2005年高考数学广东卷试题及答案第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若集合}03|{},2|||{2=-=≤=x x x N x x M ，则M ∩N=（ ）A ．{3}B ．{0}C ．{0，2}D ．{0，3}2．若i b i i a -=-)2(，其中a 、b ∈R ，i 是虚数单位，则22b a += （ ）A ．0B ．2C ．25D ．5 3．93lim 23-+-→x x x =（ ）A ．61-B ．0C ．61 D ．314．已知高为3的直棱柱ABC —A ′B ′C ′的底面是边长为1的正三 角形（如图1所示），则三棱锥B ′—ABC 的体积为（ ）A ．41B ．21 C ．63 D ．43 5．若焦点在x 轴上的椭圆1222=+myx 的离心率为21，则m=（ ）A ．3B ．23C ．38 D ．32 6．函数13)(23+-=x x x f 是减函数的区间为（ ）A ．),2(+∞B ．)2,(-∞C ．)0,(-∞D ．（0，2）7．给出下列关于互不相同的直线m 、l 、n 和平面α、β的四个命题：①若不共面与则点m l m A A l m ,,,∉=⋂⊂αα；②若m 、l 是异面直线，ααα⊥⊥⊥n m n l n m l 则且,,,//,//； ③若m l m l //,//,//,//则βαβα；④若.//,//,//,,,βαββαα则点m l A m l m l =⋂⊂⊂ 其中为假命题的是 （ ）A ．①B ．②C ．③D ．④8．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的点数分别为X 、Y ，则1log 2=Y X 的概率为（ ）A ．61 B ．365 C ．121 D ．219．在同一平面直角坐标系中，函数)(x f y =和)(x g y =的图象关于直线x y =对称. 现将如图1)(x g y =的图象沿x 轴向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移1个单位，所得的图象是由两条线段组成的折线（如图2所示），则函数)(x f 的表达式为（ ）A ．⎪⎩⎪⎨⎧≤<+≤≤-+=20,2201,22)(x x x x x fB ．⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤--=20,2201,22)(x x x x x fC ．⎪⎩⎪⎨⎧≤<+≤≤-=42,1221,22)(x x x x x fD ．⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤-=42,3221,62)(x x x x x f10．已知数列===+==∞→--12112,2lim .,4,3),(21,2}{x x n x x x x x x n n n n n n 则若满足 （ ）A ．23B ．3C ．4D ．5第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 11．函数xex f -=11)(的定义域是 .12．已知向量,//),6,(),3,2(x 且==则x = . 13．已知5)1cos (+θx 的展开式中2x 的系数与4)45(+x 的展开式中x 3的系数相等，则θcos = .14．设平面内有n 条直线（n ≥3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点.若用)(n f 表示这n 条直线交点的个数，则)4(f = ；当n>4时， )(n f = .（用n 表示）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分12分）化简),,)(23sin(32)2316cos()2316cos()(Z k R x x x k x k x f ∈∈++--+++=πππ并求函数)(x f 的值域和最小正周期.如图216．（本小题满分14分）如图3所示，在四面体P —ABC 中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB=342.F 是线段PB 上一点，341715=CF ，点E 在线段AB 上，且EF ⊥PB. （Ⅰ）证明：PB ⊥平面CEF ； （Ⅱ）求二面角B —CE —F 的大小.17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系x Oy 中，抛物线y=x 2上异于坐标原点O 的两不同动点A 、B 满足AO ⊥BO （如图4所示）.（Ⅰ）求△AOB 的重心G （即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；（Ⅱ）△AOB 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.18．（本小题满分12分）箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球，黄、白乒乓球的数量比为s:t.现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过n 次，以ξ表示取球结束时已取到白球的次数.（Ⅰ）求ξ的分布列； （Ⅱ）求ξ的数学期望. 19．（本小题满分14分）设函数)7()7(),2()2(),()(x f x f x f x f x f +=-+=-+∞-∞上满足在，且在闭区间[0，7]上，只有.0)3()1(==f f （Ⅰ）试判断函数)(x f y =的奇偶性；（Ⅱ）试求方程0)(=x f 在闭区间[－2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论. 20．（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为2，宽为1，AB 、AD 边分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合（如图5所示）.将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上.如图4（Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为k ，试写出折痕所在直线的方程； （Ⅱ）求折痕的长的最大值.2005年高考数学广东卷试题及答案参考答案一、选择题1B 2D 3A 4D 5B 6D 7C 8C 9A 10B 二、填空题11.{x|x<0} 12.4 13.22± 14. 5, )1)(2(21+-n n三、解答题15．解：()cos(22)cos(22)sin(2)333f x k x k x x πππππ=+++--++2cos(2)sin(2)4cos 233x x x ππ=+++=函数f(x)的值域为4-;函数f(x)的周期πωπ==2T ； 16．（I ）证明：∵2221006436PC AC PA ==+=+∴△PAC 是以∠PAC 为直角的直角三角形，同理可证△PAB 是以∠PAB 为直角的直角三角形，△PCB 是以∠PCB 为直角的直角三角形 故PA ⊥平面ABC又∵3061021||||21=⨯⨯==∆BC AC S PBC 而PBC S CF PB ∆==⨯⨯=3017341534221||||21 故CF ⊥PB,又已知EF ⊥PB ∴PB ⊥平面CEF（II ）由（I ）知PB ⊥CE, PA ⊥平面ABC ∴AB 是PB 在平面ABC 上的射影，故AB ⊥CE在平面PAB 内，过F 作FF1垂直AB 交AB 于F1，则FF1⊥平面ABC ， EF1是EF 在平面ABC 上的射影，∴EF ⊥EC 故∠FEB 是二面角B —CE —F 的平面角35610cot tan ===∠=∠AP AB PBA FEB 二面角B —CE —F 的大小为35arctan17．解：（I ）设△AOB 的重心为G(x,y),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=332121y y y x x x (1)∵OA ⊥OB ∴1-=⋅OB OA k k ,即12121-=+y y x x ， (2)又点A ，B 在抛物线上，有222211,x y x y ==，代入（2）化简得121-=x x ∴32332)3(31]2)[(31)(3132221221222121+=+⨯=-+=+=+=x x x x x x x x y y y 所以重心为G 的轨迹方程为3232+=x y （II ）22212122222122212222212121))((21||||21y y y x y x x x y x y x OB OA S AOB +++=++==∆ 由（I）得1212AOB S ∆=≥=⨯= 当且仅当6261x x =即121-=-=x x 时，等号成立所以△AOB 的面积存在最小值，存在时求最小值1；18．解：(I)ξ的可能取值为：0,1,2,…,n(II) ξ的数学希望为n nn n t s t n t s st n t s st t s st t s s E )()()1(...)(2)(1011322+⨯++⨯-+++⨯++⨯++⨯=--ξ…(1) 111113322)()()1()()2(...)(2)(++---+++-++-+++++=+n n n n n n t s nt t s st n t s st n t s st t s st E t s t ξ…(2) (1) －(2)得nnn n n n t s nt t s t n t s s t s t E )()()1()(11+++--+-=--ξ 19.解: 由)14()4()14()()4()()7()7()2()2(x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f -=-⇒⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧+=-+=-)10()(+=⇒x f x f ,又(3)0,(7)0f f =≠而,(3)(7)0f f ⇒-=≠ (3)(3)f f ⇒-≠，(3)(3)f f -≠-故函数)(x f y =是非奇非偶函数;(II)由)14()4()14()()4()()7()7()2()2(x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f -=-⇒⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧+=-+=-)10()(+=⇒x f x f又(3)(1)0(11)(13)(7)(9)0f f f f f f ==⇒==-=-= 故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,从而可知函数)(x f y =在[0,2005]上有402个解,在[-2005.0]上有400个解, 所以函数)(x f y =在[-2005,2005]上有802个解20.解(I) （1）当0=k 时,此时A 点与D 点重合, 折痕所在的直线方程2=y （2）当0≠k 时，将矩形折叠后A 点落在线段CD 上的点为G(a,1)(02)a <≤， 所以A 与G 关于折痕所在的直线对称，有k a k ak k OG -=⇒-=-=⋅11,1 故G 点坐标为)1,(k G -(2k -≤<从而折痕所在的直线与OG 的交点坐标（线段OG 的中点）为)21,2(k M -折痕所在的直线方程)2(21k x k y +=-，即2122k y kx =++(2k -≤< 由（1）、（2）得折痕所在的直线方程为：k=0时，21=y ；0≠k 时2122k y kx =++(2k -≤<（II ）⑴当0k =时，折痕的长为2;⑵当0≠k 时,①如下图，折痕所在的直线与边AD 、BC 的交点坐标为2211(0,),(2,222k k N P k +++这时，20k -<<，222444(1)(4,16(2y PN k k ==+=+∈②如下图，折痕所在的直线与边AD 、AB 的交点坐标为0,21(),21,0(22kk P k N +-+这时，12k -≤≤-2223222211()()224k k y PN k k++==+-= 22223222/433(1)24(1)8162k k k k k y k k +⋅⋅-+⋅==令0/=y 解得22-=k ， ∵ 1227|2,|,|16(216k k k y y y =-=-=∴27[,16(216y ∈ ③如下图，折痕所在的直线与边CD 、AB 的交点坐标为2211(,1),(22k k N P k k-+-这时，21k -≤<-，2215()1[,4y PN k==+∈综上述，max 16(2y ==≈。