第6节 几类简单的微分方程第6节 几类简单的微分方程
5.微分方程的初始条件
称问题⎪⎩⎪⎨⎧==′==′′′−−.1)
1(1)()( , ,)(,)(
,0) , ,, , ,(n n n y x y
y x y y x y y y y y x F 为初值问题或Cauchy 问题。

微分方程满足初始条件的解称为特解。

称附加条件
1)
1(21)( , ,)(,)(,)(−−==′′=′=n n y x y
y x y y x y y x y
阶为 n 微分方程0) , , , , ,()
(=′′′n y
y y y x F 的初始条件。

6.微分方程的解的几何意义
一般地，微分方程的每一个解都是一个一元函数
y=，其图形是一条平面曲线，我们称它为微分 y
)
(x
方程的积分曲线，通解的图形是平面上的一族曲线，
称为积分曲线族，特解的图形是积分曲线族中的一条
确定的曲线。

这就是微分方程的通解与特解的几何意义。

（2）x C x C y 3sin 3cos 21+=。

解：x C x C y 3cos 33sin 321+−=′，
)3sin 3cos (93sin 93cos 92121x C x C x C x C y +−=−−=′′， 故所求的微分方程为y y 9−=′′。

注：这类问题的解法是先求导，再消去任意常数，若通解中 含有两个或三个任意常数，则需求二阶或三阶导数。

2
12
2y C x C y Cx C =+=+请分别求函数 特例 和所满足的微：分方程。

（二）一阶线性非齐次方程的解法
)()(x Q y x P y =+′ ①
所对应的齐次微分方程为
0)(=+′y x P y ② 1．常数变易法
及其导数∫−∫′=′−−dx
x P dx
x P e
x P x C e x C y )()()()()(
代入方程①，则有
∫=−dx
x P Ce
y )(是方程②的通解，将x C 变易为的
待定函数)(x C ，猜想∫=−dx
x P e
x C y )()(是①的解。

将 ∫=−dx
x P e
x C y )()( ③
例9．求下列方程的通解。

（1）0)1(2)22(2
2
=−+−++dy y dx y x y x ；
分析：观察方程，发现dy 前的因子)1(2−y 恰与
y y 22−有导数关系，故令y y z 22−=。

解：令y y z 22
−=，则dy y dz )1(2−=， 原方程改写为0)2(2=+++dz dx z x x ， )2(2
x x z z +−=+′，
])2([[2
∫
+∫+−∫=−C dx e x x e
z dx dx
]
)2([2∫
+−=−dx e x x C e x x 2
22][])2([x Ce
e x C e
dx e x x C e x
x x
x x −=−=+−=−−−∫
，
把y y z 22
−=代入，得原方程的通解：
x
Ce
y y x −=−+222。

例11．设跳伞员开始跳伞后所受的空气阻力与它下落 的速度成正比（比例系数为0 >k 常数），起跳时的速 度为0，求下落的速度与时间之间的函数关系。

解：设跳伞员下落速度为)(t v v =。

跳伞员所受的外力等于重力和阻力之和，重力 的大小mg 为，方向与速度的方向一致；阻力的大 小kv 为，方向与速度的方向相反，故所受外力为 kv mg F −=，
例2．求解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=′==′′− .0)0( ,1)0( , y y xe y x 解：x xe y −=′′，
∫∫∫−−−−+−=−==′dx e xe e
xd dx xe y x x x x )(1C e xe
x x +−−=−−， 将初始条件0)0(=′y 代入上式，1 1=C 得，故 1+−−=′−−x x e
xe y 。

22)1 (C x e xe dx e xe y x x x x +++=+−−=−−−−∫， ∴所求特解为12−++=−−x e xe y x x 。

将初始条件1)0(=y 代入上式，1 2−=C 得，。