第12章 结构的极限荷载12.1 概述结构分析方法 弹性分析 塑性分析结构设计方法 弹性设计 塑性设计结构的弹性分析和设计：基本假定：第一，结构的材料服从虎克定律，应力与应变成正比； 第二，结构的变形和位移都是微小的。

内力计算和位移计算都可以应用叠加原理弹性设计时的强度条件：σ max≤ [σ ]=σyky材料屈服极限偏于保守！容许应力安全系数12.1 概述结构的弹性分析和设计：弹性设计时的强度条件：σ max≤ [σ ]=σyky材料屈服极限偏于保守！容许应力安全系数结构的塑性分析和设计：塑性设计时的强度条件：FP≤ [FP ]=FP u ku结构极限荷载更合理、经济容许荷载安全系数充分估计由弹塑性材料组成的超静定结构在超越材料屈服极限 以后的承载能力。

12.1 概述结构的塑性分析和设计：结构塑性分析 的主要任务塑性设计时的强度条件：FP≤ [FP ]=FP u ku结构极限荷载更合理、经济容许荷载安全系数极限状态与极限荷载： 结构变形随荷载增加而增大。

当荷载达到某一临界值时，不再增加荷载变形也会继续增大，这时结构丧失了进一步的承载能 力，这种状态称为结构的极限状态，此时的荷载称为极限荷载。

12.1 概述‡ 弹性阶段：OA段应力与应变成本章塑性分析假定：正比，σ=Eε；变形和位移都是微小的； ‡ 塑性阶段：AB段，应力达到屈材料为理想弹塑性材料。

服极限σy，应变达εy=σy/E时；AB平行于ε轴，应力σ=σy为常量而应变ε可无限增长。

‡ 卸载规律：塑性阶段的某一点C卸载，相应的路径如图中平行于AO的虚线CD所示，即卸载的规律与弹性阶段相同。

‡ 残余应变：当应力减至零时，注：材料拉、压状态的 应力应变关系完全相同材料有残余应变，如图中OD。

12.1 概述本章塑性分析假定： 变形和位移都是微小的； 材料为理想弹塑性材料。

可见，对于弹塑性材料： 应力和应变并非一一对应； 必须了解加、卸载的全部“历史”，才能确定应力应变注：材料拉、压状态的 应力应变关系完全相同为进一步简化分析：本章还采用比例加载的假定： 所有的荷载均为单调增加，不出现卸载现象； 在加载过程中，所有的荷载均保持固定的比例，因而可以用 同一个参数（荷载因子）的倍数 来表示。

12.2 极限弯矩和塑性铰12.2.1极限弯矩‡ 承受纯弯曲作用的等截面梁，且截 面有一根对称轴，弯矩M作用在梁的 对称面内。

‡ 随着弯矩的增大，梁的各部分逐渐由弹性阶段发展到塑性阶段。

‡ 实验表明，在梁的变形过程中，无论弹性阶段还是塑性阶段，梁的任一 横截面始终保持为平面，即在塑性阶段仍然可以沿用 “平截面假定”。

12.2 极限弯矩和塑性铰12.2.1极限弯矩弹性阶段弹塑性阶段(1) 弹性阶段，如图(b)所示： σ = My 中性轴与形心轴重合。

I(2) 弹塑性阶段，如图(c)、(d)、(e)所示：My =Iσ yymax= Wσ y9 弯矩增加到屈服弯矩My后，上边缘开始屈服；9 随着M继续增大，弹性区逐渐缩小，塑性区逐渐扩大；9 在这一过程中，中性轴逐渐偏离形心轴而下移；12.2 极限弯矩和塑性铰12.2.1极限弯矩弹性阶段弹塑性阶段极限状态(3) 极限状态，如图 (f)所示： 弯矩增加的极限状态是弹性区全部消失，上下两个塑性区连成一片，整个截面上正应力的绝对值都达到了屈服极限。

极 限状态的弯矩是截面所能承受的最大弯矩，记作Mu，称为极限 弯矩。

12.2 极限弯矩和塑性铰12.2.1极限弯矩极限弯矩设极限状态截面受拉区和受压区面积分别为A1和A2，由平衡条件可知σ y A1 − σ y A2 = 0A1 = A2 = A / 2在极限状态下，截面的受拉区面积和受压区面积相等，中性轴重合于截面的等面积轴，可得极限弯矩：Mu = σ y (S1 + S2 ) = σ yWsS1和S2分别为受拉区面积A1和受压区面积A2对等面积轴的静矩； WS称为截面的塑性抵抗矩；12.2 极限弯矩和塑性铰12.2.1极限弯矩截面的形式系数 α = M u = WSMy W反映截面在弹性阶段之后抵抗更大弯矩的潜力对于宽度和高度各为b和h的矩形截面，W = bh3 12h = 1 bh2 26WS=2 × (bh 2⋅h) 4=1 4bh2α = WS = 1.5W矩形截面的极限弯矩 为屈服弯矩的1.5倍对于圆形截面，α=1.70；对于常用的在腹板对称面内 受弯的工字形截面，α可以统一地取为1.15。

12.2 极限弯矩和塑性铰12.2.2 塑性铰的概念极限状态 在极限状态下，截面上各点的正应力均达到了屈服极限，因此不能继续增大。

但是，在极限弯矩的作用下，截面各点的正应变却可以在符合平截面假定的条 件下继续增大，从而使得截面两侧的杆件绕着这个截面发生有限的相对转动， 类似于杆件在该处铰接的情况，称称该截面处出现了一个塑性铰。

12.2 极限弯矩和塑性铰12.2.2 塑性铰的概念在极限弯矩的作用下，截面各点的正应变却可以在符合平截面假定的条件下继 续增大，从而使得截面两侧的杆件绕着这个截面发生有限的相对转动，类似于 杆件在该处铰接的情况。

塑性铰普通铰塑性铰与普通铰的区别： ‡ 塑性铰能传递弯矩，普通铰不能； ‡ 塑性铰在卸载时会消失，普通铰不会； ‡ 塑性铰是单向铰，截面两侧只能在 ‡ 塑性铰随荷载分布而出现于不同截面， 极限弯矩方向上发生相对转动，普通 普通铰的位置则是固定的。

铰可以自由发生相对转动。

12.3 静定梁的极限荷载弹性阶段：FP<FPy=4My/lMy=Wσy=bh2σy/6，Mu=WSσy=bh2σy /4弹塑性阶段：FPy<FP<FPu塑性区从 跨中向两端扩 展，从上、下 边缘向中性轴 扩展，但上、 下两个塑性区 尚未连成一 片，弹性区仍 是连续的。

12.3 静定梁的极限荷载塑性阶段：FP =FPu=4Mu/l 破坏机构计算静定梁极限荷载的步骤： ‡ 确定塑性铰的数量。

静定梁出 现1个塑性铰即形成破坏机构； ‡ 确定塑性铰的位置。

静定梁的 塑性铰总是出现在M/Mu取得最大 值的截面； ‡ 利用平衡条件求该截面的弯矩 并令其等于极限弯矩，就可以求 得极限荷载。

破坏机构M = q ( 6 − 2)(3 − 6)l 2 2=Mu =6Mu0 212.3 静定梁的极限荷载例12-1 已知变截面简支梁的极限弯矩为Mu(x)=Mu0(1+0.5x/l)，梁受全跨均布荷载作用，求荷载集度的极限值qu。

梁各截面的弯矩 M (x) = 1 qx(l − x) 2d dx[M(x)/Mu(x)]=0x2+4lx-2l2=0x = ( 6 − 2)l ≈ 0.4495 lqu=Mu0 l2(5 +26)≈9.899Mu l2012.4 超静定梁的极限荷载12.4.1 单跨超静定梁的极限荷载梁端部的弯矩绝对值最大，因此最先达到屈服值Myqy l2 12= Myqy=12M y l2随着荷载增大，两端部先形成塑性铰 但结构并未形成破坏机构！荷载继续增大，直至跨中形成塑性铰结构形成破坏机构，极限状态！qu l 2 8=Mu+ Muqu= 16M u l2qu = 4M u = 4 αqy 3M y 312.4 超静定梁的极限荷载12.4.1 单跨超静定梁的极限荷载梁端部的弯矩绝对值最大，因此最先达到屈服值Myqy l2 12= Myqy=12M y l2对于矩形截面，α=1.5，则极限荷载为屈服荷载的2倍，可见：超静定梁在弹性极限后 的承载潜力很大。

逐渐加载法（增量法）qu l 2 8=Mu+ Muqu= 16M u l2qu = 4M u = 4 αqy 3M y 312.4 超静定梁的极限荷载12.4.1 单跨超静定梁的极限荷载如果仅仅要求计算极限荷载，则无须追踪上述过程，而只要考 虑极限状态下的平衡条件，直接求解。

‡ 静力法：由问题的对称性极易判断破坏机构 中三个塑性铰的位置，并画出极限状态下的弯 矩图，利用平衡条件便可求得极限荷载。

破坏机构qu l 2 8= Mu+ Muqu= 16M u l212.4 超静定梁的极限荷载12.4.1 单跨超静定梁的极限荷载如果仅仅要求计算极限荷载，则无须追踪上述过程，而只要考 虑极限状态下的平衡条件，直接求解。

‡ 虚功法（机动法）：与静力法相同，首先 判断塑性铰的位置，确定破坏机构图。

然后 假设虚位移状态：破坏机构∫ ∫ We=2l/20 qu ydx = 2qul 0/2θxdx=qu⋅l 2θ4Wi = −(M uθ + M uθ + M u 2θ ) = −4M uθqu ⋅ l2θ − 4M uθ = 04qu=16M u l212.4 超静定梁的极限荷载12.4.1 单跨超静定梁的极限荷载梁中的塑性铰总是出现在M/Mu取得最大值的截面，可能出现塑性铰的位置有： 固定支座或滑动支座；集中力的作用点；阶梯型梁的截面改变处等。

例12-2 试求图示变截面梁的极限荷载。

破坏机构1 真实FP1⋅2l 3θ=2M uθ+Mu⋅ 3θFP1 = 7.5M u / lFP 2⋅lθ3=M uθ+Mu⋅ 2θFP2 = 9M u / l破坏机构2FP3⋅lθ6=2M uθ+Mu⋅3θ2破坏机构3FP3 = 21M u / lFPu = min(FPi ) = FP1 = 7.5M u / l穷举法12.4 超静定梁的极限荷载12.4.2 连续梁的极限荷载连续梁极限荷载，补充两条假定： ‡ 梁的各跨均为等截面杆（不同跨 的杆件截面可以不同）； ‡ 梁所受的荷载方向都相同。

工程中的连续梁大部分都满足 这两条假定。

在各跨等截面、荷载方向相同条件 下，破坏机构只能在各跨内独立形成。

可能的破坏机构 单跨独立破坏 相邻跨联合破坏12.4 超静定梁的极限荷载 12.4.2 连续梁的极限荷载例12-3 试求图示 连续梁极限荷载 (q为荷载因子) ， 各跨截面极限弯 矩从左到右依次 为1.5Mu、Mu、 2Mu。

‡ 作各跨独立破坏时的弯矩图，图中的三个矩形给出了各截面正负弯矩的界限。

所作的弯矩图既不能越出这一界限，又必须在足够多的点上达到这一界限，以保证形成破坏机构。

在支座截面，极限弯矩应取左右两个值中的较小者。

第三跨弯矩图中， 如截面E弯矩达到 极限值，截面F的 弯矩必然超出极限 值，这是不允许的12.4 超静定梁的极限荷载 12.4.2 连续梁的极限荷载例12-3 试求图示 连续梁极限荷载 (q为荷载因子) ， 各跨截面极限弯 矩从左到右依次 为1.5Mu、Mu、 2Mu。

‡ 其次，利用平衡条件反求各跨的破坏荷载。

第一跨： 1.5M u + 2Mu+ 1.5M u=q1l 2 4第二跨：Mu+Mu=q2l 2 4第三跨：Mu 3+ 2M u=q3l 2 3q1=11M u l2q2=8M u l2q3=7M u l2qu=q3=7M u l212.5 比例加载的一般定理及其应用12.5.1 可接受荷载和可破坏荷载极限状态必须满足的三个条件：可破坏荷载 FP+可接受荷载F− P‡ 单向机构条件：结构的整体或部分出现了数量 足够的塑性铰，形成了破坏机构，能在荷载作用 下发生单向运动，荷载通过其运动作正功。