最优控制实验报告二零一五年一月目录第1章一级倒立摆实验 (3)1.1 一级倒立摆动力学建模 (3)1.1.1 一级倒立摆非线性模型建立 (3)1.1.2 一级倒立摆线性模型建立 (3)1.2 一级倒立摆t∞状态调节器仿真 (3)1.3 一级倒立摆t∞状态调节器实验 (3)1.4 一级倒立摆t∞输出调节器仿真 (3)1.5 一级倒立摆t∞输出调节器实验 (3)1.6 一级倒立摆非零给定调节器仿真 (3)1.7 一级倒立摆非零给定调节器实验 (3)第2章二级倒立摆实验 (3)2.1 二级倒立摆动力学模型 (3)2.1.1 二级倒立摆非线性模型建立 (3)2.1.2 二级倒立摆线性模型建立 (3)2.2 二级倒立摆t∞状态调节器仿真 (3)2.3 二级倒立摆t∞状态调节器实验 (3)2.4 二级倒立摆t∞输出调节器仿真 (3)2.5 二级倒立摆t∞输出调节器实验 (3)2.6 二级倒立摆非零给定调节器仿真 (3)2.7 二级倒立摆非零给定调节器实验 (3)第1章一级倒立摆实验1.1一级倒立摆动力学建模在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图所示图1-1 直线一级倒立摆模型M小车质量 1.096 kg；m 摆杆质量0.109 kg；b 小车摩擦系数0 .1N/m/sec；l 摆杆转动轴心到杆质心的长度0.25m；I 摆杆惯量0.0034 kg·m2；φ摆杆与垂直向上方向的夹角，规定角度逆时针方向为正；x 小车运动位移，规定向右为正。

1.1.1一级倒立摆非线性模型建立采用拉格朗日方法，系统的拉格朗日方程为：()()()=-(1.1),,,L q q T q q V q q其中，L 为拉格朗日算子，q 为系统的广义坐标，T 为系统的动能，V 为系统的势能。

拉格朗日方程由广义坐标i q 和L 表示为：i i id L Lf dt q q ∂∂-=∂∂ (1.2)i f 为系统沿该广义坐标方向上的外力，在本系统中，系统的两个广义坐标分别为φ和x 。

系统动能：()2222111111112cos 223M m T T T Mx m x m l x m l φφφ=+=+++ (1.3)系统的势能11cos V m gl φ=(1.4)由于在广义坐标1θ上应用拉格朗日方程，由于此广义坐标上无广义力，则0d L Ldt φφ∂∂-=∂∂ (1.5)得到：()2cos sin mlx mgl I ml φφφ+=+ (1.6)在simulink 中建立非线性仿真动力学模型图1-2 一级倒立摆非线性动力学模型其中MATLAB Function 模块中代码如下：function dw = fcn(u,phi) I = 0.0034; m = 0.109;l = 0.25; g = 9.8;dw = ( m*g*l*sin(phi)+m*l*u*cos(phi) )/( I+m*l*l );1.1.2 一级倒立摆线性模型建立由(1.6)，且对于质量均匀分布的摆杆有213I ml =，将0.25l m =代入有3(cos sin )x g φφφ=+ (1.7)将其在平衡位置0φ=︒处进行线性化，cos 1,sin φφφ==，且有29.831/g m s = 得到29.4933x φφ=+(1.8)输入u x = ，将系统写为如下状态空间描述形式10000000100100029.493031000000100x x x x u x x x y u φφφφφφφ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦(1.9)在simulink 中建立线性仿真动力学模型，只需将1.1.1里建立的非线性模型中MATLAB Function 模块代码更改为dw = 29.493*phi+3*u;1.2 一级倒立摆t ∞状态调节器仿真对于线性定常系统的状态方程为()()()x t Ax t Bu t =+(1.10)给定初始条件()00x t x =，终端时间f t =∞。

求最优控制()*u t 使系统的二次型性能指标1()()()()2t J x t Qx t u t Ru t dt ττ∞⎡⎤=+⎣⎦⎰ (1.11)取极小值。

式中 ,,,A B Q R ——常数矩阵；Q ——半正定对称阵；R ——正定对称矩阵。

控制不受约束，最优控制存在且唯一，即1()()()u t R B Px t Kx t τ*-=-=-(1.12)式中，P 为n n ⨯维正定常数矩阵，满足里卡提矩阵代数方程10T T PA A P PBR B P Q -+-+=(1.13)对于线性定常系统无限时间状态调节器问题，要求系统完全能控。

求解出上方程，即可得到最优控制*()u t 。

试验中的一级倒立摆模型可以线性化为定常系统，其中系数矩阵为0100000000010029.4930A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦;0103B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦;10000010C ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦;00D ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 公式(1.11)中选定不同的Q ，R 值，Q 4×4为半正定矩阵，R 1×1为正定矩阵，通过求解代数黎卡提方程（利用Matlab 里面的lqr 函数）可以得到最优控系数(),,,K lqr A B Q R =(1.14)控制率为()()u t Kx t =-(1.15)Q 、R 的形式可设计为11223344,1Q Q Q R Q Q ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (1.16) 因为二次型最优控制是使得二次型性能指标取极小值，故只需改变Q 矩阵中元素的值即可，不用改变R 的取值，即只要保证Q 与R 的相对大小即可。

其中，Q 矩阵中Q 11代表小车位置的权重，Q 22代表小车速度的权重，Q 33代表摆杆角度的权重，Q 44为摆杆角速度的权重。

仿真实验模型如下图1-3仿真实验模型设定角度初始值为10°，角速度与小车速度初值均为0。

下面按照一定的依据选取Q 中非零元素的值进行仿真实验，并进行分析。

取一组标准值方便对比Q 11=Q 22=Q 33=Q 44=2。

响应曲线如下图，在后续研究中，若无特殊说明Q 中元素分别取此标准值。

考虑到实际系统中小车轨道长度有限，取上述参数时发现位置相对零点波动的绝对值最大达到了0.3m 以上，这在实际系统中是难以正常进行试验的，所以要对参数进行调整改进，下面分别研究各个参数变化时对系统响应的影响。

t(s)(°)角度变化曲线t(s)x (m )位置变化曲线图1-4 Q 11=Q 22=Q 33=Q 44=2时角度与位置变化曲线(1) 分析小车位置的权重对于响应曲线的影响。

其他参数不变的情况下，小车位置权重Q 11分别取为2、20、200、1000时观察角度与位置变化曲线如图1-1图1-5所示。

t(s)θ (°)t(s)x (m )图1-5 位置权重对响应的影响由图1-5可以看出，随着Q 11的增加，角度变化曲线的稳态时间缩短，但超调量有所增大；位置变化曲线特性改进明显，稳态时间与绝对的超调值都显著减小，可见增大Q 11的值会改进系统特性。

(2) 分析小车速度的权重对响应曲线的影响小车速度权重Q 22分别取为2、20、200、1000时得到角度与位置随时间变化曲线如图1-6所示t(s)θ (°)角度变化曲线t(s)x (m )位置变化曲线图1-6 小车速度权重对响应曲线的影响随着Q 22的增大，角度曲线特性得到一定改善，绝对超调减小，且稳态时间减小；但对于小车位置曲线来说，虽然绝对超调变小了，但很明显稳态时间大大增加了，由于Q 22代表的是小车的速度权重，可以类比为引入了阻尼项，减小超调的同时会增大稳态时间，这是我们并不希望的。

故而Q 22的值不能太大，要保证Q 22取值不超过Q 11。

(3) 分析摆杆角度的权重对响应曲线的影响小车速度权重Q 33分别取为2、20、200、1000时得到角度与位置随时间变化曲线如图1-7所示t(s)θ (°)t(s)x (m )图1-7摆杆角度权重对响应曲线的影响随着Q 33的增大，角度曲线的绝对超调减小，但是相应的导致了稳态时间的增加；小车位置相应曲线超调减小，同样的也是稳态时间增加了。

而且可以看出，Q 33对小车位置曲线的影响远不如Q 11和Q 22对小车位置响应的影响。

(4) 分析摆杆角速度的权重对响应曲线的影响小车速度权重Q 44分别取为2、20、200、1000时得到角度与位置随时间变化曲线如图1-8所示由图1-8可知，随着Q 44的增大，角度变化曲线稳态时间有一定程度的增加，曲线变化稍见平缓，即曲线斜率的最大值变小了，但绝对超调基本没变；小车位置的响应特性随Q 44的增大而变坏，绝对超调大幅上升，稳态时间也明显变长。

所以Q 44的值不能取的太大。

要注意的是，Q 44取值变化过程中Q 矩阵其他元素取的均为上文所提标准值，标准值取的是很小的，所以在确定参数时，只要保证Q 44的值不能比Q 33大即可，图1-8只是提供了分析的依据，不能直接根据上图的曲线进行选择。

t(s)θ (°)角度变化曲线t(s)x (m )位置变化曲线图1-8摆杆角速度权重对响应曲线的影响以上分析为Q 矩阵中非零元素的选取提供了一定的依据，总的来说Q 11与Q 33的值越大越好，但过大的话可能会对执行器即电机提出过高的要求，而Q 22与Q 44的取值尽量不能比其他两个元素值大。

1.3一级倒立摆t∞状态调节器实验根据以上分析，选取几组实物实验Q矩阵中的元素值，并将仿真结果与之对比如图1-9至图1-11所示，对比仿真结果与实验结果的异同，分析产生此现象的原因。

由于仿真与实物实验的初始条件很难做到完全一致，如对于实物实验来说，由于编码器为一相对式码盘，所以倒立摆稳定状态为- 而不是仿真实验中的0 rad，而且由于实物实验中倒立摆是由下垂状态人为慢慢上摆至满足倒立摆稳定系统起控条件的，在缓慢移动过程中，很难做到倒立摆起控时摆杆的角速度为0，即初始条件难以精确确定。

所以只需比较仿真与实物实验得到的曲线特性中如绝对超调，稳态时间即可。

此外，在实验过程中，可以发现倒立摆摆杆转动到大概为平衡位置附近10°时，倒立摆起控，这样在处理实验数据时可以将起控之前的无控状态去掉，只将有效的部分画出来即可，方便观察曲线特性。

表1-1 状态调节Q矩阵中非零元素不同取值Q11 Q22 Q33 Q44 第一组1000 1000 100 100第二组100 100 1000 1000 第三组1000 1000 1000 1000510-50510t(s)θ (°)510-0.2-0.15-0.1-0.050t(s)x (m )510-180-175-170-165角度变化曲线(实验)t (s)θ (°)0510-0.050.050.10.15位置变化曲线(实验)t (s)x (m )图1-9 第一组状态调节器参数下响应图510t(s)θ (°)角度变化曲线(仿真)510-0.4-0.3-0.2-0.10t(s)x (m )位置变化曲线(仿真)510-180-175-170-165角度随时间变化曲线t (s)θ (°)0510-0.050.050.10.15位置随时间变化曲线t (s)x (m )图1-10 第二组状态调节器参数下响应图510-50510t(s)θ (°)0510-0.2-0.15-0.1-0.050t(s)x (m )510-180-175-170-165角度随时间变化曲线t (s)θ (°)0510-0.06-0.04-0.0200.020.04位置随时间变化曲线t (s)x (m )图1-11 第三组状态调节器参数下响应图第一组参数下，仿真与实物实验得到的曲线特性吻合较好，稳态时间与绝对超调量都比较相近；但第二组参数位置曲线的超调相差较大，分析原因可能是在将倒立摆扶至起控位置左右时没有缓缓转动导致起控时摆杆有一定的角速度，初始条件相差较大导致曲线相差较大；第三组参数下实物实验得到的角度与位置曲线都存在稳态误差，尤其是位置误差为5cm 左右，误差比较大，分析原因可能是系统的硬件问题，因为就算法来说，状态调节器是不可能将末态稳定在非零点出的。