【自主解答】 如图所示，分别以 AB，AD，AA1 所在的直线为 x 轴、y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系．
由题意可知 C(3,3,0)，D(0,3,0)， ∵|DD1|＝|CC1|＝|AA1|＝2， ∴C1(3,3,2)，D1(0,3,2)， ∵N 为 CD1 的中点，
3 ∴N2，3，1.
[探究共研型]
空间两点间的距离
探究 1 已知两点 P(1,0,1)与 Q(4,3，－1)，请求出 P、Q 之间的距离．
【提示】 |PQ|＝ 1－42＋0－32＋1＋12＝ 22.
探究 2 的坐标．
上述问题中，若在 z 轴上存在点 M，使得|MP|＝|MQ|，请求出点 M
【提示】 设 M(0,0，z)，由|MP|＝|MQ|， 得(－1)2＋02＋(z－1)2＝42＋32＋(－1－z)2， ∴z＝－6.∴M(0,0，－6)．
[再练一题] 1．在棱长都为 2 的正三棱柱 ABC­A1B1C1 中，建立恰当的空间直角坐标系， 并写出三棱柱 ABC­A1B1C1 各顶点的坐标.
【解】
取 BC，B1C1 的中点分别为 O，O1，连接 OA，OO1，
3 根据正三棱柱的几何性质，OA，OB，OO1 两两互相垂直，且 OA＝ 2 ×2 ＝ 3，
任意一点 Px，y，z，关于原点对称的点是 P1－x，－y，－z；关于 x 轴 横轴对称的点是 P2x，－y，－z；关于 y 轴纵轴对称的点是 P3－x，y，－z； 关于 z 轴竖轴对称的点是 P4－x，－y，z；关于 xOy 平面对称的点是 P5x，y， －z；关于 yOz 平面对称的点是 P6－x，y，z；关于 xOz 平面对称的点是 P7x， －y，z.,求对称点的问题可以用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的 口诀来记忆.
(2) 在空间直角坐标系中，在 yOz 平面上的点的坐标一定可写成 (0 ， b ， c ) ．( ) ) )
(3)在空间直角坐标系中，在 Oz 轴上的点的坐标可记作(0,0，c)．( (4)在空间直角坐标系中，在 xOz 平面上的点的坐标是(a,0，c)．(
【解析】 (1)错误．x 轴上的点的坐标是纵坐标与竖坐标都为 0. (2)、(3)、(4)正确．
【精彩点拨】 对照空间点的对称的规律直接写出各点的坐标．
【自主解答】
(1)由于点 P 关于 x 轴对称后，它在 x 轴的分量不变，在 y
轴、z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为 P1(－2，－1，－4)． (2)由于点 P 关于 xOy 平面对称后，它在 x 轴、y 轴的分量不变，在 z 轴的分 量变为原来的相反数，所以对称点坐标为 P2(－2,1，－4)． (3)设对称点为 P3(x，y，z)，则点 M 为线段 PP3 的中点， 由中点坐标公式，可得 x＝2×2－(－2)＝6， y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12， 所以 P3 的坐标为(6，－3，－12)．
【答案】 －7 或 13
[小组合作型]
空间中点的坐标的确定
在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E、F 分别是 D1D、BD 1 的中点，G 在棱 CD 上，且 CG＝4CD，H 为 C1G 的中点，试建立适当的坐标系， 写出 E、F、G、H 的坐标．
【精彩点拨】 求点的坐标．
要求点的坐标，需求得横、纵、竖坐标的值，即确定出所
画法
在平面上画空间直角坐标系 Oxyz 时，一般使∠xOy＝____ ，∠yOz 135° ＝90°
图示
右手直角坐标系，即在空间直角坐标系中， 本书建立的坐标系都是____
y 轴的正方向， x 轴的正方向， 说明 让右手拇指指向__ 食指指向__ 中指指向
__ z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系
【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)√
教材整理 2 空间两点间的距离公式 阅读教材 P136“练习”以下至 P137 部分，完成下列问题．
2 2 2 x ＋ y ＋ z 1．点 P(x，y，z)到坐标原点 O(0,0,0)的距离|OP|＝__________.
2 ． 任 意 两 点 P1(x1 ， y1 ， z1) ， P2(x2 ， y2 ， z2) 间 的 距 离 |P1P2| ＝
2 2 2 x － x ＋ y － y ＋ z － z 1 2 1 2 1 2 ______________________________.
在空间直角坐标系中，A(－1,2,3)，B(2,1，m)，若|AB|＝ 110，则 m 的值 为________．
【解析】 |AB|＝ －1－22＋2－12＋3－m2 ＝ 110， ∴(3－m)2＝100,3－m＝± 10. ∴m＝－7 或 13.
[构建· 体系]
1．点 A(－1,2,1)在 x 轴上的投影点和在 xOy 平面上的投影点的坐标分别为 ( ) A．(－1,0,1)，(－1,2,0) B．(－1,0,0)，(－1,2,0) C．(－1,0,0)，(－1,0,0) D．(－1,2,0)，(－1,2,0)
【解析】 点 A(－1,2,1)在 x 轴上的投影点的横坐标是－1，纵坐标、竖坐标 都为 0， 故为(－1,0,0)， 点 A(－1,2,1)在 xOy 平面上横、 纵坐标不变且竖坐标是 0， 故为(－1,2,0)．
M 是 A1C1 的三分之一分点且靠近 A1 点， ∴M(1,1,2)．由两点间距离公式，得 |MN|＝ 21 ＝ 2 .
3 －12＋3－12＋1－22 2
利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤为：
[再练一题] 3． 如图 432 所示， 直三棱柱 ABCA1B1C1 中， |C1C|＝|CB|＝|CA|＝2， AC⊥CB， D，E 分别是棱 AB，B1C1 的中点，F 是 AC 的中点，求 DE，EF 的长度．
【解析】 由|AB|＝ 6－42＋2＋72＋z－12 ＝11， 解得 z＝7 或－5.
【答案】 7 或－5
5．(2016·威海高一检测)V­ABCD 为正四棱锥，O 为底面中心，若 AB＝2， VO＝3，试建立空间直角坐标系，并确定各顶点坐标.
【解】
以底面中心 O 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系．
【自主解答】
建立如图所示的空间直角坐标系．点 E 在 z 轴上，它的 x
1 DD1 的中点，故其坐标为0，0，2.
坐标、y 坐标均为 0，而 E 为
1 1 由 F 作 FM⊥AD、FN⊥DC，由平面几何知 FM＝2、FN＝2，则 F 点
1 1 坐标为2，2，0. 3 3 点 G 在 y 轴上，其 x、z 坐标均为 0，又 GD＝4，故 G 点坐标为0，4，0.
[基础· 初探] 教材整理 1 空间直角坐标系
阅读教材 P134～P135“例 1”以上部分，完成下列问题． 1．空间直角坐标系 以空间中两两____ 垂直且相交于一点 O 的三条直线分别为 x 轴、y 轴、 定义 z 轴，这时就说建立了空间直角坐标系 Oxyz，其中点 O 叫做坐标
原点，x 轴、y 轴、z 轴叫做______ 坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫做 ____ zOx 平面 坐标平面，分别称为 xOy 平面、yOz 平面、____ ________
【答案】 A
3．已知 A(3,2，－4)，B(5，－2,2)，则线段 AB 中点的坐标为________．
【解析】 设中点坐标为(x0，y0，z0)， 3＋5 2－2 －4＋2 则 x0＝ 2 ＝4，y0＝ 2 ＝0，z0＝ 2 ＝－1， ∴中点坐标为(4,0，－1)．
【答案】 (4,0，－1)
4．设 A(4，－7,1)，B(6,2，z)，|AB|＝11，则 z＝________.
如图 431 所示， 在长方体 ABCDA1B1C1D1 中， |AB|＝|AD|＝3， |AA1| ＝2，点 M 在 A1C1 上，|MC1|＝2|A1M|，N 在 D1C 上且为 D1C 的中点，求线段 MN 的长度．
图 431
【精彩点拨】 先建立空间直角坐标系，求出点 M、N 的坐标，然后利用 两点间的距离公式求解．
1 1 由 H 作 HK⊥CG 于 K，由于 H 为 C1G 的中点，故 HK＝2、CK＝8.
7 1 7 ∴DK＝8.故 H 点坐标为0，8，2.
1．建立空间直角坐标系时应遵循以下原则 (1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内； (2)充分利用几何图形的对称性． 2．求某点的坐标时，一般先找出这一点在某一坐标平面上的射影，确定其 两个坐标，再找出它在另一轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上 正负号)，确定第三个坐标．
【答案】 B
2．在空间直角坐标系中，点 P(3,4,5)与 Q(3，－4，－5)两点的位置关系是 ( ) A．关于 x 轴对称 B．关于 xOy 平面对称 C．关于坐标原点对称 D．以上都不对
【解析】 点 P(3,4,5)与 Q(3，－4，－5)两点的横坐标相同，而纵、竖坐标 互为相反数，所以两点关于 x 轴对称．
阶 段 一
4.3 4.3.1 4.3.2Βιβλιοθήκη 空间直角坐标系 空间直角坐标系
阶 段 三
空间两点间的距离公式
阶 段 二
学 业 分 层 测 评
1．了解空间直角坐标系的建系方式．(难点) 2． 能在空间直角坐标系中求出点的坐标和已知坐标作出点． (重点、 易错点) 3．理解空间两点间距离公式的推导过程和方法．(难点) 4．掌握空间两点间的距离公式，能够用空间两点间距离公式解决简单的问 题．(重点)
∵V 在 z 轴正半轴上，且|VO|＝3，它的横坐标与纵坐标都是零， ∴点 V 的坐标是(0,0,3)．而 A、B、C、D 都在 xOy 平面上， ∴它们的竖坐标都是零． 又|AB|＝2， ∴A(1，－1,0)，B(1,1,0)，C(－1,1,0)，D(－1，－1,0)，V(0,0,3)．