查不等式的基本性质，以及特值法与作差法的运用，属于基础题．10．（5分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+2m﹣1＝0的两个不相等的实数根，且满足x12+x22＝18，则实数m的值是（）A．﹣3B．5C．﹣5或3D．5或﹣3【分析】由根与系数的关系，可得x1+x2＝m+1，x1•x2＝2m﹣1，又由x12+x22＝18，即可求得m的值．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+2m﹣1＝0的两个不相等的实数根，∴△＝（m+1）2﹣4（2m﹣1）＝（m﹣5）（m﹣1）＞0，∴m＞5或m＜1，∵x1+x2＝m+1，x1•x2＝2m﹣1，又∵x12+x22＝﹣2x1x2＝18，解得：m＝5或m＝﹣3，∴m＝﹣3，故选：A．【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系与判别式的应用．此题难度适中，注意掌握如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根，那么有x1+x2＝﹣，x1x2＝的应用．11．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，且对任意x∈R均满足：2f（x）﹣f（﹣x）＝3x+1，则函数f（x）的解析式为（）A．f（x）＝x+1B．f（x）＝x﹣1C．f（x）＝﹣x+1D．f（x）＝﹣x﹣1【分析】利用方程思想求解函数的解析式即可．【解答】解：函数f（x）对任意的x∈R都满足2f（x）﹣f（﹣x）＝3x+1，…①，则2f（﹣x）﹣f（x）＝﹣3x+1，…②，①×2+②可得：3f（x）＝3x+3，可得f（x）＝x+1．f（x）的解析式为f（x）＝x+1．故选：A．【点评】本题考查函数的解析式的求法，考查函数与方程的思想的应用，考查计算能力．12．（5分）若关于x的不等式（2x﹣a）（x﹣a+2）＜0的整数解只有0，则实数a的取值范围是（）A．[2，3）B．（2，3]C．[1，2）D．（1，2]【分析】根据一元二次不等式的解集，即可求得a的取值范围．【解答】解：由（2x﹣a）（x﹣a+2）＜0得或，解得，当a＞4时，＜x＜a﹣2；当a＜4时，a﹣2，当a＝4时，不等式无解，∵不等式（2x﹣a）（x﹣a+2）＜0的整数解只有0，∴当a＞4时，﹣1≤＜0＜a﹣2≤1，无解，当a＜4时，﹣1≤a﹣2＜0＜≤1，解得1≤a＜2．故选：C．【点评】本题考查不等式的解法，考查运算能力，属于基础题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上.）13．（5分）已知函数，若f（f（1））＝﹣1，则a＝3．【分析】根据题意，由函数的解析式可得f（1）＝3，由此可得f（f（1））＝f（﹣3）＝＝﹣1，计算可得答案．【解答】解：根据题意，函数，则f（1）＝﹣4+1＝﹣3，则f（f（1））＝f（﹣3）＝＝﹣1，解可得a＝3，故答案为：3【点评】本题考查函数值的计算，注意分段函数解析式的形式，属于基础题．14．（5分）y＝f（x）的定义域为[﹣1，3]，则函数y＝f（x2﹣1）的定义域为{x|﹣2≤x≤2}．【分析】由函数f（x）的定义域为[﹣1，3]，知在函数y＝f（x2﹣1）中，﹣1≤x2﹣1≤3，由此能求出函数y＝f（x2﹣1）的定义域．【解答】解：∵函数f（x）的定义域为[﹣1，3]，∴﹣1≤x≤3∴在函数y＝f（x2﹣1）中，﹣1≤x2﹣1≤3，解得﹣2≤x≤2故函数y＝f（x2﹣1）的定义域为：{x|﹣2≤x≤2}，故答案为：{x|﹣2≤x≤2}，【点评】本题考查函数的定义域及其解法，是基础题．解题时要认真审题，注意等号．15．（5分）已知函数f（2x﹣1）＝x2﹣x+，则f（x）＝．【分析】利用换元法，再将变量换作x，即可求得结论．【解答】解：令t＝2x﹣1，则x＝，∴f（t）＝（）2﹣（）+＝∴f（x）＝故答案为：．【点评】本题考查函数解析式的求解，正确运用换元法是关键．16．（5分）已知函数f（x）＝tx2﹣6x+2t2，若关于x的不等式f（x）≥0的解集为[a，1]，则a＝﹣4；若函数g（x）＝2x﹣2a，，则函数h（x）的最大值为8．【分析】由f（x）≥0的解集为[a，1]，可得x＝a，x＝1是方程tx2﹣6x+2t2＝0的两个根，且t＜0，a＜1，可得a的值；解得f（x）≤g（x）时，可得x的范围，进而求出h（x）的解析式，可得其函数的单调性，进而求出h（x）的最大值．【解答】解：f（x）＝tx2﹣6x+2t2≥0的解集为[a，1]，可得x＝a，x＝1是方程tx2﹣6x+2t2＝0的两个根，且t＜0，所以，解得a＝﹣4，所以f（x）＝﹣2x2﹣6x+8，g（x）＝2x﹣2a＝2x+8，当f（x）≤g（x）时，即﹣2x2﹣6x+8≤2x+8，解得：x≤﹣4或x≥0，则f（x）＞g（x）时，可得﹣4＜x＜0，所以由题意可得h（x）＝，①当x≤﹣4或x≥0时h（x）＝f（x）＝﹣2x2﹣6x+8，开口向下，对称轴x＝﹣3∉{x|x≤﹣4或x≥0}，因为|0﹣（﹣3）|＞|﹣4﹣（﹣3）|，所以f（x）max＝f（0）＝8，②当﹣4＜x＜0时，h（x）＝2x+8单调递增，没有最大值，且h（x）＜h（0）＝8，综上所述h（x）的最大值为8．故答案为：﹣4；8．【点评】本题考查函数与不等式之间的转化，及二次函数的性质，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）解下列不等式：（1）x+3﹣2x2＜0；（2）．【分析】利用一元二次不等式及分式不等式的解法解题即可．【解答】解：（1）由不等式为2x2﹣x﹣3＞0，得（2x﹣3）（x+1）＞0，解得x＜﹣1或x＞，∴不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（，+∞）．（2）化原不等式为，即≤0，即≤0，即解得x≤﹣2或1＜x≤4，∴不等式的解集为（﹣∞，﹣2]∪（1，4]．【点评】本题考查一元二次不等式及分式不等式的解法，考查不等式的变形及其解法，属于基础题．18．（12分）已知集合A＝{x|﹣2＜x＜7}，B＝{x|a≤x≤3a﹣2}．（1）若a＝4，求A∪B、（∁R A）∩B；（2）若A∪B＝A，求实数a的取值范围．【分析】（1）由a＝4时求出集合B，再根据交集、并集和补集的定义计算即可；（2）根据A∪B＝A得B⊆A，讨论B＝∅时和B≠∅时，求出对应实数a的取值范围．【解答】解：（1）a＝4时，集合A＝{x|﹣2＜x＜7}＝（﹣2，7），B＝{x|a≤x≤3a﹣2}＝{x|4≤x≤10}＝[4，10]，所以A∪B＝（﹣2，10]；又∁R A＝（﹣∞，﹣2]∪[7，+∞），所以∁R A∩B＝[7，10]；（2）由A∪B＝A，得B⊆A，①当B＝∅时，a＞3a﹣2，解得a＜1；②B≠∅时，应满足，解得，即1≤a＜3；综上知，实数a的取值范围是a＜3．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，也考查了分类讨论思想，是基础题．19．（12分）已知集合，B＝{x|x2﹣（3m+1）x+2m（m+1）＝0}．（1）若“命题p：∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围；（2）若“命题q：∃x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围．【分析】（1）直接利用一元二次不等式和分式不等式之间的关系和集合间的关系求出参数的取值范围．（2）利用存在性问题的应用和不等式的解法的应用求出参数的取值范围．【解答】解：集合，解得：A＝（﹣1，1），B＝{x|x2﹣（3m+1）x+2m（m+1）＝0}．整理得B＝{x|（x﹣2m）[x﹣（m+1）]＝0}．（1）若“命题p：∀x∈B，x∈A”是真命题，所以B⊆A，所以，整理得．（2）若“命题q：∃x∈B，x∈A”是真命题，所以：﹣1＜2m＜1，或﹣1＜m+1＜1，整理得，所以．【点评】本题考查的知识要点：一元二次不等式的解法，分式不等式的解法，集合间的关系，存在性问题和恒成立问题，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．20．（12分）已知函数，且f（﹣2）＝f（2）．（1）求实数a的值；（2）求不等式f（x）≥f（4）的解集．【分析】（1）由分段函数解析式及f（﹣2）＝f（2）可得关于a的方程，求解即可；（2）求出f（4）＝8，分别求得当x≤0和x＞0时不等式的解，然后取并集即可得解．【解答】解：（1）∵f（﹣2）＝f（2），∴4＝2×2+a，解得a＝0．（2）由（1）知，，且f（4）＝8，所以不等式f（x）≥f（4）可化为f（x）≥8，所以或或x≥4，所以不等式的解集为（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）．【点评】本题考查分段函数的运用：求函数值和解不等式，考查运算能力，属于中档题．21．（12分）已知二次函数f（x）＝ax2+bx的最小值为f（1）＝﹣1．（1）求函数f（x）的解析式；（2）解关于x的不等式：f（x）＜（m2+2m﹣2）x﹣2m3．【分析】（1）由题意设顶点式函数解析式，展开由题意可得a，b的值，可得函数的解析式；（2）由（1）可整理不等式（x﹣m2）（x﹣2m）＜0，分m2与2m的大小解不等式的解集．【解答】解：（1）f（x）＝a（x﹣1）2﹣1，∴ax2﹣2ax+a﹣1＝ax2+bx∴∴f（x）＝x2﹣2x；（2）x2﹣2x＜（m2+2m﹣2）x﹣2m3，x2﹣（m2+2m）x+2m3＜0，（x﹣m2）（x﹣2m）＜0，1．m2＝2m，即m＝0或2时，（x﹣2m）2＜0，∴m∈∅；2．m2＜2m，即0＜m＜2时，m2＜x＜2m；，3．m2＞2m，即m＜0或m＞2时，2m＜x＜m2；综上，m＝0或2时，解集为∅，0＜m＜2时，解集为（m2，2m）；m＜0或m＞2时，解集为（2m，m2）．【点评】本题考查二次函数的解析式的求法及分类讨论思想，属于中档题．22．（12分）已知函数f（x）＝（a2+2）x2﹣2ax+1，g（x）＝3ax2﹣（a+1）x．（1）若x∈[﹣1，1]时，f（x）的最大值为6，求实数a的值；（2）若对∀x∈（0，+∞），不等式f（x）＞g（x）恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）求得f（x）的对称轴，讨论a≥0，a＜0，讨论对称轴与区间[﹣1，1]的关系，可得函数f（x）的最大值，解方程可得所求值；（2）原不等式等价为∀x＞0，（a2﹣3a+2）x2﹣（a﹣1）x+1＞0*恒成立．讨论a2﹣3a+2＝0，a2﹣3a+2＞0，a2﹣3a+2＜0，结合函数y＝（a2﹣3a+2）x2﹣（a﹣1）x+1的最值，即可得到所求范围．【解答】解：（1）f（x）＝（a2+2）x2﹣2ax+1，对称轴，①a≥0，﹣1＜＜1，且+1＞1﹣，∴x∈[﹣1，1]时，y max＝f（﹣1），∴a2+2+2a+1＝6，即a2+2a﹣3＝0，即（a+3）（a﹣1）＝0，∵a≥0，∴a＝1；②a＜0，1+＝＞0，即＞﹣1，且+1＜1﹣，可得y max＝f（1），即a2+2﹣2a+1＝6，∴a2﹣2a﹣3＝0（a+3）（a+1）＝0，∵a＜0，∴a＝﹣1．综上，a＝±1．（2）∀x＞0，（a2+2）x2﹣2ax+1＞3ax2﹣（a+1）x恒成立，即∀x＞0，（a2﹣3a+2）x2﹣（a﹣1）x+1＞0*恒成立．①a2﹣3a+2＝0，即a＝1或a＝2时，若a＝1，1＞0恒成立，则满足题意，所以a＝1；若a＝2，﹣x+1＞0，仅存x＜1成立，所以舍去．②（1）当a2﹣3a+2＞0⇒a＜1或a＞2时，y＝（a2﹣3a+2）x2﹣（a﹣1）x+1，对称轴，a＜1时，，x＞0时*式恒成立．所以a＜1；a＞2时，，则x＞0时或，即．（2）当a2﹣3a+2＜0即1＜a＜2时，x→+∞，y＜0，所以舍去．综上，a≤1或．【点评】本题考查二次函数的最值求法和不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和化简运算能力、推理能力，属于中档题．。