tT
立，由 sup E t , 知， sup E t /
tT tT
于是，当 时， p ( t ) E t / sup/ ,
tT
从而 E t I 对任何 t T 成立，即 sup E t I t 。 t
tT
lim sup E t I t 0 ，则称之为一致可积的。
从一致可积的定义可见：有限个期望存在的 r.v. 组成的 r.v. 族是一致可积的；如果 r.v. 族
t , t T 和 t , t T 都一致可积，那么对任何 a, b R ， a t bt , t T 也一致可积。
j 1 i 1 i i j
m
n
Bj
。 E ( X g ) 是一 g 可测随机变量，
满足： E E X g I B E XI B ， B g 条件期望的基本性质： （1） E E X g E X ;


（2）若 X 为 g 可测，则 E X g X a.s. ； （3）设 g 则 E X g E X a.s. ； ， ， （4） E X g E X g E X g a.s. ； （5） X Y a.s. E X g E Y g a.s. ； （6）设 c1 , c2 为实数， X , Y , c1 X c2Y 的数学期望存在，则
P
得E
nN
(
n
, ) 1
nN
E (
n
, ) 1 ,则
n a.s.。 N
不 成 立 ， 存 在 一 些 0 使 得 E ( n , ) 1 沿 着 一 个 子 序 列 如 果 n


j 1
m
E X IBj P( B j )

I
Bj
称 E X g 为 X 关于 g 的

条件数学期望。如果 ( Ai )1i n 是 的一个有限划分，且 Ai F ，1 i n ， X

n i 1 i Ai
aI
为一简单随机变量，则易知 E X g
a P( A B )I
tT
必要性：对任 A F 和 0 ，我们有
sup E t I A sup E t I A t E t I A t
tT tT


P ( A) sup E t I A t
tT
如 t , t T 一致可积，在上式取 A 并让 0 充分大使 sup E t I t 0 1 ，使得
设 An ,n 1为一列事件， （1）若

P( A ) , 则 A , i.o.) 0 ；
n 1 n n

（2）若进一步 An ,n 1为相互独立，则
P( A )
n 1 n
蕴含 P ( An , i.o.) 1 。
证明： （1）设
m
P( An ) , 由于 An ,n 1 An , 从而









EEX g 2 g1 EX g1 a.s. ；
（11）若 X 与 g 相互独立（即 ( X ) 与 g 相互独立） ，则有 E X g E X a.s. 关于条件期望，我们也有相应的单调收敛定理， Fatou 引理，控制收敛定理， Holder 不等 式及 Minkowski 不等式，它们的证明与第三章关于积分情形相应结果的证明类似。

i 1,2...
随机过程的定义：X X t , t T : R 当 T R 时，称为随机过程。 数学期望的定义：设 (, F , P ) 为一概率空间，在高等概率论中，我们称 F 中的元素为 随机事件，称 为必然事件， 上的 F 可测函数称为随机变量。若 关于 P 的积分存在， 则称积分
当且仅当每一个子序列 定理 1：设 , 1 , 2 , 是距离空间 ( S , ) 上的随机元，则 n
P P ） 。 N N 有子序列 N N 使得沿着 N 有 n a.s.（ n
，固定一个任意的子序列 N N ，则我们选择子序列 N N ，使 证明：假设 n
因此，对一切 k 1, 有
m 1 P ( An ) 1 P ( An ) 1 lim P ( An ) lim exp P ( An ) 0 m m nk nk nk nk
从而有

m
m
m
P( An , i.o.) P( An ) lim P( An ) 1
P ； （1） n n d
n ， a.s.常数。 （2） n
P d
三级数定理：设 1 , 2 , 是相互独立的随机变量序列，则
n P n 1 （1） n , a.s. 收敛 （2） n , 依分布收敛 （3） n E n 1收敛 n n n Var n ; n 1
T
,
X F / B ( R )T X i F / B ( R ) i T
dP

为 的数学期望，记为 E 。这与我们在初等概率论期望的定义不同，
它将期望的定义更一般完备化，直接定义为随机变量在其概率测度下的积分。 对这些基础概念定义的准确把握，为我们以后更好的学习概率知识打下了基础。 2.事件和随机变量的独立性及 0-1 定律 在初等概率论中，我们如下定义随机事件的独立，若其中任意有限个事件 Ai1 , Ai 2 ,... Aik 有 P ( Ai1 .... Aik ) P ( Ai1 ) .... P ( Aik ) ， n 族 随 机 事 件 族 1 ,... n 彼 此 独 立 ， 若 任 意
5.第五章主要介绍条件数学期望与条件独立性 条件概率的定义：设 (, F , P ) 为一概率空间， A 和 B 为两个事件，且 P ( A) 0 ，在 A 发生的条件下 B 发生的概率显然等于
P ( AB ) ，我们称之为 B 关于 A 的条件概率，记为 P ( A)
P( A B) 。
记 ( B j )1 j m 为 的一个有限划分，且 B j F ， P ( B j ) 0 ，1 j m 。令 g 为 ( B j ) 生 成的 代数。 对一可积随机变量 X ， 令E X g
一 致 可 积 的 充 要 条 件 ： sup E t , 并 且 对 任 给 0 ， 存 在 0 使 对 一 切 满 足
tT
P ( A) ，均有 sup E t I A ,
tT
证明 充要性：对任给 0 ，存在 0 使对任何满足 P ( A) ， sup E t I A , 有成
分布函数。 值得注意的是， X 的分布函数 F ( x ) 可唯一确定 X 的分布 PX ，并且给定一个分布函数

F ( x) ，也一定存在一个概率空间 (, F , P ) 及其上的随机变量 X 以它为分布函数。
随 机 序 列 的 定 义 ： X X 1 , X 2 , R ， X F / B ( R ) X i F / B ( R ) ，








Ec1 X c2Y g c1EX g c2 EY g a.s.
（右边和式有意义） （7） E X g E X g a.s. ； （8）设 0 X n X , a.s. ,则 E X n g E X g a.s. ； （9）设 X 及 XY 的期望存在，且 Y 为 g 可测，则 E XY g YE X g a.s. ； （10）（条件期望的平滑性）设 g1 , g 2 为 F 的子 代数，且 g1 g 2 ，则
tT
sup E t 0 1 从 而 sup E t 成 立 。 此 外 ， 对 任 给 0 ， 取 充 分 大 使
tT tT
sup E t I t / 2
tT
并令 /( 2 ) ，则对任何 A F ，只要 P ( A) ，则：
n 1


nk
P ( An , i.o.) P ( An ) P ( An ) 0, k .
nk nk

（2）设 An ,n 1相互独立.假定
P( A ) ，则对任何 m k 有
n 1 n

m m m m c 1 P ( An ) P ( An ) (1 P ( An )) exp P ( An ) nk nk nk nk
Ci i (i 1,2..., n) ， C1 ,...C n 独立。
在这 里我们应 当注意到 ， Ai1 , Ai 2 ,... Aik 独立 涉及 2 1 个等 式，因此 光两两独 立或
n
P ( Ai ) P ( Ai ) 是不够的。
i 1 i 1
n
n
Borel Cantelli 引理：
sup E t I A P ( A) / 2 ，即定理成立。
tT
4.第四章主要介绍了几种收敛性及定理， 在测度论的辅助学习下， 我们学习了几乎处处收敛， 依概率收敛和依分布收敛的定义以及三者之间的关系。 以下是几个重要的收敛定理， 这些定 理很好的揭示了三种收敛性之间的关系。
k 1 n k k nk
通过引入尾 代数及尾事件的概念，我们得到 Kolmogrov1 0律 ，即独立随机变量 序列的尾事件的概率为 0 或 1。 第三章主要介绍了胎紧，一致可积等概念。 一 致 可 积 的 定 义 ： 概 率 空 间 (, F , P ) 上 的 r.v. 族 t , t T 如 果 满 足