1．双星系统模型的特点： (1)两星都绕它们连线上的一点做匀速圆周运动，故两星的角速度、周期相等． (2)两星之间的万有引力提供各自做匀速圆周运动的向心力，所以它们的向心力大小相 等； (3)两星的轨道半径之和等于两星间的距离，即 r1＋r2＝L.
2．双星系统模型的三大规律： (1)双星系统的周期、角速度相同． (2)轨道半径之比与质量成反比． (3)双星系统的周期的平方与双星间距离的三次方之比只与双星的总质量有关，而与双星 个体的质量无关．
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例题精讲
1. 对万有引力定律的理解
（1）万有引力定律：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的 质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比，两物体间引力的方向沿着二者的连线。
（2）公式表示：F=
Gm1m2 r2
。
（3）引力常量 G：①适用于任何两物体。 ②意义：它在数值上等于两个质量都是 1kg 的物 体（可看成质点）相距 1m 时的相互作用力。 ③G 的通常取值为 G=6。67×10-11Nm2/kg2。 是英国物理学家卡文迪许用实验测得。④一个重要物理常量的意义：根据万有引力定律和牛
辐射) s 球冠=2 Rh
s= r2 (光的垂直有效面接收，球体推进
轨道上正常转：
Mm
v2
F 引=G r 2 = F 心= ma 心= m R
m
2
R=
m
4 2 T2
R m4 2 n2 R
地面附近：
Mm G R 2 = mg
GM=gR2 (黄金代换式)
v2
mg = m
v
R
gR =v 第一宇宙
=7.9km/s 题目中常隐含：(地球表面重力加速度为 g)；这时可能要用到上式与其它方程联立来求解。
轨道上正常转：
Mm v 2
G r2
=m
R
v
GM r
【讨论】(v 或 EK)与 r 关系，r 最小时为地球半径时，v 第一宇宙=7.9km/s (最大的运行速度、最小 的发射速度)；
T 最小=84.8min=1.4h
r 越大，T 越大。
r 越大，a 向越小。
补充：V T W a 与 r 的正比关系
1 F∝ r 2
1 ；a∝ r 2 ; v∝
1 ; ∝ r
1
；T∝
r3
r3 。
规律：越高越慢
2、天体质量 M、密度ρ的估算（以地球为例） ⑴若已知卫星绕地球运行的周期 T 和半径 r
①地球的质量：
②地球的密度（设地 球半径 R 已知）：
顿第二定律可得：G
Mm r2
＝mr
(
2 T
)2
∴
r T
3 2
GM 4 2
k .这实际上是开普勒第三定律。它表
r3
明
T2
k 是一个与行星无关的物理量，它仅仅取决于中心天体的质量。在实际做题时，它
具有重要的物理意义和广泛的应用。它同样适用于人造卫星的运动，在处理人造卫星问题时， 只要围绕同一星球运转的卫星，均可使用该公式。 （4）适用条件：①万有引力定律只适用于质点间引力大小的计算。当两物体间的距离远大 于每个物体的尺寸时，物体可看成质点，直接使用万有引力定律计算。 ②当两物体是质量 均匀分布的球体时，它们间的引力也可以直接用公式计算，但式中的 r 是指两球心间的距离。 ③当所研究物体不能看成质点时，可以把物体假想分割成无数个质点，求出两个物体上每个 质点与另一物体上所有质点的万有引力，然后求合力。（此方法仅给学生提供一种思路） （5）万有引力具有以下三个特性： ①普遍性：万有引力是普遍存在于宇宙中的任何有质量的物体（大到天体小到微观粒子）间 的相互吸引力，它是自然界的物体间的基本相互作用之一。 ②相互性：两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力，符合牛顿第三定律。 ③宏观性：通常情况下，万有引力非常小，只在质量巨大的天体间或天体与物体间它的存在 才有宏观的物理意义，在微观世界中，粒子的质量都非常小，粒子间的万有引力可以忽略不 计。天体间的主要作用力就是万有引力了。 【例 1】设地球的质量为 M，地球的半径为 R，物体的质量为 m，关于物体与地球间的万有 引力的说法，正确的是： A、地球对物体的引力大于物体对地球的引力。
2、公式：
其中 G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，称为引力常量．
3、适用条件：严格地说公式只适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远远大于物 体本身的大小时，公式也可近似使用，但此时 r 应为两物体重心间的距离．对于均匀的球体， r 是两球心间的距离．
二．万有引力定律的应用
1、行星表面物体的重力：重力近似等于万有引力．
③若 F 供＞F 求，供过于求——物体做向心运动．
卫星要达到由圆轨道变成椭圆轨道或由椭圆轨道变成圆轨道的目
的，可以通过加速(离心)或减速(向心)实现．
⑷速率比较：同一点上，外轨道速率大；同一轨道上，离恒星(或行
A
B
星)越近速率越大．
⑸加速度与向心加速度比较：同一点上加速度相同，外轨道向心加
速度大；同一轨道上，近地点的向心加速度大于远地点的向心加速
6.三星模型 宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他 星体对它们的引力作用．现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗 星等间距地位于同一直线上，外侧的两颗星绕中央星在同一圆轨道上运行；另一种形式是三 颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆轨道运行．
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附录：万有引力相关公式
1 思路和方法:①卫星或天体的运动看成匀速圆周运动, ② F 心=F 万 (类似原子模型)
2
公式：G
Mm r2
=man，又 an=
v2 r
2r ( 2)2 r ， T
则 v=
GM ， r
GM r3
，T= 2
r3 GM
附近环绕地球
②第二宇宙速度（地面附近的逃逸速度）：v2=11.2km/s，使物体挣脱地球束缚，在 附 近的最小发射速度。
③第三宇宙速度：v3=16.7km/s，使物体挣脱太阳引力束缚，在 度。
附近的最小发射速
一．万有引力定律 1、内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的方向沿两物体的连线，引力的大 小 F 与这两个物体质量的乘积 m1m2 成正比，与这两个物体间距离 r 的平方成反比．
①地球的质量：
②地球的密度（设地球半径 R 已知）：
3、卫星变轨和卫星的能量问题
⑴人造卫星在圆轨道变换时，总是主动或由于其他原因使速度发生变化，导致万有引力与向
心力相等的关系被破坏，继而发生近心运动或者离心运动，发生变轨。在变轨过程中，由于
动能和势能的相互转化，可能出现万有引力与向心力再次相等，卫星即定位于新的圆轨道。
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第四节 万有引力与天体运动
轨道定律 开普勒行星运动定律 面积定律
周期定律 发现 万有引力定律 万有引力定律 表述 G 的测定
应用
天体质量的计算 发现未知天体 人造卫星、宇宙速度
［本章要点综述］
1、开普勒行星运动定律
第一定律：
。
第二定律：
。
第三定律：
3 求中心天体的质量 M 和密度ρ
由
G
Mm r2
==m 2
r
=m ( 2 ) 2 r T
M=
42 r 3 GT 2
r3 (T2
恒量 )
ρT 2
(当 r=R 即近地卫星绕中心天体运行时) ρ
3 GT近 2
3 GT远2
( R h)3 R
=
3 GT 2
（M= V 球= 4 r3） s 球面=4 r2 3
⑵第二宇宙速度: 当卫星的速度等于或大于 11.2 km/s 时，卫星就会脱离地球的引力不再绕地球运行，成为绕 太阳运行的人造行星或飞到其他行星上去，我们把 v2=11.2 km/s 称为第二宇宙速度,也称脱 离速度。
⑶第三宇宙速度: 当物体的速度等于或大于 16.7 km/s 时，物体将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的宇 宙空间中去，我们把 v3=16.7 km/s 称为第三宇宙速度，也称逃逸速度。
⑵若已知卫星绕地 球运行的线速度 v 和半径 r
①地球的质量：
②地球的密度（设地 球半径 R 已知）：
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⑶若已知卫星绕地球运行的线速度 v 和周期 T（或角速度ω）
①地球的质量：
②地球的密度（设地球半径 R 已知）：
⑷若已知地球半径 R 和地球 表面的重力加速度 g
度。
4.近地卫星、赤道上物体及同步卫星的运行问题 近地卫星、同步卫星和赤道上随地球自转的物体三种匀速圆周运动的异同： 1．轨道半径：r 同>r 近＝r 物 2．运行周期：T 同＝T 物>T 近
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3．向心加速度：a 近>a 同>a 物 5.双心问题 在天体运动中，将两颗彼此距离较近的恒星称为双星． 它们围绕两球连线上的某一点做圆周运动．由于两星间的引力而使它们在运动中距离保持不 变．已知两星质量分别为 M1 和 M2，相距 L，求它们的角速度． 如图 ，设 M1 的轨道半径为 r1，M2 的轨道半径为 r2，由于两星绕 O 点做匀速圆周运动 的角速度相同，都设为ω，根据万有引力定律有：
。即：
2、万有引力定律
（1）开普勒对行星运动规律的描述（开普勒定律）为万有引力定律的发现奠定了基础。
（2）万有引力定律公式：