y s y0
弹性核
y0
s
b)
0
图c）——截面处于塑性流动阶段。在弹塑 性阶段，随着M增大，弹性核高度逐渐减小 最后y0→0。此时相应的弯矩为：
bh 2 Mu s 4
s
Mu 是截面所能承受的最大弯矩，称为极限弯矩。
s
c)
结构力学（2）
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中性轴的位置(P268)
塑性设计：
先确定结构破坏时所能承受的荷载(极限荷载)，然 后将极限荷载除以荷载系数得到容许荷载并进行设计。 其特点是通过计算极限荷载的方式确定结构破坏时所能 承受的荷载。
结构力学（2）
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弹性设计法（许用应力法）
要点 1.弹性分析计算（对于复杂结构采用矩阵位移法） 2.确定每个构件的最大应力不超过许用应力
2Fp Fp l/2
M图
M max
5 Fpl 8
5 Fp l M u 8 8M u Fpu = 5l
Mu 2l
l/2
M max 2 Fp l M u

Fpu =
结构力学（2）
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2Fp
例 求静定梁的比例加载时的极限荷载Fpu
Fp Mu
l/2 B
弯矩图法
A
3Mu
4 2 21 l
令机构产生虚位移，使C截面竖向 位移和荷载FP同向，大小为δ
外力虚功：
We FP
6 M u 2 4 内力虚功： Wi M u1 M u 2 M u ( ) l l l 6M u 由 We=Wi 得： FPu l
极限弯矩与屈服弯矩之比=截面系数比 对称截面的形心轴 M u Wu 与等面积轴重合， M W s s 皆为对称中心线。
M
M
M
弹塑性变形发展阶段
Mu Ms
M s 屈服弯矩 M u 极限弯矩
弯矩与转角的关系曲线
结构力学（2） 弯矩M与曲率的关系曲线例
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h
d
b
h strain
结构力学（2）
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塑性铰: 达到极限弯矩的截面(p268)
FPu
Mu
塑性铰的特点（与机械铰的区别） （1）机械铰不能承受弯矩，塑性铰能够承受弯矩； （2）机械铰双向转动，塑性铰单向转动； （3）实际的塑性铰不是一个铰点，而是具有一定的长度。 对于纯弯杆件，塑性铰的理论长度等于杆件长度。通常忽 略塑性铰长度，将达到极限弯矩的截面称为塑性铰。 （4）机械铰卸载时不消失；塑性铰在卸载时消失。
1. 极限弯矩与屈服弯矩
M
M
h b
b h
s
s
s
s
y0 y0
a)
s
b)
s
c)
图a）——截面还处在弹性阶段，最外纤维
bh2 s 处应力达到屈服极限σs ，截面弯矩为： M S 6
Ms称为弹性极限弯矩，或称为屈服弯矩。
结构力学（2）
浙大宁波理工学院土建学院 s 图b）——截面处于弹塑性阶段，截面外边 缘处成为塑性区，在截面内部仍为弹性区。 y
结构力学（2）
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理想弹性状态下的变形（弹性变形）
局部弯曲
强柱弱梁 强梁弱柱
理想刚塑性状态下的变形（塑性变形）
结构力学（2） 极限状态下构件的变形
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柱端的应变达到弹 性极限时，弹性变 形基本停止，塑性 弯曲变形逐渐集中 于应力较大的局部 （柱端或梁端）。
柱屈服
弹性变形产生的位移远小 于塑性变形，塑性变形通 常集中于局部（塑性铰）
Fps
梁屈服
F ps 屈服荷载 F pu 极限荷载
横向受力刚架的荷载位移关系图
在弹性范围内，荷载与变形成比例。超过屈服荷载时，变形不再按比例放大，而是集中 于某几个局部(塑性铰)。使得整体出现大的位移，而局部以外的杆件本身没有大的变形。
结构力学（2） 破坏机构
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§17-3 单跨梁的极限荷载
足够多的塑性铰的出现使原结构成为机构（一个自由度的几何可变或瞬 变体系），失去继续承载的能力，该几何可变或瞬变体系称为破坏机构。 (1)、不同结构在荷载作用下，成为机构，所需塑性铰的数目不同。
q u1
qu 2
Mu
Mu Mu (2)、不同结构，只要材料、截面积、截面形状相同，极限弯矩一定相同。 M u Wu s (3)、材料、截面积、截面形状相同的不同结构，极限荷载qu不一定相同。

s
A
塑性流动状态
C
B
s s
屈服应力 yield stress （弹性阶段最大应力） 屈服应变 yield strain （弹性阶段最大应变） 残余应变 residual strain
o
εs
D
ε
εs
εr
r
结构力学（2）
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§17-2 极限弯矩、塑性铰、极限荷载 、极限状态
几种单跨超静定梁的破坏机构
Mu Mu Mu
Mu
Mu
Mu
Mu
Mu Mu
结构力学（2）
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1. 单跨超静定梁的极限荷载计算例
利用静力平衡方程求极限荷载的方法称为静力法（弯矩图法）。
利用虚功方程求极限荷载的方法称为虚功法。
例 求单跨梁的极限荷载,截面极限弯矩为Mu（P269）
1）静力法(作弯矩图)：
E elastic stress
s
elastio-plastic stress
M

结构力学（2） 2. 极限荷载和屈服荷载
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屈服荷载：弹性阶段结构所能承受的最大荷载，也称弹性极限荷载。 极限荷载：结构塑性破坏时对应的荷载，也称塑性极限荷载。 极限状态：极限荷载所对应的状态，位移(挠度)可以任意增加而承载力 无法增加的状态。
结构力学（2）
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对受弯结构进行弹性分析的缺陷 （1）弹性设计以屈服极限为基准，但最大应力达到屈服极限 时，截面并未全部进入流动状态，截面仍然存在承载能力； （2）超静定结构某一局部应力达到屈服状态时，结构并不破 坏，结构仍然具有承载能力，极限荷载大于屈服荷载。
Fp
Fp
例：
Fpu
应变
s s
屈服应力（弹性极限应力）
屈服应变（弹性极限应变）
b b
最大应力 最大应变
b 100 s
最大应变是屈服应变的100倍以上
结构力学（2）
应力
浙大宁波理工学院土建学院 钢材的应力-应变关系图
简化
应变
应力
A
弹性阶段
塑性阶段（塑性流动阶段）
B
o
应变
结构力学（2）
应力
浙大宁波理工学院土建学院 理想弹塑性模型图（P266 图17-1）
弹性设计例
Fp
s 许用应力 k
最大应力
l
max
M max Fpl Ws Ws
l
截面系数
柱的验算 …….
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弹性变形
塑性变形
结构力学（2）
应力
浙大宁波理工学院土建学院 钢材的应力-应变关系图
当截面弯矩达到极限弯矩时，两个无限靠近的相邻截面可产生有限的相
对转角，产生局部弯曲变形，这种情况与带铰的截面相似，称为塑性铰。
极限荷载（P266）
结构破坏时所能承担的的荷载。
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§17-2 极限弯矩、塑性铰、极限荷载 、极限状态
基本假设(一般针对钢材料) 1、材料为“理想弹塑性材料” 。 2、材料均匀，各向同性。 3、平面假定。即无论弹、塑性阶段，都保持平截面不变。
塑性设计法的要点 1.计算极限荷载 2.极限荷载除以荷载安全系数得出容许荷载 3.以此为依据进行设计, 判断是否荷载小等于容许荷载… *必须先算杆件极限内力才可以计算结构极限荷载
极限内力
极限弯矩 极限剪力 极限轴力
极限荷载
极限集中荷载 极限分布(均布)荷载 极限力偶 极限分布力偶
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结 构 力 学（2）
第17章 结构的极限荷载
结构力学（2）
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17-1概述
弹性设计： 利用弹性计算的结果，以许用应力为依据来确定截 面尺寸或进行强度验算的设计法。在计算中假设应力与 应变为线性关系，结构在卸载后没有残余变形。其特点 是通过计算弹性阶段各杆件最大应力的方法进行强度验 算，确保不超过许用应力。
结构力学（2）
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对于简单的超静定梁，可先判断塑性铰出现的位置，利用 静力平衡方程或虚功方程计算极限荷载。
FP Mu
弹性状态下的变形图
3 Fp l 16
FP
极限状态下的变形图（破坏机构图）
Mu
Mu
5 Fp l 32
Mu
极限状态下的弯矩图
弹性状态下的弯矩图
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A C B
s
o
s
s
D
应变
r
s

屈服应力 yield stress （弹性阶段最大应力）
s
屈服应变 yield strain（弹性阶段最大应变）
残余应变 residual strain
r
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应力
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