2013 年春季学期研究生课程考核（读书报告、研究报告）考核科目:最优控制学生所在院（系）:航天学院学生所在学科:控制科学与工程学生姓名:学号:学生类别:考核结果阅卷人LQ 最优控制系统加权矩阵Q 的一种数值算法摘要：利用LQ 最优控制逆问题的参数化解, 将求解对称、 非负定加权矩阵Q 的问题变为一类F-范数优化问题, 给出一种求解 LQ 最优控制指标函数中的加权矩阵 Q 的简便而系统的方法。
算法的优点在于任意给定一组自变量, 通过解这类优化问题就可求得满足闭环特征值要求的加权矩阵 Q, 而且具有良好的收敛性。
关键词 LQ 逆问题，最优控制，加权矩阵，优化1 问题的提出LQ( 线性二次型) 最优控制逆问题所要研究的内容是如何确定LQ 最优控制问题0[()()()()]..()()()T T J x t Qx t u t Ru t dts t x t Ax t Bu t ∞⎧=+⎪⎨⎪=+⎩⎰ （1.1）中的加权矩阵Q 和R ，使得闭环控制系统1()()(),T x t A BK x t K R B P -=-= （1.2）的特征值为期望值(1,2,...,)ci i n λ=。
式中的矩阵均 为 适 当 维 数,且 满 足 有 关 系 统 解 存 在的条件。
此外, 式( 1. 2) 的矩阵P 是代数Riccati 矩阵方程10T T A P PA PBR B P Q -+-+= （1.3）的唯一对称正定解。
近年来，相关科研人员在研究该问题的解析解法方面做了大量工作。
[ 3, 4] 研究的是单输入控制系统问题，所得结果具有结构简单、计算容易的特点； [ 5, 6] 给出了LQ 逆问题解的参数化表达式；[ 7] 利用这一表达式，给出了单输入控制系统 LQ 逆问题的解析解法；[ 8, 9] 给出了多输入控制系统情况下的简便算法，但该算法具有一定的局限性，不能有效地解决闭环特征值为复数时求解加权矩阵 Q 的问题，主要原因在于算法属于构造性的。
尽管这种构造性的算法为揭示问题的多解性提供了具有参考价值的信息，但对深入研究 LQ 最优控制逆问题解的多解特征，并进一步研究 LQ 最优控制的鲁棒性，不能提供有益的帮助。
本文在上述研究工作的基础上，提出一种利用优化方法求解 LQ 最优控制逆问题的数值算法。
其研究思想是将 LQ 最优控制逆问题的解转换为一种优化命题，通过对优化命题的优化达到间接求解LQ 最优控制逆问题解的目的。
算法的求解过程对进一步揭示 LQ 最优控制逆问题解的多解特征，认识多解意义下 的最优性，对控制系统性能的影响等问题，提出了可供继续研究的新见解。
2 加权矩阵 Q 的参数化表示为了保证 LQ 逆问题解的存在性，假定(1,2,...,)ci optC i n λ-∈=即假定LQ 逆问题解存在。
关于ci opt C λ-∈的定义方法可参阅文献[ 5, 6] 。
为表达方便, 引入如下数学符号的定义11()()(,,...,)()()[,,...,()]i ci ci n T T i i i i in Ti m ci m ci m C B AB A B CH HC I I I ααλαλψψψλλ-+-+-±-=-==ΛΛ=Λ=±±其中H 是第一行为12[,,...,]m m n m a I a I a I 的左上三角Toeplitz 矩阵, (0,1,2,...,)i a i n =为系统(,)A B 的开环特征多项式1110()det()...,1n n n n n I A a a a a a αλλλλλ--=-=++++= （2.1） 的系数，I τ为ττ⨯维单位矩阵。
在不致于混淆的情况下，文中以I 代替I τ。
定理1 考虑由方程( 1. 1) ～( 1. 3) 所描述的线性二次型最优控制问题的逆问题。
满足闭环特征值(1,2,...,)ci i n λ=要求的加权矩阵Q （在R I =的条件下）可参数化表示为111221122[,,...][,,...]n n n n Q αξαξαξψξψξψξ-=-⨯ （2.2）的充分必要条件是：1） 系统( 1. 3) 的特征值为(1,2,...,)ci i n λ=，且ci λ的几何重根个数等于它的代数 重根个数；2） 当()ci A λλ∈或()ci A λλ∈-时，矩阵A 的特征值1{}n oi i λ=中的某个oi ci λλ=或oi ci λλ=-的几何重根个数为 1。
其中1(1,2,...,)n i C i n ξ⨯∈=的选取使得0,(1,2,...,)T i i Q Q i n ψξ=≥=在复数空间n nC ⨯上线性独立；且当*ci cj λλ=时，*i j ξξ=，*表示复数共轭。
由定理1知，在(1,2,...,)ci i n λ=满足定理1充分必要条件的情况下，为了求得 LQ 最优控制逆问题的解，关键是求解变量(1,2,...,)i i n ξ=。
一旦求得(1,2,...,)i i n ξ=，则有如下结论：推论 1 方程( 1.2) 中的最优状态反馈系数矩阵K 可以表示为1112212[(),(),...,()][,,...,]c c cn n n K V V V X X X αλαλαλ-=-⨯ （2.3） 1_()()()T T T i ci ci i i i V B I A αλλξψξ-=---= （2.4） 1()()i ci ci i i i i i X I A BV V αλλψψξ-+=-== （2.5）3 求解加权矩阵 Q 的优化算法由定理1知，变量(1,2,...,)i i n ξ=的确定是在矩阵Q 满足0T Q Q =≥和(1,2,...,)i i i n ψξ=在n n C ⨯空间上线性独立这两个约束条件下进行的，直接求解这一 问题较为困难。
文献[ 8, 9] 给出一种构造方法。
下面利用数值优化方法研究 LQ 逆问题解的求解方法。
引理1 当矩阵对(,)A B 可控，ci λ互异时，几乎对于所有的1n i C ξ⨯∈，(1,2,...,)i i i n ψξ=在n n C ⨯空间上线性独立。
该引理表明在求解 LQ 逆问题时，可以认为(1,2,...,)i i n ξ=是完全自由参数。
这对于利用优化方法求解LQ 逆问题解带来了极大的方便。
定义1122(,,...,)n n Y αξαξαξ= （3.1） 121122(,,...,)(,,...)n n n X X X X ψξψξψξ== （3.2）则式( 2.2) 可表示为1Q Y X -=- （3.3）为保证Q 矩阵具有对称、非负定性，定义具有逼近性质的目标函数11[()()]T s s J Tr YX Q YX Q --=-- （3.4）式中1212[,,...,][,,...,]Ts n n Q Udiag UU U U U σσσ⎧=⎪⎨=⎪⎩（3.5） 其中(1,2,...,)i U i n =为矩阵T Q Q 属于其特征值2(1,2,...,)i i n σ=的特征矢量。
给定(1,2,...,)i i n ξ=，可以求得Q 和s Q 但Q 不一定是问题的解，只有通过对(1,2,...,)i i n ξ=的数值求解使得Q 逐步逼近s Q ，当s Q Q =时，Q 才是问题的解。
此时，J 达到最优目标值零。
引理2 对于0k ∀≠，式( 2. 2) 中的(1,2,...,)i i n ξ=扩大或缩小k 倍不改变矩阵Q 的结果。
引理2 表明(1,2,...,)i i n ξ=模的大小不改变矩阵Q 的计算结果。
为此，不妨假设矢量ξ的2-范数2||||i ξ满足2||||1,1,2,...,i i n ξ==。
根据上述分析，引入优化加权矩阵W （12(,,...,),0n i W diag ωωωω=>），则求解 LQ 逆问题解的综合优化指标函数可表示为112[()()][()()]..||||1,1,2,...,iiT T s s s s i Min J MinTr YX Q W YX Q Tr Q Q W Q Q s t i n ξξξ--⎧=--=--⎪⎨==⎪⎩ （3.6） 如果定义矩阵T Q X QX =，则有T Q X Y =- 仿照提出优化命题( 3. 6) 的原理,，还可得到另一种求解 LQ 逆问题的优化命题2[()()][()()]..||||1,1,2,...,iiT T T T s s s s i Min J MinTr X Y Q W X Y Q Tr Q Q W Q Q s t i n ξξξ⎧=--=--⎪⎨==⎪⎩ （3.7） 式中1212[,,...,][,,...,]T s n n Q Udiag U U U U U σσσ⎧=⎪⎨=⎪⎩ （3.8） 其中,1,2,...,i U i n =为矩阵T Q Q 属于其特征值2(1,2,...,)i i n σ=特征矢量。
为了便于求解优化命题( 3. 6) 和( 3. 7) 的解，现给出如下结论： 定理2 对于由( 3. 6) 式定义的一类优化命题，其一阶梯度函数iJξ∂∂可表示为12(0,...,0,1,0,...,0)()()()T Ti i s i T T i i i i J X Q Q W I Q I ξξαψξξξ-∂=-⨯---∂ （3.9） 由于 J 的最优目标值是零，因此，W 的作用只有助于加快算法的收敛速度，而不影响问题的求解。
定理3 对于由式( 3.7) 定义的一类优化命题，其一阶梯度函数iJξ∂∂可表示为 1(0,...,0,1,0,...,0)()()T T T Ti i i T T i i iJ X FX F Y I ξξαψξξξ-∂=-⨯+-∂ （3.10） 式中2()T s F Q Q W =-4 复数特征值情况当系统的闭环特征值为复数时，利用文献[8，9] 中的构造方法无法求解加权矩阵Q 。
仿照上节的优化方法则可方便地解决这一问题。
为研究方便，假定系统的第1和第2两个闭环特征值为复数，即*12c c λλ=，并且定义***121212121212,,j j j ξξξξψψψψαααα==+==+==+ 以及变化矩阵 0.50.5[,,...,]0.50.5j T Block diag I I I j ττττ-⎡⎤=-⊗⎢⎥⎣⎦（4.1） 式中，⊗为克罗内克尔积，T τ为ττ⨯维的单位矩阵。
用1T 和n T 对方程( 2.2) 进行变换得到1221321111221321(,,...)[,,...,]([,,...][,,...])n n n n Q Block diag Block diag YX ααξξξααααξξψψψξξξξ---⎡⎤=--⨯⎢⎥⎣⎦⎡⎤---⎢⎥⎣⎦（4.2）在此基础上，仿照定理2的证明过程，可以求得式( 3. 6) 中J 的增量1111[()()]2[()][()][()]T T T s s s J Tr Q W Q Q Q Q W Q Tr Q Q W Q Tr F YXYX X X Tr X F Y Q X ----∆=∆-+-∆=-∆=-∆-∆∆=-∆-∆ （4.3）式中11[0,...,0,,0,...,0],[1,][0,...,0,,0,...,0i i i i i i X i n Y ψξαξ--∆=∆⎧⎪∈⎨∆=∆⎪⎩（4.4） 当1,2i =时，有1221112212211122[,,0,...,0][,,0,...,0]X Y ψξψξψξψξαξαξαξαξ⎧∆=∆+∆∆-∆⎪⎨∆=∆+∆∆-∆⎪⎩ （4.5） 将式( 4.4) 和( 4.5) 依次代入式( 4.3)，可进一步求得J ∆关于i ξ∆的一阶近似表达式112211111112221[(1,0,...,0)()(0,1,0,...,0)()],1[(1,0,...,0)()(0,1,0,...,0)()],2(0,...,.,1,0,...,0)(),3,...,i i i i X F I Q X F I Q i J X F I Q X F I Q i X F I Q i n αψαψξαψαψξαψξ-----⎧--+-∆=⎪⎪∆≅--+-∆=⎨⎪--∆=⎪⎩（4.6） 考虑到约束条件2||||1,1,2,...,i i n ξ==，J 关于变量i ξ的一阶梯度函数的表达式为111122111111221122221[(1,0,...,0)()(0,1,0,...,0)()](),1[(1,0,...,0)()(0,1,0,...,0)()](),2(0,...,.,1,0,...,0)()(T T T TT i i i i X F I Q X F I Q I i J X F I Q X F I Q I i X F I Q ξξαψαψξξξξαψαψξξξαψ-------+-⨯-=∂=--+-⨯-=∂--⨯ ),3,...,T i i T i i I i n ξξξξ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪-=⎪⎩式中2()T s F Q Q W =-，s Q 由式（3.7）定义。