农作物施肥效果分析第十三组李焕张艳华侯慧慧农作物施肥效果分析摘要由农作物生长的原理和长期的实践经验可知，氮、磷、钾三种肥料对农作物的生长起到至关重要的作用，其施肥量会影响作物最后的产量，且这三种肥料缺一不可。

究竟肥料的施肥量与产量有怎样的关系？本次实验以土豆和生菜这两种作物为例，研究氮、磷、钾三种肥料的施肥效果。

首先，根据实验数据描出施肥量与产量坐标关系的散点图，建立模型：2y ax bx c =++，在MATLAB 中拟合曲线，求出系数，从而得到N 对土豆的效应方程为：()2111111110.00030.197114.7416f x x x =-++P 对土豆的效应方程为：()2121212120.00010.071932.9161f x x x =-++K 对土豆的效应方程为：()2131313130.00010.075024.4144f x x x =-++N 对生菜的效应方程为：()2212121210.00020.101310.2294f x x x =-++P 对生菜的效应方程为：()2222222220.00010.0606 6.8757f x x x =-++ K 对生菜的效应方程为：()2232323230.00000.005116.2329f x x x =-++将多项式回归模型转化为多元线性回归模型进行检验，效果显著，从而模型成立。

然后，利用已经建立的施肥量与产量关系的模型，固定其中两种肥料的施肥量在第七个水平，建立收益与第三种肥料施肥量关系的模型，如：设土豆每公顷磷肥的施肥量为12x 时的最大利润为12W （元），有()12121212100024259337257000W f x x =⨯--⨯-⨯-当12x =349.5时获得的利润最大，最大利润为：12W =80625.5（元）。

最后通过计算比较，得到土豆的最佳施肥方案为：氮肥317/kg ha ，磷肥196/kg ha ，钾肥372/kg ha ；生菜的最佳施肥方案为：氮肥250.75/kg ha ，磷肥391/kg ha ，钾肥372/kg ha 。

这些数据可以对农民的种植起到一定的指导作用。

关键词：一元曲线回归模型、回归方程的显著性检验一、问题的重述某研究所为了研究N,P,K三种肥料对土豆和生菜的作用，分别对每种作物进行了三组实验，实验中将每种肥料的施用量分为10个水平，在考察其中一种肥料的施用量与产量关系时，总是将另两种肥料固定在第7个水平上，实验数据如下列表格所示，其中ha表示公顷，t表示吨，kg表示千克，试建立反映施肥量与产量关系的模型，并从应用价值和如何改进等方面作出评价。

土豆生菜二、假设与符号说明基本假设1.土壤中含有自然的N,P,K 肥，因此，当其中一种的施肥量为0 kg 时，土豆和生菜仍然可以生长；2.实验数据可信度高，可以真实反映施肥量与产量的关系；3.土豆和生菜长势良好，无遇自然灾害；4.所有生产出来的土豆和生菜都可以全部售出；5.种植成本中，除了施肥所需的费用外， 农药、浇水等费用为：土豆 7000元/公顷,生菜 10000元/公顷；符号说明1ix ()1,2,3i =——分别表示土豆的N,P,K 肥的施肥量；2ix ()1,2,3i =——分别表示生菜的N,P,K 肥的施肥量；()11iif x ——分别表示土豆施用N,P,K 肥后的产量；()22iif x ——分别表示生菜施用N,P,K 肥后的产量；1iW ——分别表示土豆施用N,P,K 肥后的纯收益； 2iW——分别表示生菜施用N,P,K 肥后的纯收益；三、模型的建立题目要求研究土豆和生菜的施肥量和产量两个变量之间的关系，因此考虑建立回归模型。

首先由实验数据在Excel 中分别描绘出各反映这两种蔬菜N,P,K 肥的施肥量与产量之间坐标关系的散点图，图形如下所示：由上述散点图分析可知，这两种蔬菜的施肥量与产量之间存在二次函数关系，设x 表示施肥量，y 表示产量，建立模型：2y ax bx c =++四、模型的求解与结果以求解土豆N 肥的施肥量与产量为例，用MATLAB 编程，求得结果如下： >> x=[0,34,67,101,135,202,259,336,404,471]; >>y=[15.18,21.36,25.72,32.29,34.03,39.45,43.15,43.46,40.83,30.75];>> p=polyfit(x,y,2) p =-0.0003 0.1971 14.7416 因此，土豆N 肥的效应方程为：()2111111110.00030.197114.7416f x x x =-++再用MATLAB 画图，结果如下： >> x1=0:20:480;>> y1=polyval(p,x1);>> plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b')同法可得土豆P 肥的方程为：()2121212120.00010.071932.9161f x x x =-++图形为：土豆K 肥的效应方程为：()2131313130.00010.075024.4144f x x x =-++图形为：生菜N 肥的效应方程为：()2212121210.00020.101310.2294f x x x =-++图形为：生菜P 肥的效应方程为：()2222222220.00010.0606 6.8757f x x x =-++图形为：生菜K 的效应方程为：()2232323230.00000.005116.2329f x x x =-++图形为：五、模型的检验模型为多项式：2012y x x βββ=++， ()1 随机变量Y 与x 之间的相关关系为：2012Y x x βββε=+++ ()2其中，ε为随机项，且()20,N εσ.对自变量x 作变换：,j j x x = 0,1,2j =由此得到01122Y x x βββε=+++ ()3 再将原来的多项式回归为题中的10对数据(),i i x y ()1,2,,10i =相应的变换成()12;,,1,2,,10i i i y x x i =，其中jij i x x =，1,2,,10i =，0,1,2j =这样便可以用多元线性回归的方法进行处理题目中已经给出了变量的n=10次观测值，在这里设数据为()12,,i i i y x x ()1,2,,i n =显然这些数据满足01122i i i i y x x βββε=+++ ()1,2,,10i = ()4其中i ε独立同分布，且()20,i N εσ记()12,,,Tn y y y y =()012,,,Tββββ=，()1210,,,Tεεεε=1112212212111n n x x xx X x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦()1,2,,10i =则式()4即为y X βε=+ ()5为了得到β的估计，通常的方法是用最小二乘法，即使21ni i ε=∑关于β的极小化，就是使()()222011211i nni i i i i Q y x x βεβββ====---∑∑()()Ty X y X ββ=-- ()6达到极小。

由()Q β对β求导并令其为零，得()20T QX y X ββ∂=--=∂ 即T T X X X y β= ()7式()7称为正规方程。

其中X 为()21n ⨯+矩阵，一般总假设()1rank X m =+，则由式()7可得β的最小二乘估计()1ˆT T X X X y β-= ()8ˆβ的数学期望和方差分别为 ()()()()()11ˆT T T T E X X X E y X X X E X ββε--==+ ()()1TT X X X X E βεβ-=+=⎡⎤⎣⎦()()()()11ˆT T T Var X X X Var y X X X β--= ()()()11T T T X X X Var X X X ε--=()12T X X σ-=因此，式ˆβ为β的无偏估计，且协方差为()12T X X σ-。

可以证明，ˆβ()1T T X X X y -=是β的一致最小方差线性无偏估计。

先计算回归平方和()2111ˆ,nni i i i S yy y y n ===-=∑∑回 ()9 然后计算总平方和()21nyy i i L y y ==-∑ ()10最后得到yy L S S =-回残 ()11在实际问题中，我们事先不能断定y 与12,x x 之间有线性关系，因此对回归方程进行显著性检验。

回归方程的显著性检验对回归方程的显著性检验，可提出假设012:0H ββ== ()12如果0H 被接受，则表明式()3来表示y 与自变量12,x x 的关系不合适。

11ni i y y n ==∑则式()321()nyy i i S L y y ===-∑总2211()()n ni i i i i y y y y ===-+-∑∑S S =+回残 ()13设i y 服从正态分布220,j ij j N x βσ=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑()1,2,,10i =。

当0H 成立时，1210,,,y y y 相互独立且有相同分布()20,N βσ，因为S 回与S 残独立，且()22/2S σχ回，()22/1021S σχ--残所以()()/22,1021/1021S F F S =----回残 ()14式()6可作为对式()40H 进行检验的统计量。

对给定数据()12;,,1,2,,10i i i y x x i =，计算得F 的值，再由给定的显著性水平α，查分布表，得临界值()12,1021F α---。

如果F >()12,1021F α---，则认为在显著性水平α下，y 对12,x x 有显著的线性关系，也即回归方程是显著的，反之，则认为回归方程不显著。

()10.052,7 4.74F -= ()10.012,79.55F -= 对土豆N 肥的检验:yy L =826.5846 S 回=815.2532 S 残=11.3314 F =251.8123由F =251.8123>()10.052,7 4.74F -=,F =251.8123>()10.012,79.55F -=，知，拒绝0H ，则回归效果高度显著。

对土豆P 肥的检验:yy L =118.7504, S 回=102.6572 S 残=16.0932 F =22.3262所以拒绝0H ，则回归效果高度显著。

对土豆K 肥的检验:yy L =594.0816 S 回=484.4723 S 残=109.6093 F =15.47所以拒绝0H ，则回归效果高度显著。