第七章 万有引力与天体运动例题：设地球的密度为ρ，半径为R ，求距离地心为r 处的重力加速度。

解：取m 质点置于r 处。

分二种情形进行讨论：（1）r R ≥时，3243m R F G r πρ= 则：3243R G g r πρ=（2）r R <时， 324433m r Gm F G r r πρπρ== 则：43Gg r πρ=例题：沿地球直径贯穿打一洞，从洞口将一小球由静止释放，小球如何运动。

解：简谐振动F kx =中的43Gmk πρ=振幅：A=R （地球半径）周期：T =最大速度:m V解一：据动能定理：212m W mV =其中重力为线性力，可取平均值，而求出W 。

解二：利用振动的能量守恒221122m KA mV =或20122A m F R mv += 解三：利用匀圆在直径上的投影即为简振。

物体在表面各点所受重力沿直径投影力即为小球沿直径运动中各位置所受的力。

所以，该简振之参考圆即为绕地表转的卫星的运动所形成的圆。

则m V 等于第一宇宙速度。

例题：如图，密度为ρ，半径为R 的均质球体将2R 的半径球部分掏空。

质点m 距球心r 。

求万有引力。

解：利用填补法 解略注意：若r<R ，该如何计算万有引力。

例题：证明：质量为M ，半径为R 的匀质薄球壳内任一点P 处的质量为m 质点，受到球壳对其万有引力为零。

解：取微元，θ极小。

211222S r S r = 1212m m S S =1121Gm m f r =，2222Gm mf r = 由上可知：12f f =例题：一颗陨石在飞向质量为M 的行星途中（沿着通过行星中心的直线）碰到绕此行星沿半径为R 的圆周轨道运行的宇宙站，站的质量为陨石质量的10倍，碰撞使得陨石陷入站内，宇宙站过渡到与行星最近距离为2R的新轨道上，求碰撞前陨石的速度u 。

解：设1υ是碰撞前站的速度，2υ是碰撞后站和陨石具有的瞬时速度，m 是陨石的质量，10m 是站的质量，在碰撞前站绕行星沿半径为R 的圆周轨道运动，于是站的速度满足2121010mMG m R Rυ=列出在x 轴和y 轴方向上动量守恒定律()121010x m m m υυ=+()210y mu m m υ=+碰撞后站过渡到椭圆轨道上，机械能守恒()2222211111111222x ymM m mM GG m R R υυυ-++=-+ 式中υ是站离行星最近时的速度，再根据开普勒第二定律得22x RR υυ=解得u =例题：地球m 绕太阳M 做椭圆运动，已知轨道半长轴为a ，半短轴为b ，如图所示，求地球在椭圆各顶点1、2、3的运动速度的大小及其曲率半径。

解：对顶点1、2，由机械能守恒：22121122mM GmMmv G mv a c a c-=--+ （1） 由开普勒第二定律： 12()()v a c v a c -=+ （2）（2） 式中c =由（1）（2）式得：1v ==2a v b ==由万有引力提供向心力得：2121()mv MmG a c ρ=- （3） 2222()mv MmGa c ρ=- （4） 解得：212b aρρ==对顶点3，由机械能守恒：22311122mM mM mv G mv G a a c -=-- =2122mM mv G a c-+ （5）将1v 代入（5）式得：3V =23a bρ=例题：在宇宙空间，有一远离太阳的彗星以速度0υ趋向太阳，太阳到彗星运动方向的垂直距离为d ，如图所示，求彗星在绕太阳轨道运动时最大速度和最短距离。

解：彗星在运动过程中，其最大速度垂直于此时的最短距离，由于系统中只有引力做功，故系统机械能守恒220max min 22m m GMm r υυ=- （1）由开普勒的定律可知0min max d r υυ= （2） 由（1）式和（2）式解得max 0GM d υυ=22min r =例题：假设宇宙空间中远离其它星体有两质点A 和B ，它们的质量分别为m 和M 。

开始时，A 和B 相距为0l 。

相对于某惯性系，A 静止，B 以初速0v 沿AB 连线方向运动，为维持B 的速度不变，应对B 施加一个沿着其运动方向的外力F ，如图所示。

（1）求当A 、B 间距离最大时，外力F 的值。

（2）计算从开始起到AB 距离最大时，变力F 做的功。

解：在B 惯性系中研究该问题令200102mM m G υ-= 得00υ=由上知,当0υ≥时,A 点脱离B 的引力而到无限远处,A 和B 不存在间距的最大值,F0→∞→时若0υ<20012mmM mMm G Gυ-=- 得 020022m GMGM υ=- 则 200220(2)4mGM mMFGm GM υ-==在原参考系中,利用动能定理 当0υ<22200111()()222A B mM GmM W m M G M m υυυ=+---220111()2mmGmM mυυ=+-= 在υ≥时在B 系中22001122A mM m G mυυ-= 得A υ=回到原系00A A υυυυ=-=′利用动能定理222000111()()222A mM W m MV M G υυ=+--′ 000()m υυ=例题：经长期观测，人们在宇宙中已经发现了许多双星系统。

双星系统由两颗星体构成，其中每个星体的线度远小于星体之间的距离，而且双星系统一般远离其它星体,可以近似当作孤立系统。

已知某双星系统中每个星体的质量都是M ，两者相距L ，共同绕着两者连线的中点作圆周运动。

①试计算该双星系统的运动周期1T②若实验上观测到的运动周期为2T ，且2T ：1T =N>1。

为了解释2T 与1T 的不同，目前有一种理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质。

假定在这两颗星体连线为直径的球体内均匀分布着这种暗物质。

确定这种暗物质的密度。

解：（1）双星均绕它们连线的中点作圆周运动，22212()2M LG M L T π= 1T π=（2）21T T <说明双星系统中每颗星受到的引力大于双星相互之间的引力,还受到指向中心的作用力。

22222'2()(/2)2M MM L G G M L L T π+= 代入34()32L M πρ'=得到暗物质密度 33(1)2N ML ρπ-=例题：一质量为31210m kg =⨯的飞船在围绕月球的圆轨道上运行，其高度100h km =，为使飞船降落到月球表面。

喷气发动机在P 点作一次短时间发动。

从喷口喷出的热气流相对飞船的速度10000mu s=,月球半径为1700R km =，月球表面的自由落体加速度21.7g m s =,飞船可用二种不同方式到达月球。

（1）向前喷射，使飞船到达月球背面的A 点，并相切。

A 点P 点相对 （2）向外侧喷射，使飞船得到一指向月球中心的动量，其椭圆轨道与月球表面B 点相切。

试计算以上两种情形下所需要燃料量。

解：飞船在P 点短时间内改变速度，使轨道变成椭圆。

按方式（1），P 为椭圆轨道的远月点，A 为近月点；按方式（2），P 为非近月点，也非远月点，只是轨道上的一般点，但后一种不改变横向速度。

飞船在月球表面上高h 处作圆周运动，其速率0v01652v m s ===① 在P 点处短时间喷射，速度由0v 减小为a v 。

设A 点处速度A v 。

角动量守恒 ()a A v R h v R += 能量守恒221122a A GmM GMmmv mv R h R-=-+ 其中M 为月球质量，m 为飞船质量。

联立解得1628(/)a v m s ==喷气前后 011()()a a mv m m V m v u =-∆+∆+其中1m ∆为方式（1）喷出燃气量，解得 01()28.8()a m v v m kg u-∆== ②向外侧喷射燃气，飞船得到一指向月球中心O 点的分速度r v 。

令B 点处速度为B v ， 角动量守恒 0()B v R h v R +=能量守恒 222011()22r B GmM GMm m v v mv R h R +-=-+ 联立得097r hv v m s R==喷气前后法线方向动量守恒 220()()r r m m v m u v =-∆-∆-其中1m ∆为方式（2）喷出的燃气量，解得2116.4rmv m kg u∆== 对1m ∆和2m ∆作一比较，显然选择第一种方式登月节省燃料。

1、（江苏物理）如图所示，A 是地球的同步卫星。

另一卫星 B 的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为 h 。

已知地球半径为 R ，地球自转角速度为 0w ，地球表面的重力加速度为 g ，O 为地球中心。

（1）求卫星 B 的运行周期。

（2）如卫星 B 绕行方向与地球自转方向相同，某时刻 A 、B 两卫星相距最近（O 、B 、A 在同一直线上），则至少经过多长时间，他们再一次相距最近？解：由万有引力定律和向心力公式得)(4)(222h R T m h R Mm G B+=+π mg R MmG =2联立得 23)(2gR h R T B +=π（2）由题意得0()2B t ωωπ-= 解得t =2、（天津理综）神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律。

天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX －3双星系统，它由可见星A 和不可见的暗星B 构成。

两星视为质点，不考虑其它天体的影响，A 、B 围绕两者连线上的O 点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示。

引力常量为G ，由观测能够得到可见星A 的速率v 和运行周期T（1）可见星A 所受暗星B 的引力F A 可等效为位于O 点处质量为m ’的星体（视为质点）对它的引力，设A 和B 的质量分别为m 1、m 2，试求m ’（用m 1、m 2表示）（2）求暗星B 的质量m 2与可见星A 的速率v 、运行周期T 和质量m 1之间的关系式（3）恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量m s的2倍，它将有可能成为黑洞。

若可见星A 的速率v ＝2.7×105m/s ，运行周期T ＝4.7π×104s ，质量m 1＝6m s ，试通过估算来判断暗星B 有可能是黑洞吗？（G ＝6.67×10－11N ·m 2/kg 2，m s ＝2.0×1030kg ）解：（1）设A 、B 的圆轨道半径分别为12,r r ，由题意知A 、B 做匀速圆周运动的角速度相同，设其为w ，由牛顿运动定律得211A F m r ω= 222B F m r ω= A B F F =设A 、B 之间距离为12r r r =+，由上述各式得 1212m m r r m += ①由万有引力定律，有 122A m mF G r =将①代入得 31222121()A m m F G m m r =+ 令121A m m F G r '=比较可得 32212()m m m m '=+ ②（2）由牛顿第二定律，有 211211m m v G m r r '= ③可见星A 的轨道半径 12vTr π= ④由②③④解得： 332212()2m v Tm m Gπ=+ ⑤ （3）将16s m m =代入⑤式，代入数据得 33222 3.52(6)s s m v tm G m m π==+ ⑥设22(0)m nm n =>，代入⑥式得 32222 3.56(6)(1)s s s m nm m m m n==++ ⑦ 可见 3222(6)s m m m +的值随n 的增大而增大，试令n =2 320.125 3.56(1)s s nm m m n=<+ ⑧若使⑦式成立，则n 必大于2，即暗星的质量2m 必大于2s m ，由此得出结论：暗星B有可能是黑洞。